高中總復習之二倍角公式

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家只要付出，定有回報??！歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚?！緦W習目標】1．能從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.2．能熟練運用二倍角公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、半角公式．但不要求記憶），能靈活地將公式變形并運用．3．通過運用公式進行簡單的恒等變換，進一步提高運用聯(lián)系的觀點、化歸的思想方法處理問題的自覺性，體會換元思想、方程思想等在三角恒等變換中的作用.【要點梳理】要點一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式要點詮釋：(1)公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式中，只有當及時才成立；(2)倍角公式不僅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的.要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關系，才能熟練地應用好二倍角公式，這是靈活運用公式的關鍵.如：；2．和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式時，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：要點二：二倍角公式的逆用及變形要點三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型求值題、化簡題、證明題1．對公式會“正著用”，“逆著用”，也會運用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、湊項、添項、換元等；2．掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結論中的角與已知條件中的角的關系，如等等，把握式子的變形方向，準確運用公式，也要抓住角之間的規(guī)律(如互余、互補、和倍關系等等)；3．將公式和其它知識銜接起來使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接.【典型例題】類型一：二倍角公式的簡單應用例1．化簡下列各式：（1）；（2）；（3）．【思路點撥】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）．（2）．（3）．【總結升華】本題的解答沒有去就單個角求其函數(shù)值，而是將所給式子作為一個整體變形，逐步向二倍角公式的展開形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔細體會本題中的解題思路．舉一反三：（2）已知，且α∈(，π)，則的值為．【答案】（1）（2）【解析】（1）原式====（2）因為，且α∈(，π)，所以，原式=．類型四：二倍角公式在三角函數(shù)式給值求值題目中的應用【高清課堂：倍角、半角公式370633例2】例5．求值：（1）已知，求．（2）已知，求．【思路點撥】觀察所求的角與已知角的關系，發(fā)現(xiàn)它們是二倍的關系，所以用二倍角公式去求解．【答案】（1）（2）【解析】（1）===（2）===【總結升華】給值求值是求值問題中常見的題型，求解的要點是利用公式溝通已知條件和所求式子之間的聯(lián)系，考查公式運用和變換的技巧．舉一反三：【變式1】已知，且，求，，的值．【答案】【解析】由，得，即，∴由，得，∴．即．整理得．解得或（舍去）．∴．∴．【總結升華】解題過程中注意角的范圍的判定．【變式2】已知，（1）求tan的值；（2）求的值．【解析】（1），解得．（2）．【總結升華】第（1）問中利用了方程的思想求tan的值；對于第（2）問的題型，一般需要將分式轉化為含tan的式子求解，或者通過消元轉化的方法求解．類型五：二倍角公式的綜合應用【高清課堂：倍角、半角公式370633例3】例6．已知，求：（1）f(x)的最大值以及取得最大值的自變量的集合；（2）f(x)的單調(diào)區(qū)間．【思路點撥】用降冪公式把原式降冪，然后用輔助角公式化成的形式．【答案】（1）（2）單增區(qū)間單減區(qū)間【解析】（1）原式===則當即時，（2）f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，則【總結升華】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余弦公式及的性質等知識．要記住倍角公式兩類重要變形并能熟練應用：（1）縮角升冪公式，．，．（2）擴角降冪公式，．例7．已知向量，，求函數(shù)．（1）求的最大值及相應的x值；（2）若，求的值．【思路點撥】利用向量數(shù)量積公式的坐標形式，將題設條件中所涉及的向量數(shù)量積轉化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關系”，從而建立函數(shù)f(x)關系式．【答案】（1）（2）【解析】（1）因為，，所以．因此，當，即時，取得最大值．（2）由及得，兩邊平方得，即．因此，．舉一反三：【變式1】已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值.【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）所以函數(shù)的最小正周期為.由，，則.函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是，.(Ⅱ)由，得.則當，即時，取得最小值.【變式2】已知向量m=（sinA，cosA），，m·n=1，且A為銳角．（1）求角A的大??；（2）