2021-2022學(xué)年山東省威海乳山市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

試卷類型：A2021-2022學(xué)年山東省威海乳山市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)2021.11本試卷共4頁(yè).滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：I.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名..回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效..考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.TOC\o"1-5"\h\z.已知集合4=卜[1<*<5},5={xe//|-l<x<3),則AcB=( )A.(1,3] B.(-1,5) C.{2,3} D.{1,2,3}.我們稱可同時(shí)存在于一個(gè)指數(shù)函數(shù)與一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象上的點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”,則四個(gè)點(diǎn)M(U),N(2,l),*2,2),Q(2,—3)中“和諧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為( )D.4A.1 B.2 C.D.4.已知sin2a=——.貝!Isin?［。+二］=( )4I4D.8

D.8TOC\o"1-5"\h\z.為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某學(xué)校組織“紅心向黨”歌詠比賽，前三名被甲、乙、丙獲得.下面三個(gè)結(jié)論：“甲為第一名，乙不是第一名，丙不是第三名”中只有一個(gè)正確，由此可推得獲得第一、二、三名的依次是（ ）A.甲、乙、丙B.乙、丙、甲C.丙、甲、乙D.乙、甲、丙.若函數(shù)/（力=12+"+2）?，在A上無(wú)極值，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（ ）A.（-2,2） B.f—2>/3,2>/3jC.[-2>/^,D.[-2,2].已知x>0,y>0,x+2y=1,則+ +的最小值為（ ）xy4+46 B.12 C.8+46 D.168.“迪拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國(guó)館建筑名為“華夏之光"，外觀取型中國(guó)傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明.它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛好者制作了一個(gè)中國(guó)館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為12cm,外層底面直徑為16cm,且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為20cm的球面上.此模型的體積為（ ）A.304兀cn? B.8407rcm3C.912砍0?D.984ncrrr'二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得。分.9.某位同學(xué)10次考試的物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x如下表所示：數(shù)學(xué)成績(jī)X76827287937879668176物理成績(jī)y808775a100799368857710參考數(shù)據(jù)：工七=800.i=l已知y與x線性相關(guān)，且y關(guān)于x的回歸直線方程為夕=1.卜一5,則下列說法正確的是（

A.a=86y與A.a=86y與X的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù) D.若數(shù)學(xué)成績(jī)每提高5分，則物理成績(jī)估計(jì)能提高5.5分.下列四個(gè)函數(shù)中，以兀為周期且在（o,上單調(diào)遞增的偶函數(shù)有（ ）A.y=cos|2x|B.y=|tanx|C.y=sin|.r|D.y=lg|sinx|.已知正方體A5CO—A4GA的棱長(zhǎng)為1,下列結(jié)論正確的有（ ）jrA.異面直線C4與耳。所成角的大小為B.若E是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則。EP平面ABC1C.與此正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)的截面的面積最小值是上2D.若此正方體的每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截正方體所得截面面積的最大值是612.下列結(jié)論正確的有（ ）A.若。=A.若。=sin一/?=-log2sin1,1—sin—c=22時(shí)，則b>c>aB.若a>0,aa=(9a)6",則log43a=—C.若孫工0,2'=18V=9?,則尤一y=l3 5D.若a,b,c,d均為正整數(shù)，logqb=5，logt,=,。一。=9,則b+d=157三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知13.已知X~813,3，且y=-5x+2,則y的方差為14.為迎接2022年北京冬奧會(huì)，將4名志愿者分配到花樣滑冰、速度滑冰2個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配到1名志愿者，則不同的分配方案共有種.（用數(shù)字作答）15.若函數(shù)/(x)15.若函數(shù)/(x)=<2x-\x<\-f[x-2),x>則“2022)=學(xué)生小雨欲制作一個(gè)有蓋的圓柱形容器，滿足以下三個(gè)條件：①可將八個(gè)半徑為20mm的乒乓球分兩層放置在里面；②每個(gè)乒乓球都和其相鄰的四個(gè)球相切；③每個(gè)乒乓球與該容器的底面（或上蓋）及側(cè)面都相切，則該容器的高為mm.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(10分)已知函數(shù)〃x)=2'+H2T(%為常數(shù)，keA)是A上的奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)％的值；r15-(2)若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［1,〃?］上的值域?yàn)閚,—,求m+〃的值.(12分)已知命題〃：“VmeA,關(guān)于x的方程9+爾+m+3=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根”是假命題.(1)求實(shí)數(shù)m的取值集合M；(2)在(1)的條件下，設(shè)不等式(x-a)(x-2)<0的解集為N,其中若xwN是xe"的充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.(12分)在①asinB=、-b；②△ABC的面積S…什-Ac；③Zr=6?+c?-a2這三個(gè)條件中任選2 4/1℃ 4一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上，并解決該問題.問題：在/XABC中，它的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,A為銳角，b+c=6,.(1)求。的最小值；(2)若D為BC上一點(diǎn),且滿足AD=CD=2B。，判斷△ABC的形狀.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.(12分)如圖，在三棱柱48。一48￡中，點(diǎn)用在底面A8C內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)C,。是4c的中點(diǎn),且滿足DA=DB.B.(1)求證：AB_L平面3CG4；(2)已知4C=28C=2,直線8片與底面ABC所成角的大小為一，求二面角C-BO-R的大小.3(12分)2021年7月18日第30屆全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)競(jìng)賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行.為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照［40,50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)冢?0,80),［80,90),［90,100］的三組中抽取了11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人，記J為3人中成績(jī)?cè)冢?0,90)的人數(shù)，求自的分布列和數(shù)學(xué)期望：(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績(jī)?cè)冢?0,100］的為A等級(jí)，成績(jī)?cè)冢?0,90)的為B等級(jí)，其它為C等級(jí).以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，從所有參加生物學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取100人，其中獲得8等級(jí)的人數(shù)設(shè)為〃，記8等級(jí)的人數(shù)為k的概率為？(〃=%),寫出尸(〃=&)的表達(dá)式，并求出當(dāng)k為何值時(shí)，P(〃=&)最大？(12分)已知aeR,函數(shù)/(x)=lnx+a(l-x),g(x)=ex.(1)討論/(x)的單調(diào)性；(2)過原點(diǎn)分別作曲線y=/(x)和y=g(x)的切線4和/?，求證：存在a>0,使得切線人和4的斜率互為倒數(shù)；(3)若函數(shù)>的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x，0),5(x2,0),且0<Xj<X2.設(shè)x0= +x2,其中常數(shù)4、〃滿足條件4+〃=1,//>2>0,試判斷函數(shù)〃(x)在點(diǎn)A7(』,〃(與))處的切線斜率的正負(fù)，并說明理由.高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2021.11一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)1-4CABA 5-8BDCC二、多項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)9.ABD 10.BD II.BC 12.ACD三、填空題(每小題5分，共20分)13.18 14.14 15.一； 16.40+20我四、解答題(本大題共6小題，共70分)17.解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是A上的奇函數(shù)，所以/(—x)=—f(x),即2-*+h24-x)=一2、一匕2T對(duì)Vxe為恒成立，整理得(％+l)(2r+2-x)=0對(duì)Vxw為恒成立，即左+1=0,解得％=—1.(2)由“力=2*-2-*,可知/(x)是[1,向上的增函數(shù)，q所以/(1"二/⑴=少一2~=5=〃，/(x)nm=/(/?)=2m 解得m=2,37故〃？+〃=2+—=—?22△二病一癡一12>0.解：(1)方程f+的+〃2+3=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根時(shí)，則<%+%2=-m<0 ，%?工2=加+3>0解得小>6,因?yàn)椤ㄊ羌倜}，所以集合”={機(jī)忸<6}.(2)因?yàn)閤eN是xeM的充分條件，所以NqM,①當(dāng)a>2時(shí)，集合N={x[2<x<a},因?yàn)镹qM,所以a46.所以2<aW6.

②當(dāng)a<2時(shí)，集合N={Ha<x<2},此時(shí)NqM恒成立.所以a<2時(shí)符合題意.—sinB,2綜上，a的取值范圍是{a|aW6且—sinB,2.解：選①：由正弦定理得sinA-sin8=因?yàn)閟inBxO,所以sinA=一3,因?yàn)锳為銳角，所以A=巴.2 3? 八選②：5AAwr=—bcsinA=——be9所以sinA=TT因?yàn)锳為銳角，所以A二乙.3?2. 2 2 1選③：由余弦定理得cosA=幺J一—=上土2bc2bcTT因?yàn)锳為銳角，所以4=2.3（1）在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bLcosA=（b+c）2-30c=36-30c,因?yàn)锳cW（容）=9,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取得等號(hào)，所以36-助CN36-27,即解得。23,所以。的最小值為3.（2）由題意，設(shè)NAC￡>=8,6>e（0,1）因?yàn)锳O=C￡>,所以NC4O=6,TT 2在△?￡）中，/BAD=一一09B=-n-0f3 3由正弦定理得一fD.=—殍_sr，因?yàn)锳D=28。，sin（--0jsin（一兀一8）所以2sin（二一O）=sin[2兀一e）,即GcosO—sin6=^cose+gsine,

TOC\o"1-5"\h\z所以|sin6—乎cos6=0,即百sin(6?— =0,、八兀 八八兀 、兀 c兀又—<?！?lt;—>所以?！?0.即。=—,所以C=一,B――,6 6 6 6 6 6 2所以△ABC為直角三角形.20.證明：(1)因?yàn)辄c(diǎn)瓦在底面4BC內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)C,所以旦。J■底面ABC,又因?yàn)锳8u底面ABC,所以4C_LAB.在△ABC中，因?yàn)?。是AC的中點(diǎn)且。4=08,所以△ABC是直角三角形，即A8J.8C,因?yàn)锽°cBC=C,所以A8J_平面BCCg.(2)因?yàn)锽,C±底面ABC,且直線BB］與底面A3C所成角的大小為(，所以ZB.BC=］，所以4。=6.過點(diǎn)B作平面ABC的垂線BE,以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,BE的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則3(0,0,0),Dg，孚。，C(l,0,0),B,［1,0,>/3),0(2,0,間,ULU所以ULU所以80二能=(2,0,可TOC\o"1-5"\h\zrlui J 73設(shè)平面BOG的法向量5=(x,y,z),則〈n-BD=-x+設(shè)平面BOG的法向量5=(x,y,z),則〈2 2 'ruuld /-〃g=2x+gz=0.令z=—2,解得X=J5,y=-l,此時(shí)5=(石，一1,一2).UUU UUU/L\顯然Cq是平面BCO的一個(gè)法向量，=(0,0,、份)./UULTr\CBh-2J3V2因?yàn)閏os(CB］,〃)= =―/=—r= -'?/|C聞向2萬(wàn)百2由圖可知二面角。一3。一0是銳角，,_,_ 7T因此二面角。一8。-G的大小為一.21.解：(1)由(0.004+0.022+0.030+0.028+^+0.004)x10=1,解得機(jī)=0.012,因?yàn)榍皟山M的頻率之和為0.04+0.22=0.26<0.50,前三組的頻率之和為0.04+0.22+0.30=0.56>0.50,設(shè)中位數(shù)為%,則小?60,70),所以0.26+(%-60)x0.030=0.50,解得天)=68(分).(2)因?yàn)?0人中成績(jī)?cè)冢?0,8。共有0.28入50=14人，成績(jī)?cè)冢?0,9。共有0.12x50=6人，成績(jī)?cè)冢?0,l°q共有0.04x50=2人，所以［70,80)抽取了7人，［80,90)抽取了3人，［90,100］抽取了1人,g的所有可能取值為0,1,2,3,c3c°尸（舁。）=,56一而'c2cl尸偌=1）=舍84一而一28■55P（J=2）=c；c；248p（g=3）=i4—荷—551cJ,1165所以g的分布列為:g0123P5616528855I165數(shù)學(xué)期望E（4）=0x至+lx型+2x芻+3*-!-=空=2.'， 165 55 55 16516511另解：因?yàn)?~”（11,3,3）,所以磯（3）[70,90）的頻率為0.28+0.12=0.4,由題意知〃~B（100,0.4）,所以*〃=%）=C：0Gx0.4*x0.6**（04P4100,keN）.法一：作商法

解得左<39.4.尸（劣=1+1）_C：Ux0.4ix0.6見_100-。X2>]P?=k）-C：0Gx0.4"x0.6叫-k+\"3解得左<39.4.法二：作差法=左+1）- =%）=C需x0.4*+|x0.6"y-丁x0.4*x0.6*x（39.4-火）>0,100x99x…x（x（39.4-火）>0,（Z+l）!解得女<39.4,所以，當(dāng)ZW39時(shí)，P（〃=Z+1）>P（〃=Z）即P（〃=40）>P（〃=39）>.->P（t7=0）,當(dāng)％N40時(shí)，=&+1）< =%）即 =40）> =41）>…>P（〃=100）,所以P（77=&）x=尸（〃=40）,即當(dāng)％=40時(shí)，*〃=&）最大.22.解：（1）r（x）=』-a（x>0）,若aWO,則f'(x)>0,函數(shù)”X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間:若a>0,則當(dāng)xe(0,』)時(shí)，/((%)>0；當(dāng)xw(，,+oo+寸，/'(x)<0.此時(shí)函數(shù)在(0,上單調(diào)遞增，在+8)上單調(diào)遞減.(2)證明：設(shè)切線4的方程為丫=網(wǎng)》，切點(diǎn)為卜2，淖)，g'(x)=e",故*=——,所以/=1,k2則結(jié)合題意知切線4的斜率4=3k21 1切線4的方程為丁=—x,e e設(shè)切線人與曲線y=/(x)的切點(diǎn)為(X，yj,f'(x)=--a.所以，一。='.①X X, €又因?yàn)?(%)二—石,即IriX]+。(1一%|)=,工]'②由①②消去X得：ea-'-a--=G

令 =ex~}-X--,則"（x）=ex~l-1.當(dāng)xw（O,l）時(shí),d（x）<0,0（X）在（0,1）上單調(diào)遞減；當(dāng)X￡（l,+8）時(shí),d（「）>0,0（x）在（1,+8）上單調(diào)遞增.又因?yàn)?（1）=_，<0,^（