2023年高一數(shù)學(xué)教案：等比數(shù)列2

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦高一數(shù)學(xué)教案：等比數(shù)列2第八課時(shí)等比數(shù)列(二)

教學(xué)目標(biāo)：

靈便應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，深刻理解等比中項(xiàng)概念，把握等比數(shù)列的性質(zhì)；提高同學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增加同學(xué)的應(yīng)用意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)：

1.等比中項(xiàng)的理解與應(yīng)用.

2.等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：

靈便應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程：Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧

等比數(shù)列定義，等比數(shù)列通項(xiàng)公式Ⅱ.講授新課

按照定義、通項(xiàng)公式，再與等差數(shù)列對(duì)比，看等比數(shù)列具有哪些性質(zhì)?

(1)若a，A，b成等差數(shù)列?a＝a＋b

2

，A為等差中項(xiàng).

那么，假如在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，……則即Ga＝b

G

，即G2＝ab

反之，若G2＝ab，則Ga＝b

G

，即a，G，b成等比數(shù)列

∴a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab(a·b≠0)

總之，假如在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng).即G＝±ab，(a，b同號(hào))

另外，在等差數(shù)列中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，那么，在等比數(shù)列中呢？

由通項(xiàng)公式可得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp－1，aq＝a1·qq－

1

不難發(fā)覺(jué)：am·an＝a12qm+n－2，ap·aq＝a12qp+q－

2若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq

下面看應(yīng)用這些性質(zhì)可以解決哪些問(wèn)題?

［例1］在等比數(shù)列{an}中，若a3·a5＝100，求a4.

分析：由等比數(shù)列性質(zhì)，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq可得：解：∵在等比數(shù)列中，∴a3·a5＝a42又∵a3·a5＝100，∴a4＝±10.

［例2］已知{an}、{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證{an·bn}是等比數(shù)列.分析：由等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式求得.

解：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比為p；{bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q.

則數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)分離為a1pn－

1，a1pn

數(shù)列{bn}的第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)分離為b1qn－

1，b1qn.

數(shù)列{an·bn}的第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)分離為a1·pn－1·b1·qn－

1與a1·pn·b1·qn，即為

a1

b1(pq)n－

1與a1b1(pq)n

∵an+1an·bn+1

bn＝a1b1（pq）na1b1（pq）n－1

＝pq它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，

∴{an·bn}是一個(gè)以pq為公比的等比數(shù)列.

特殊地，假如{an}是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)，那么數(shù)列{c·an}是等比數(shù)列.［例3］三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積等于64，求這三個(gè)數(shù).解：設(shè)m，G，n為此三數(shù)由已知得：m＋n＋G＝14，m·n·G＝64，又∵G2＝m·n，∴G3＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10

∴???m＝2n＝8或???m＝8n＝2

即這三個(gè)數(shù)為2，4，8或8，4，2.

評(píng)述：結(jié)合已知條件與定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)，挑選解題捷徑.Ⅲ.課堂練習(xí)

課本P50練習(xí)1，2，3，4，5.Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

本節(jié)主要內(nèi)容為：

(1)若a，G，b成等比數(shù)列，則G2＝ab，G叫做a與b的等比中項(xiàng).(2)若在等比數(shù)列中，m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aqⅤ.課后作業(yè)

課本P52習(xí)題5，6，7，9

等比數(shù)列(二)

1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（）

A.5

B.10

C.15

D.20

2．在等比數(shù)列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m等于（）

A.9

B.10

C.11

D.12

3．非零實(shí)數(shù)x、y、z成等差數(shù)列，x＋1、y、z與x、y、z＋2分離成等比數(shù)列，則y等于（）

A.10

B.12

C.14

D.164．有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其和為19，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為12，求此四數(shù).

5．在數(shù)列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.

6．設(shè)x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，y

x能按某種挨次構(gòu)成等比數(shù)列，試求這個(gè)等比數(shù)列.

7．有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項(xiàng)的和為21，中間兩項(xiàng)的和為18，求這四個(gè)數(shù).

等比數(shù)列(二)答案

1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（）

A.5

B.10

C.15

D.20

分析：要確定一個(gè)等比數(shù)列，必需有兩個(gè)自立條件，而這里惟獨(dú)一個(gè)條件，故用先確定基本量a1和q，再求a3＋a5的辦法是不可的，而應(yīng)尋求a3＋a5整體與已知條件之間的關(guān)系.

解法一：設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，由條件得a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝25即a12q4(q2＋1)2＝25，又an＞0，得q＞0∴a1q2(q2＋1）＝5

a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(q2＋1)＝5解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25

由等比數(shù)列性質(zhì)得a32＋2a3a5＋a52＝25即(a3＋a5)2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5

評(píng)述：在運(yùn)用方程思想辦法的過(guò)程中，還要注重整體觀念，擅長(zhǎng)利用等比數(shù)列的性質(zhì)，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題過(guò)程、迅速求解的目的.

2．在等比數(shù)列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m等于（）

A.9

B.10

C.11

D.12

解：∵am＝a1a2a3a4a5＝a15q1+2+3+4＝a15q10＝a15q11－

1

又∵a1＝1，∴am＝q11－

1，∴m＝11.答案：C

3．非零實(shí)數(shù)x、y、z成等差數(shù)列，x＋1、y、z與x、y、z＋2分離成等比數(shù)列，則y等于（）

A.10

B.12

C.14

D.16

解：由已知得?????2y＝x＋zy2＝（x＋1）zy2＝x（z＋2）??????2y＝x＋zy2＝（x＋1）zz＝2x????2y＝3xy2＝（x＋1）2x?y＝12

答案：B

4．有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其和為19，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為12，求此四數(shù).

解：設(shè)所求的四個(gè)數(shù)分離為a，x－d，x，x＋d

則????

?（x－d）2＝ax①a＋（x－d）＋x＝19②（x－d）＋x＋（x＋d）＝12③

解得x＝4，代入①、②得???（4－d）2＝4aa－d＝11

解得???a＝25d＝14或???a＝9d＝－2

故所求四個(gè)數(shù)為25，－10，4，18或9，6，4，2.

5．在數(shù)列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.

分析：關(guān)鍵是求出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.按照條件，應(yīng)注重兩個(gè)數(shù)列之間的聯(lián)系及互相轉(zhuǎn)換.

解：由題意知：???2bn＝an＋an＋1①

an＋12＝

bnbn＋1②

∴an+1＝bnbn＋1，an＝bnbn－1(n≥2)代入①得2bn＝bnbn＋1＋bnbn－1即2bn＝bn＋1＋bn－1(n≥2)∴{bn}成等差數(shù)列，設(shè)公差為d又b1＝2，b2＝a22b1＝9

2，

∴d＝b2－b1＝322－2＝2

2

∴bn＝2＋

22（n－1）＝22（n＋1），bn＝12

（n＋1）2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝bnbn－1＝n（n＋1）

2③

且a1＝1時(shí)適合于③式，故

an

bn＝nn＋1

.評(píng)述：對(duì)于通項(xiàng)公式有關(guān)系的兩個(gè)數(shù)列的問(wèn)題，普通采納消元法，先消去一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，并對(duì)只含另一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的關(guān)系舉行恒等變形，構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列.

6．設(shè)x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，y

x

能按某種挨次構(gòu)成等比數(shù)列，試求這個(gè)等比數(shù)列.

分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下來(lái)只需研究y

x和x－y的大小關(guān)系，分成

兩種狀況研究.

解：∵x＞y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而y

x＜1＜x－y

當(dāng)yx＜x－y時(shí)，由y

x

，x－y，x＋y，xy順次構(gòu)成等比數(shù)列.則有?????yx·xy＝（x－y）（x＋y）（x＋y）2＝（x－y）xy

解方程組得x＝7＋52，y＝5＋7

22

∴所求等比數(shù)列為

22，2＋322，12＋1722，70＋99

2

2.當(dāng)yx＞x－y時(shí)，由x－y，y

x，x＋y，xy順次構(gòu)成等比數(shù)列則有?

??y

x·xy＝（x＋y）2y

x

（x＋y）＝（x－y）xy

解方程組得y＝

1

12

，這與y＞2沖突，故這種狀況不存在.7．有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項(xiàng)的和為21，中間兩項(xiàng)的和為18，求這四個(gè)數(shù).分析一：從后三個(gè)數(shù)入手.

解法一：設(shè)所求的四個(gè)數(shù)為（x－d）2

x，x－d，x，x＋d，按照題意有

?????（x－d）2

x＋（x＋d）＝21

（x－d）＋x＝18，解得???x＝12d＝6或?

??

x＝274d＝92

274∴所求四個(gè)數(shù)為3，6，12，18或754，454，274，9

4.

分析二：先前三數(shù)入手.

解法二：設(shè)前三個(gè)數(shù)為x

q，x，xq，則第四個(gè)數(shù)為2xq－x.

依題設(shè)有?????xq＋2xq－x＝21x＋xq＝18，解得???x＝6q＝2或?

??x＝45

4

q＝35

故所求的四個(gè)數(shù)為3，6，1