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第二講二重積分在直角坐標系下的計算二重積分在直角坐標系下的計算一、計算公式二、計算方法三、小結二重積分在直角坐標系下的計算一、計算公式二、計算方法三、小結積分區(qū)域的表示X-型區(qū)域:Y-型區(qū)域:xoyabxoyabyxodcyxodc設曲頂柱體的底為任取平面故曲頂柱體體積為截柱體的截面積為公式推導若f(x,y)≥0,同樣,曲頂柱體的底為則其體積可按如下兩次積分計算二重積分在直角坐標系下的計算一、計算公式二、計算方法三、小結二重積分在直角坐標系下的計算一、計算公式二、計算方法三、小結例1計算其中是由直線及圍成的閉區(qū)域xyo例1計算其中是由直線及圍成的閉區(qū)域xyo法一:先對y積分后對x積分1.先定x的積分限后積者,先定限,在區(qū)域D的左側(cè)作x軸的垂線,向右移動,開始與區(qū)域D相交時,垂足的橫坐標為x的下限.xyo法一:先對y積分后對x積分1.先定x的積分限后積者,先定限,在區(qū)域D的左側(cè)作x軸的垂線,向右移動,開始與區(qū)域D相交時,垂足的橫坐標為x的下限.xyo11繼續(xù)向右移動,最后與區(qū)域D相交時,垂足的橫坐標為x的上限.法一:先對y積分后對x積分1.先定x的積分限后積者,先定限,在區(qū)域D的左側(cè)作x軸的垂線,向右移動,開始與區(qū)域D相交時,垂足的橫坐標為x的下限.xyo11繼續(xù)向右移動,最后與區(qū)域D相交時,垂足的橫坐標為x的上限.法一:先對y積分后對x積分1.先定x的積分限后積者,先定限,在區(qū)域D的左側(cè)作x軸的垂線,向右移動,開始與區(qū)域D相交時,垂足的橫坐標為x的下限.xyo1212限為數(shù)法一:先對y積分后對x積分1.先定x的積分限后積者,先定限,12xyo122.再定y的積分限先積者,后定限,在x的上下限之間作x軸垂線,由下向上,穿入?yún)^(qū)域時,其邊界曲線為y的下限.穿出區(qū)域時,其邊界曲線為y的上限.限為數(shù)法一:先對y積分后對x積分1.先定x的積分限后積者,先定限,12xyo12y=11y=xx限為線(函數(shù))2.再定y的積分限先積者,后定限,限為數(shù)法一:先對y積分后對x積分1.先定x的積分限后積者,先定限,121xxyo12y=1y=x法二:先對x積分后對y積分1.先定y的積分限后積者,先定限,限為數(shù)在區(qū)域D的下側(cè)作y軸的垂線,向上移動,開始與區(qū)域D相交時,垂足的縱坐標為y的下限.xyo法二:先對x積分后對y積分1.先定y的積分限后積者,先定限,限為數(shù)在區(qū)域D的下側(cè)作y軸的垂線,向上移動,開始與區(qū)域D相交時,垂足的縱坐標為y的下限.xyo11繼續(xù)向上移動,最后與區(qū)域D相交時,垂足的縱坐標為y的上限.法二:先對x積分后對y積分1.先定y的積分限后積者,先定限,限為數(shù)在區(qū)域D的下側(cè)作y軸的垂線,向上移動,開始與區(qū)域D相交時,垂足的縱坐標為y的下限.1xyo1繼續(xù)向上移動,最后與區(qū)域D相交時,垂足的縱坐標為y的上限.法二:先對x積分后對y積分1.先定y的積分限后積者,先定限,限為數(shù)在區(qū)域D的下側(cè)作y軸的垂線,向上移動,開始與區(qū)域D相交時,垂足的縱坐標為y的下限.1xyo122先積者,后定限,限為線2.再定x的積分限在y的上下限之間作x軸垂線,由左向右,穿入?yún)^(qū)域時,其邊界曲線為y的下限.穿出區(qū)域時,其邊界曲線為y的上限.法二:先對x積分后對y積分1.先定y的積分限后積者,先定限,限為數(shù)12xyo12x=yx=2y2例2計算其中是由拋物線及直線圍成的閉區(qū)域.xyo選擇積分次序先對y積分,后對x積分1.比較麻煩!xyo142.先對x積分,后對y積分比較簡單!原則之一:根據(jù)區(qū)域形狀,易定限;選擇積分次序先對y積分,后對x積分1.比較麻煩!xyo1-12例3計算同例2xyo1-12不是初等函數(shù)原則之二:兼顧被積函數(shù),好積分;二重積分在直角坐標系下的計算一、計算公式二、計算方法三、小結二重積分在直角坐標系下的計算一、計算公式二、計算方法三、小結利用直角坐標計算二重積分的步驟畫出區(qū)域的草圖選擇積分次序原則根據(jù)區(qū)域形狀,易定限兼顧被積函數(shù),好積分確
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