二重積分的概念及計算

第10章重積分§10.1二重積分一、引例二、二重積分的定義及可積性三、二重積分的性質(zhì)四、曲頂柱體體積的計算五、利用直角坐標計算二重積分六、利用極坐標計算二重積分七、二重積分換元法當前第1頁\共有56頁\編于星期五\22點1解法:類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積給定曲頂柱體:底：xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”當前第2頁\共有56頁\編于星期五\22點21)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體當前第3頁\共有56頁\編于星期五\22點34)“取極限”令當前第4頁\共有56頁\編于星期五\22點42.平面薄片的質(zhì)量有一個平面薄片,在xoy平面上占有區(qū)域D,計算該薄片的質(zhì)量M.度為設D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個小區(qū)域相應把薄片也分為小區(qū)域.當前第5頁\共有56頁\編于星期五\22點52)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第k小塊的質(zhì)量當前第6頁\共有56頁\編于星期五\22點6兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結構式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:當前第7頁\共有56頁\編于星期五\22點7二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域

D上的有界函數(shù),當前第8頁\共有56頁\編于星期五\22點8引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃記作當前第9頁\共有56頁\編于星期五\22點9二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.當前第10頁\共有56頁\編于星期五\22點10三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))為D的面積,則當前第11頁\共有56頁\編于星期五\22點11特別,由于則5.若在D上6.設D的面積為,則有當前第12頁\共有56頁\編于星期五\22點127.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此當前第13頁\共有56頁\編于星期五\22點13例1.

比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上當前第14頁\共有56頁\編于星期五\22點14例2.

判斷積分的正負號.解:分積分域為則原式=猜想結果為負但不好估計.舍去此項當前第15頁\共有56頁\編于星期五\22點15例3.判斷的正負.解：當時，故又當時，于是當前第16頁\共有56頁\編于星期五\22點16例4.估計下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D當前第17頁\共有56頁\編于星期五\22點17例5.估計的值,其中D為解:被積函數(shù)D的面積的最大值的最小值當前第18頁\共有56頁\編于星期五\22點188.設函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當區(qū)域關于y軸對稱,函數(shù)關于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關于x軸對稱,則則有類似結果.在第一象限部分,則有當前第19頁\共有56頁\編于星期五\22點19四、曲頂柱體體積的計算設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的當前第20頁\共有56頁\編于星期五\22點20同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算當前第21頁\共有56頁\編于星期五\22點21例6.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為當前第22頁\共有56頁\編于星期五\22點22內(nèi)容小結1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計算二次積分法當前第23頁\共有56頁\編于星期五\22點23被積函數(shù)相同,且非負,思考與練習解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關系:當前第24頁\共有56頁\編于星期五\22點242.設D是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有當前第25頁\共有56頁\編于星期五\22點253.計算解:當前第26頁\共有56頁\編于星期五\22點264.證明:其中D為解:利用題中x,y位置的對稱性,有又D的面積為1,故結論成立.當前第27頁\共有56頁\編于星期五\22點27五、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為X–型區(qū)域則若D為Y–型區(qū)域則當前第28頁\共有56頁\編于星期五\22點28當被積函數(shù)均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于當前第29頁\共有56頁\編于星期五\22點29說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則當前第30頁\共有56頁\編于星期五\22點30例7.計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則當前第31頁\共有56頁\編于星期五\22點31例8.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則當前第32頁\共有56頁\編于星期五\22點32例9.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x積分不行,說明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.當前第33頁\共有56頁\編于星期五\22點33例10.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則當前第34頁\共有56頁\編于星期五\22點34例11.計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,當前第35頁\共有56頁\編于星期五\22點35解：原式例12.給定改變積分的次序.當前第36頁\共有56頁\編于星期五\22點36對應有六、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為當前第37頁\共有56頁\編于星期五\22點37即當前第38頁\共有56頁\編于星期五\22點38設則特別,對當前第39頁\共有56頁\編于星期五\22點39若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)當前第40頁\共有56頁\編于星期五\22點40例13.計算其中解:在極坐標系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標計算.當前第41頁\共有56頁\編于星期五\22點41注:利用例13可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當D為R2時,利用例7的結果,得①故①式成立.當前第42頁\共有56頁\編于星期五\22點42例14.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設由對稱性可知當前第43頁\共有56頁\編于星期五\22點43例15.計算其中D為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.當前第44頁\共有56頁\編于星期五\22點44定積分換元法七、二重積分換元法滿足一階偏導數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應的,當前第45頁\共有56頁\編于星期五\22點45證:根據(jù)定理條件(2)(3)可知變換T可逆.

用平行于坐標軸的直線分割區(qū)域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xoy面上得到一個四邊形,其對應頂點為則當前第46頁\共有56頁\編于星期五\22點46同理得當h,k充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為當前第47頁\共有56頁\編于星期五\22點47因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標時,當前第48頁\共有56頁\編于星期五\22點48例16.計算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則當前第49頁\共有56頁\編于星期五\22點49例17.計算由所圍成的閉區(qū)域D的面積S.解:令則當前第50頁\共有56頁\編于星期五\22點50例18.試計算橢球體解:由對稱性令則D的原象為的體積V.當前第51頁\共有56頁\編于星期五\22點51內(nèi)容小結(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:若積分區(qū)域為則若積分區(qū)域為則當前第52頁\共有56頁\編于星期五\22點52則(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區(qū)域為在變換下當前第53頁\共有56頁\編于星期五\22點53(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇