2021北京重點校初一（上）期中數(shù)學匯編：解一元一次方程(一)

2021北京重點校初一（上）期中數(shù)學匯編

解一元一次方程

一、單選題

1.（2021?北京師大附中七年級期中）已知人為非負整數(shù)，且關于x的方程3（x-3）=丘的解為正整數(shù)，則人的所有

可能取值為（）

A.2,0B.4,6C.4,6,12D.2,0,6

2Y_1yt1

2.(2021?北京師大附中七年級期中)把方程3x+—§—=3-號去分母正確的是()

A.18x+2(2x-l)=18-3(x+l)

B.3x+(2x-l)=3-(x+l)

C.18x+(2x-l)=18-(x+l)

D.3x+2(2x-1)=3-3(x+1)

3.（2021?北京一七一中七年級期中）解方程空-史＞■=1時，去分母、去括號后，正確的結果是（）

36

A.4x+l-10x+l=1B.4x+2-1Ox-1=1

C.4x+2-10x-l=6D.4x+2-10x+l=6

4.（2021?北京?匯文中學七年級期中）如圖表示3*3的數(shù)表，數(shù)表每個位置所對應的數(shù)都是1,2或3.定義

為數(shù)表中第。行第％列的數(shù).例如，數(shù)表第3行第1列所對應的數(shù)是2,所以3*1=2.若2*1=（2x+l）*2,

則x的值為（）

第1列第2列第3列

r、

第1行232

第2行313

第3行232

X.J

A.0,2B.1,2C.1,0D.I,3

5.（2021?北京師大附中七年級期中）若x=2是關于x的方程2x+3m-l=0的解，則加的值為（）

A.3B.-3C.1D.-1

6.（2021?北京八十中七年級期中）如果關于x的方程2（x+a）-4=0的解是x=-l,那么。的值是（）.

A.3B.-3C.-1D.1

7.（2021?北京?匯文中學七年級期中）若kl是關于x的方程2x+a=5的解，則。的值為（）

A.7B.3C.-3D.-7

二、填空題

8.（2021?北京四中七年級期中）學習了一元一次方程的解法后，老師布置了這樣一道計算題兩位同學的解答過程

分別如下:

1/17

甲同學：乙同學：

解方程嬰-十=1解方程竽_\2=i

解：掾x4-平x4=lx4…第①步解：誓x4-7x4=l…第①步

2(3x+l)-x-7=4…第②步2(3x+l)-x-7=l…第②步

6x+2-x-7=4…第③步6x+2-x-7=l…第③步

6x-x=4-2+7…第④步6x-x=l-2-7…第④步

5x=9…第⑤步5x=-8…第⑤步

QQ

X='...第⑥步x=-第⑥步

老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學的解答過程都有錯誤，請你從甲、乙兩位同學中，選擇一位同學的解答過程，幫助他找到錯誤

之處.

（1）我選擇同學的解答過程進行分析（填“甲”或“乙”）；

（2）該同學的解答過程從第步開始出現(xiàn)錯誤（填序號）.

9.（2021?北京師大附中七年級期中）我們知道，丁1=1-：，……因此關于x的方

1x222x3233x434

程內Y+3Y+為Y=120的解是：關于x的方程77X7+不X+……+77X^=2021的解是（用

含”的式子表示）.

10.（2021?北京一七一中七年級期中）若方程2x7=3和方程4x-4=2的解相同，則”.

11.（2021?北京八十中七年級期中）如右圖的框圖表示解方程3x+20=4x-25的流程，第3步變形叫做

，變形的依據(jù)是.

12.（2021?北京一七一中七年級期中）若+是關于x的一元一次方程，則方程的解為

13.（2021?北京?匯文中學七年級期中）解方程5=2相時，移項將其變形為3機2機=5的依據(jù)是

三、解答題

14.（2021?北京師大附中七年級期中）小兵喜歡研究數(shù)學問題，在學習一元一次方程后，他給出一個新定義：若

%是關于x的一元一次方程*+b=O（awO）的解，％是關于N的方程的所有解的其中一個解，且%,%滿足

%+為=100,則稱關于夕的方程為關于x的一元一次方程的“友好方程”.例如：一元一次方程3x-2x-99=0的解

2/17

是x°=99,方程/+1=2的所有解是y=l或y=-l,當%=1時，/+%=100,所以/+1=2為一元一次方程

3x-2x-99=0的“友好方程”

(1)已知關于的方程：①“-2=4,@\y\=2,哪個方程是一元一次方程3x-2x-102=0的“友好方程”？請直接

寫出正確的序號是.

(2)若關于N的方程|2y-2|+3=5是關于x的一元一次方程x-生曰=。+1的“友好方程”，請求出。的值.

(3)如關于N的方程2，〃|N-491+駕尹=加+〃是關于x的一元一次方程+45n=54m的“友好方程”，請直接寫

45

出上士的值.

n

15.(2021,北京師大附中七年級期中)數(shù)學家歐拉最先把關于x的多項式用記號/(x)來表示，例如

2

/(X)=X+3X-5,并把x=常數(shù)a時多項式的值用/(a)來表示，例如x=l時多項式》2+3X-5的值記為

/(l)=l2+3xl-5=-l.

(1)若規(guī)定/'(x)=2x-3,

①/(-1)的值是;

②若/(x)=7,x的值是；

(2)若規(guī)定g(x)=|x-2|,A(x)=|x+3|.

①有沒有能使g(x)=〃(x)成立的x的值，若有，求出此時x的值，若沒有，請說明理由，

②直接寫出g(x)+〃(x)的最小值和此時x滿足的條件.

16.(2021?北京八十中七年級期中)定義：若整數(shù)人的值使關于x的方程守+l=h的解為整數(shù)，則稱人為此方

程的“友好系數(shù)”

x+4

(1)判斷尢=0,◎=1是否為方程亍+1=區(qū)的“友好系數(shù)”，寫出判斷過程；

(2)方程寶+1=依“友好系數(shù)”的個數(shù)是有限個，還是無窮多？如果是有限個，求出此方程的所有“友好系數(shù)”；

如果是無窮多，說明理由

17.(2021?北京師大附中七年級期中)4(x-l)-3(20-x)=5(x-2).

18.(2021?北京師大附中七年級期中)1二匕

19.(2021,北京師大附中七年級期中)對于任意有理數(shù)a，b,定義運算：aOb=a(a+b)-\,等式右邊是通常的

力口法、減法、乘法運算，例如，205=2x(2+5)-1=13；(-3)O(-5)=-3x(-3-5)-l=23.

(1)計算(-2)03；=；

(2)對于任意有理數(shù)加，〃，請你重新定義一種運算“十”，使得5十3=20,寫出你定義的運算：，〃十〃=

(用含機，〃的式子表示).

3/17

一般情況下，對于數(shù)。和6,：+2*坐，但是對于某些特殊的數(shù)。和3￡+2=坐?我們把這些特殊的數(shù)。

242+4242+4

和6,稱為“理想數(shù)對”，記作6）.例如當。=1,6=-4時，有g+?=空?，那么（1，-4）就是“理想數(shù)對”.

①（3,-12）是不是“理想數(shù)對”?；（填“是”或“不是”）

②如果（2,X）是“理想數(shù)對"，那么x=

求3卜-3〃?

（3）若（，〃,〃）是“理想數(shù)對”,-4m-16的值.

20.（2021?北京?北師大實驗中學七年級期中）2（2-x）-5（2-x）=9

21.（2021?北京師大附中七年級期中）已知關于“的方程X-，竺=一的解是非負數(shù)，求加的取值范圍.

22.（2021?北京?北師大實驗中學七年級期中）“☆”是新規(guī)定的某種運算符號，設“☆/>=尤+。-6,解方程：2+x=

-8.

23.（2021?北京一七一中七年級期中）解下列方程：

（1）l-2（2x+3）=-3（2x+l）

24.（2021?北京八十中七年級期中）解方程:

（1）2x+5=3（x-l）；

⑵X上J+I

24

25.（2021?北京四中七年級期中）解方程

（1）5x+4（3x-l）=13

2.x—72—3x[

(2)------------=1

32

2

26.（2021?北京師大附中七年級期中）-§x-l=5.

27.（2021?北京?匯文中學七年級期中）解方程：2+一=g

28.（2021?北京?匯文中學七年級期中）解方程：3x+5=30-2x

4/17

參考答案

1.A

【分析】

方程整理后，根據(jù)方程的解為正整數(shù)確定出％的值即可.

【詳解】

解：方程去括號得：3x-9=kx,

移項合并得：(3TDx—9,

解得：x=F9v，

3-k

由x為正整數(shù)，人為非負整數(shù)，

得到k=2,0,

故選：A.

【點睛】

此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

2.A

【分析】

根據(jù)題意可得將方程兩邊同時乘以6即可去掉分母，據(jù)此進一步計算判斷即可.

【詳解】

原方程兩邊同時乘以6可得：18x+2(2x-l)=18-3(x+l),

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握相關方法是解題關鍵.

3.C

【分析】

對原方程按要求去分母，去括號得到變形后的方程，再和每個選項比較，選出正確選項.

【詳解】

2x+l10x4-11

—^=1，

去分母，兩邊同時乘以6為：2(2x+l)-(10x+l)=6

去括號為：4x+2-10x-l=6.

故選：C.

【點睛】

此題考查解一元一次方程的去分母和去括號，注意去分母是給方程兩邊都乘以分母的最小公倍數(shù)；去括號時，括號

前是負號括在括號內的各項要變號.

4.C

【分析】

5/17

首先根據(jù)題意，由2*1=(2x+l)*2,可得：(2x+l)*2=3,然后根據(jù)數(shù)表，可得：2x+l=3或2x+l=l,據(jù)此求

出x的值為多少即可.

【詳解】

解：v2*l=(2x+l)*2,

:.(2r+l)*2=3,

根據(jù)數(shù)表，可得：2x+l=3或2x+l=l,

解得：x=\或x=0.

故選：C.

【點睛】

此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并

同類項、系數(shù)化為L

5.D

【分析】

根據(jù)方程的解的定義，將x=2代入方程得到關于〃?的一元一次方程，解方程求解即可.

【詳解】

解：?.?*=2是關于x的方程2x+3〃?一l=0的解，

二2x2+3機-1=0

解得”「=-1

故選D

【點睛】

本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握方程的解的定義是解題的關鍵.使方程左右兩邊的值相等的

未知數(shù)的值是該方程的解.

6.A

【分析】

將x=-l代入2(x+a)-4=0,進行計算即可得.

【詳解】

解：將》=-1代入2(x+a)-4=0,

2(-l+a)-4=0

—2+2。—4=0

解得a=3

故選A.

【點睛】

本題考查了解一元一次方程，解題的關鍵是掌握解一元一次方程的方法.

7.B

【分析】

將x=l代入方程可得一個關于a的一元一次方程，解方程即可得.

【詳解】

6/17

解：將x=l代入方程2x+a=5得：2+a=5,

解得”3,

故選：B.

【點睛】

本題考查了一元一次方程的解，掌握理解方程的解的定義是解題關鍵.

8.乙①

【分析】

(1)選擇乙同學的解答過程進行分析；

(2)根據(jù)解一元一次方程的步驟進行計算，則可發(fā)現(xiàn)從第①步開始出現(xiàn)錯誤.

【詳解】

解：(1)我選擇乙同學的解答過程進行分析；

(2)^^--^-=1

24

方程兩邊同時乘以4,得：2(3x+l)-(x-7)=4,

去括號，得：6x+2-x+7=4,

移項，得：6x-x=4-2-7,

合并同類項，得：5x=-5,

系數(shù)化1,得：x=-\.

該同學的解答過程從第①步開始出現(xiàn)錯誤；

故答案為：(1)乙：(2)①.

【點睛】

本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解答本題的關鍵.

―2021(/1+1)2021、

9.x=160x=---------(或X=2021H----------)

nn

【分析】

(1)根據(jù)題意將方程的左邊變形，進而即可求解；

(2)同(1)的方法解一元一次方程即可

【詳解】

XXX

(1)--------F---------1--------=120

1x22x33x4

可化為：x(l--+---+---)=120

22334

3

即彳x=120

解得x=160

XX

(2)-1--x--2---1---2--x--3---H.......+4^71)=2021

x(l--+--+-—)-2021

2nn+l

7/17

n

g|J——x=2021

n+1

g殂20215+1）/千2021

解得戶---------（或x=2021+-----）A

nn

【點睛】

本題考查了解一元一次方程，仿照例題解決問題是解題的關鍵.

10.6

【分析】

本題中有2個方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系數(shù)的方程的解，再把解代入到含有字母系數(shù)的

方程中，求字母系數(shù)的值.

【詳解】

解方程2A-1=3,

得：x—2,

把x=2代入4x-a=2,

得：4x2-a=2,

解得：＜7=6.

故答案為：6.

【點睛】

本題考查同解方程的知識，比較簡單，解決本題的關鍵是理解方程解的定義，注意細心運算.

11.系數(shù)化為1等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0）,所得的結果仍是等式.

【分析】

根據(jù)等式的性質進行求解即可.

【詳解】

解：第三步的做法是兩邊都除以-1即叫做系數(shù)化為1,其依據(jù)是：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不

能為0）,所得的結果仍是等式.

故答案為：系數(shù)化為1,等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0）,所得的結果仍是等式.

【點睛】

此題考查了解一元一次方程，等式的性質，熟練掌握解方程的步驟是解本題的關鍵.

3

12.x=一

2

【分析】

根據(jù)一元一次方程的定義即可求出答案.

【詳解】

解：V（m+l）xw-3=0是關于X的一元一次方程

且加+1片0,解得：m=l

3

???原方程為2x-3=0,解得：x=j

8/17

3

故答案為：x=~2

【點睛】

本題考查一元一次方程，解題的關鍵是熟練運用一元一次方程的定義，本題屬于基礎題型.

13.等式的基本性質1

【分析】

解方程3〃?=5+2m時、“移項”將其變形為3加-2加=5的依據(jù)是等式的基本性質1：等式兩邊加同一個數(shù)(或式子)結

果仍得等式.

【詳解】

解：依據(jù)等式的基本性質1,

等號的兩邊同時減2m加5得3W-2機=5.

故答案為：等式的基本性質1.

【點睛】

本題主要考查了解一元一次方程，要熟練掌握，注意等式的性質的應用.

14.(1)②；(2)95或97：(3)16

【分析】

(1)先求出一元一次方程3x-2x-102=0的解，再解方程2y-2=4和|川=2,根據(jù)“友好方程”的定義去判斷；

(2)解出方程|2y-2|+3=5的解，一元一次方程x一名鏟=。+1的解是*="3,分類討論，令x°+%=100,求

出a的值；

(3)一元一次方程mx+45〃=54,"解得x=二54加上一上45〃=544-5〃3，由/+為=100得y=100—x=4儂5〃+46,把它代

mmm

入關于y的方程即可求出結果.

【詳解】

解：(1)一元一次方程3x-2x-102=0的解是x°=102,

方程2y-2=4的解是＞=3,%+”400,故不是“友好方程”，

方程3=2的解是y=2或%-2,當％=-2時，/+%=100,故是“友好方程”,

故答案是：②；

(2)方程|2尸2|+3=5的解是尸2或丁=0,

一元一次方程X-空言=。+1的解是＞。+3,

若%=2,%+%=100,則。+3+2=100,解得。=95,

若%)=0,Xo+^o=100,則4+3+0=100,解得。=97,

綜上，。的值是95或97；

(3)加x+45〃=54加,54/w—^45/=754-4—5〃,

mm

?,?x0+y0=100,

9/17

Aj/=100-x=-+46,

m

?,y-1)

v27w|y-49|+—七一-=m+n,

c45〃A,“八45n+45加

???2m-----F46-49+---------=+〃

m45

c45〃,

2m-------3+〃？+〃=〃？+〃

m

2ni--3=0,

tn

??,分母m不能為0,

45〃n1

--3=0,B|J-=—,

mm15

—=15,

n

m+nm

=—+1=16.

nn

【點睛】

本題考查解一元一次方程，解題的關鍵是理解題目中定義的“友好方程”，通過解一元一次方程的方法求解.

15.

(1)①-5；②5,

(2)①有，x=-1,見解析；②g(x)+〃(x)的最小值是5,-3勺￡2

【分析】

(1)①當尸-1時，計算2義(-1)-3；

②計算2x-3=7,求得x即可；

(2)①x-2=x+3或x-2=-(x+3),解方程即可；

②|x-2|+|x+3|表示動點工到2和-3的距離和，按照x>2,x<-3,-3SW2分別計算比較結果即可.

(1)

(1)①?.?/(x)=2x-3,

..?當x=-1時,2x(-l)-3=-5,

的值是5

故答案為：?5；

②???/")=2x-3,/(x)=7

???2xx-3=7,

AX=5,

故答案為：5；

10/17

(2)

①有，尸一；，理由如下：

vg(x)=|x-2|,A(x)=|x+3|,且g(x)=〃(x),

??.x-2=x+3,無解；

或x-2=-(x+3),

解得x=-;,

故當JC=-g時，g(x)=〃(x)；

②設動點P表示的數(shù)為X,點/表示的數(shù)是-3,點8表示的數(shù)2,

則|x-2|+|x+3|表示數(shù)軸上動點尸到點A和點B的距離和即PA+PB,

當x>2時，如圖所示，

ABP.

--------?----1---1-1----1----?----L-0J----->

-4-3-2-101234

PA+PB>AB=2-(-3)=5；

當x<-3時，如圖所示，

PAB

—~.—>--1--1----1----1---?---1--1------>

-4-3-2-101234

PA+PB>AB=2-(-3)=5；

當-3*2時，如圖所示，

APB.

--------?---1---1----i_<_i----?---1---1------>

-4-3-2-101234'

PA+PB=x+3+2-x=5=AB=1-(-3)=5；

故當-3OW2時，g(x)+/?(x)有最小值，且為5.

【點睛】

本題考查了求函數(shù)值，自變量的值，解方程，絕對值的化簡，數(shù)軸上的動點問題，熟練掌握絕對值的化簡，數(shù)軸上

的動點問題是解題的關鍵.

16.(1)勺=0,左2=1是友好系數(shù)；(2)左=0或±1或2

【分析】

(1)分別算出當％=尢=。和4=勺=1時方程的解，然后進行判斷即可；

(2)先算出當%=!時，*+6=》即0=6不成立，當當女中：時，x=-^~,再根據(jù)x是整數(shù)，4也是整數(shù)進行求

222A--1

解即可.

【詳解】

x+4x+4

解：(1)當亍+1=幻時，即亍+1=0,

11/17

???x+4+2=0,

解得x=-6,

??.4=0是方程的“友好系數(shù)”；

x+4x+4

當±工±+l=&x時，即為：+l=x,

22

x+4+2=2x,

解得x=6,

.??a=1是方程的“友好系數(shù)”；

???x+4+2=2kx,

當左=；時，x+6=x即0=6不成立,

二要使得X的值為整數(shù)，則&=±6或"_；=±3或"_；=±2或±=±1,

又?"為整數(shù)，

二解得左=0或±1或2.

【點睛】

本題主要考查了解一元一次方程，解題的關鍵在于能夠熟練掌握解一元一次方程的方法.

17.x=27

【分析】

按照一元一次方程的解題步驟，仔細求解即可.

【詳解】

v4（x-l）-3（20-x）=5（x-2）,

去括號，得

4x-4-60+3x=5x-10,

移項，得

4x+3x-5x=60+4?10,

合并同類項，得

2x=54,

系數(shù)化為1,得

x=27.

【點睛】

本題考查了一元一次方程的解法，熟練掌握解方程的基本步驟是解題的關鍵.

18.x=-9

【分析】

12/17

按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1五個步驟仔細求解即可.

【詳解】

x-34x+11

V-----------------=1

25'

去分母，得

5(x-3)-2(4x+l)=10,

去括號，得

5x-l5-8x-2=10,

移項，得

5x-8x=10+15+2.

合并同類項，得

-3x=27,

系數(shù)化為1,得

x=-9.

【點睛】

本題考查了一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的五步驟解法是解題的關鍵.

19.

(1)-4；

(2)m(〃+1)；①是；

(3)-16

【分析】

(1)根據(jù)新定義，計算-2x(-2+33)-1即可：

(2)根據(jù)5十3=20=5x4=5x(3+l),定義加十〃=加(〃+1)；

①驗證等式是否成立；

②構造方程］+：=三4，解方程即可：

(3)〈私是“理想數(shù)對”，確定〃7,〃之間的關系，化簡已知代數(shù)式，代入求值即可.

(1)

vaO6=a(a+Z?)-l,

???(-2)03；=?2x(-2+33)-1=-4,

故答案為：-4；

(2)

v5?3=20=5x4=5x(3+l),

13/17

m@n=m(〃+l)；

①L3,8=-12時，有＜+士」J+(T2),

—2422+4

???(3,-12)是“理想數(shù)對”,

故答案為：是；

②：口㈤是“理想數(shù)對”，

2x2+x

—?—=-------，

242+4

解得x=-8；

(3)

是“理想數(shù)對”，

mnm+n

??—I—=----------，

242+4

解得n=-4mf

???3(9〃_4〃?)_8(〃_,〃?)]_4加_16

28

=3x(9〃-4m—8n+—m)~4機—16

=3”+16加

=3n+12m-16,

當n=-4用時，

原式=-12”?+127n-16

=-16.

【點睛】

本題考查了實數(shù)的新定義，一元一次方程的解法，代數(shù)式的化簡求值，正確理解新定義，熟練掌握一元一次方程的

解法，熟練進行化簡求值是解題的關鍵.

20.x=5

【分析】

去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,據(jù)此求出方程的解即可.

【詳解】

解：去括號,可得:4-2x-10+5x=9,

移項，合并同類項，可得：3x=15,

系數(shù)化為1,可得：x=5.

【點睛】

此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并

同類項、系數(shù)化為L

21.m的取值范圍是m42.

【分析】

14/17

先根據(jù)等式的性質求出方程的解，即可得出關于m的不等式，求出不等式的解集即可.

【詳解】

解：去分母得：3x-(2x-=2-x,

去括號得：3x-2x+m=2~x,

移項合并得：lx-2-m,

2-m

vx>0,

解得：m<2,

所以m的取值范圍是用42.

【點睛】

本題考查了一元一次方程的解，解題的關鍵是把字母m看作一個常數(shù)來解，本題是常見的題型，要求掌握.

22.x=-10

【分析】

根據(jù)規(guī)定的運算法則可得一元一次方程，解方程即可求得解.

【詳解】

由題意得：2x+2-x=-8

解得：x=-10

【點睛】

本題考查了新運算及解一元一次方程，關鍵是理解定義的新運算.

23.(1)x=l,(2)x=-9

【分析】

(1)先去括號，再移項、合并同類項、系數(shù)化為1即可求解；

(2)按照解一元一次方程的步驟求解即可.

【詳解】

解：(1)l-2(2x+3)=-3(2x+l)

去括號得，l-4x—6=-6x-3

移項得，—4x+6x=6—3—1