數(shù)學(xué)必修二第三章直線(xiàn)與方程課件

第三章復(fù)習(xí)總結(jié)一、知識(shí)講解(1)坐標(biāo)平面內(nèi)，任意一條直線(xiàn)的方程都是關(guān)于x、y的二元一次方程；每一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程都表示一條直線(xiàn)．特別注意x＝a也是一條直線(xiàn)，此直線(xiàn)垂直于x軸，直線(xiàn)上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是a1.直線(xiàn)方程2．斜率計(jì)算(1)傾斜角為α的直線(xiàn)斜率k＝tanα

α∈[0°，90°)∪(90°，180°)，傾斜角為銳角時(shí)，k>0；直線(xiàn)平行于x軸或與x軸重合(即垂直于y軸)時(shí)，α＝0°，k＝0；傾斜角為鈍角時(shí)，k<0，α＝90°時(shí)，k不存在．文字表述兩條直線(xiàn)都有斜率如果它們垂直，則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則它們互相垂直符號(hào)表示l1y＝k1x＋b1l2y＝k2x＋b2l1⊥l2?k1·k2＝－1l1A1x＋B1y＋C1＝0l2A2x＋B2y＋C2＝0l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝03．兩條直線(xiàn)的平行與垂直(1)兩條直線(xiàn)垂直的條件注意：兩條直線(xiàn)互相垂直，一條斜率為0，則另一條斜率不存在．注意：兩條不重合直線(xiàn)斜率都不存在，則它們平行．(2)兩條直線(xiàn)平行的條件求直線(xiàn)方程時(shí)，要善于根據(jù)條件，合理選用直線(xiàn)方程的形式，用待定系數(shù)法求解．其基本步驟是：①設(shè)所求直線(xiàn)方程的某種形式②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)③解方程(組)求出參數(shù)④將參數(shù)的值代入所設(shè)方程4.直線(xiàn)的方程5．直線(xiàn)方程的設(shè)法(1)過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)的直線(xiàn)方程可設(shè)為y－y0＝k(x－x0)，莫忘檢驗(yàn)x＝x0是否滿(mǎn)足題設(shè)條件．(2)已知斜率為k的直線(xiàn)方程可設(shè)為y＝kx＋b.(3)已知傾斜角為α(α≠90°)的直線(xiàn)方程可設(shè)為y＝(tanα)x＋b.(4)與直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0平行的直線(xiàn)方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0.(5)與直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0垂直的直線(xiàn)方程可設(shè)為Bx－Ay＋C1＝0.(6)與直線(xiàn)y＝kx＋b平行的直線(xiàn)方程可設(shè)為y＝kx＋b1.(8)過(guò)兩直線(xiàn)l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)(A1B2－A2B1≠0)的直線(xiàn)方程可設(shè)為(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2y＋B2y＋C2)＝0.8．對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(1)點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)Q(a，b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2a－x,2b－y)．曲線(xiàn)F(x，y)＝0關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)方程為F(2a－x,2b－y)＝0.(2)點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線(xiàn)x＝m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2m－x，y)．曲線(xiàn)F(x，y)＝0關(guān)于x＝m的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)為F(2m－x，y)＝0.(3)點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線(xiàn)y＝n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,2n－y)．曲線(xiàn)F(x，y)＝0關(guān)于直線(xiàn)y＝n的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)F(x,2n－y)＝0.特別地，當(dāng)|A|＝|B|＝1時(shí)，可直接由對(duì)稱(chēng)軸方程解出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)．(5)反射即對(duì)稱(chēng)，入射光線(xiàn)與反射光線(xiàn)關(guān)于法線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于鏡面直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．*9.直線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題含有一個(gè)待定系數(shù)(參數(shù))的二元一次方程過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的解法：(1)特殊值法，利用不論參數(shù)取何值，方程都有解，給方程中的參數(shù)取兩個(gè)特殊值，可得關(guān)于x、y的兩個(gè)方程，從中解出的x、y的值即為所求定點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)分離參數(shù)法：經(jīng)過(guò)將方程整理為m(A1x＋B1y＋C1)＋A2x＋B2y＋C2＝0，則該方程表示的直線(xiàn)一定過(guò)直線(xiàn)A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)，而交點(diǎn)就是定點(diǎn)．將含有參數(shù)的直線(xiàn)方程寫(xiě)成點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝m(x－x0)，則直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)．10．直線(xiàn)在坐標(biāo)軸上的截距直線(xiàn)的斜截式方程和截距式方程中提到的“截距”不是“距離”，“截距”可取一切實(shí)數(shù)，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．如直線(xiàn)y＝3x－6在y軸上的截距是－6，在x軸上的截距是2.在直線(xiàn)方程中，令x＝0得縱截距b，令y＝0得橫截距a，則在題設(shè)條件中，涉及直線(xiàn)在兩軸上“截距相等”“截距絕對(duì)值相等”、“截距互為相反數(shù)”、“截距相差m”與“兩軸圍成三角形周長(zhǎng)(或面積)”等時(shí)，常用截距式，要特別注意0截距的情形．二、典型例題一、傾斜角與斜率問(wèn)題[例1]已知直線(xiàn)l1的傾斜角為α1＝15°，直線(xiàn)l1與l2的交點(diǎn)為A，把直線(xiàn)l2繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線(xiàn)l1重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角為60°，求直線(xiàn)l2的斜率k2.[分析]由三角形中內(nèi)角與外角的關(guān)系求解[解析]設(shè)直線(xiàn)l2的傾斜角為α2，如右下圖可知180°－α2＋15°＝60°，∴α2＝135°∴k2＝－1.[點(diǎn)評(píng)]作為選擇題上述解答過(guò)程顯然很繁，能否找到簡(jiǎn)捷解法？多反思一下，會(huì)有助于能力的提高．(一)從選項(xiàng)上看，A、B項(xiàng)都含k＝0，C、D項(xiàng)都不含k＝0，令k＝0，直線(xiàn)y＝1顯然滿(mǎn)足題設(shè)要求，故排除C、D.二、直線(xiàn)方程的五種形式[例3]已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)、B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求(1)AB邊的方程；(2)AC和BC邊所在直線(xiàn)的方程．[分析]當(dāng)直線(xiàn)與x軸平行或垂直時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)的方程．由于AB邊是一條線(xiàn)段，要注意變量的取值范圍．[解析]

(1)如右下圖所示，AB邊的方程為y＝1(1≤x≤5)．[例4]已知兩直線(xiàn)a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交點(diǎn)為P(2,3)，求過(guò)兩點(diǎn)A(a1，b1)、B(a2，b2)的直線(xiàn)方程．[分析]利用點(diǎn)斜式或直線(xiàn)與方程的概念進(jìn)行解答．[解析]解法1：∵P(2,3)是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，∴2x＋3y－(3b1＋2a1)＝0.又2a1＋3b1＝－1，∴2x＋3y＋1＝0.故過(guò)A(a1，b1)、B(a2，b2)兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為2x＋3y＋1＝0.解法2：∵點(diǎn)P是已知兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，可見(jiàn)A(a1，b1)、B(a2，b2)都滿(mǎn)足方程2x＋3y＋1＝0.故過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為2x＋3y＋1＝0.結(jié)評(píng)述：解法2充分體現(xiàn)了“點(diǎn)在直線(xiàn)上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足直線(xiàn)的方程；反之，若點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足直線(xiàn)的方程，則直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)該點(diǎn)”．解題活動(dòng)中，多思少算，能有效地訓(xùn)練思維能力．三、直線(xiàn)的平行與垂直[例5]已知兩直線(xiàn)l1：(m＋3)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(m＋5)y＝8，問(wèn)當(dāng)m為何值時(shí)，(1)l1∥l2；(2)l1與l2重合；(3)l1與l2相交； (4)l1與l2垂直．∴①當(dāng)m＝－7時(shí)，l1∥l2；②當(dāng)m＝－1時(shí)，l1與l2重合；③當(dāng)m∈R且m≠－1，m≠－7時(shí)，l1與l2相交；四、距離問(wèn)題[例6]已知正方形的中心為直線(xiàn)x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交點(diǎn)，正方形一邊所在直線(xiàn)方程為x＋3y－2＝0，求其它三邊所在直線(xiàn)的方程．[分析]充分利用正方形中心的性質(zhì)：到各邊距離相等．∴中心坐標(biāo)為(－1,0)．設(shè)正方形相鄰兩邊方程為：x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.∴m＝4或m＝－2和n＝6或n＝0.∴其他三邊所在直線(xiàn)的方程為：x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.五、分類(lèi)討論的思想[例7]過(guò)點(diǎn)P(－1,0)、Q(0,2)分別作兩條互相平行的直線(xiàn)，使它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，求這兩條直線(xiàn)方程．[解析]

(1)當(dāng)兩條直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，兩條直線(xiàn)的方程分別為x＝－1，x＝0，它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為1，適合題意；∴直線(xiàn)的方程為y＝x＋1，y＝x＋2，即為x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.綜合(1)、(2)可知，適合題意的直線(xiàn)方程為x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x