2022-2023學(xué)年吉林省第三十六屆聯(lián)合體高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年吉林省第三十六屆聯(lián)合體高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，是虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算即可.【詳解】,.故選：A.2．一個(gè)平面圖形用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則原平面圖形的周長(zhǎng)為（

）A．8 B． C．16 D．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的過(guò)程將直觀圖還原回原圖形，找到直觀圖中正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在原圖形中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，用直線段連結(jié)后得到原四邊形，再計(jì)算平行四邊形的周長(zhǎng)即可．【詳解】還原直觀圖為原圖形如圖所示，因?yàn)椋?，還原回原圖形后，，，所以，所以原圖形的周長(zhǎng)為．故選：C.3．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，，則（

）A．1 B． C．3 D．1或3【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理，，即，，解得.故選：C4．圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用扇形的弧長(zhǎng)公式及圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則，由題意知，，解得：，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：A.5．已知，，E為的中點(diǎn)，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可結(jié)合圖形關(guān)系求解.【詳解】由得,所以,故選：B6．已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由已知可求得，然后根據(jù)投影向量的公式，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，向量在向量上的投影向量?故選：C．7．在正四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面是腰長(zhǎng)為的等腰三角形，則正四棱錐的外接球的體積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)外接球的球心為O，半徑為R，底面中心為E，連接SE，BO，BE，在中，由求解.【詳解】解：如圖所示設(shè)外接球的球心為O，半徑為R，底面中心為E，連接SE，BO，BE，因?yàn)樵谡睦忮F中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面是腰長(zhǎng)為的等腰三角形，所以，在中，，即，解得，所以外接球的體積為，故選：C8．圣·索菲亞教堂坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美.如圖，小明為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t小明估算索菲亞教堂的高度約為(取)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在直角中可得，再在中利用正弦定理可得，所以由結(jié)合正弦的兩角差公式即可求解.【詳解】在直角中，，因?yàn)樵谥?，，，所以，在中由正弦定理可得，又由，所以在直角中，可?故選：B二、多選題9．已知是虛數(shù)單位，以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（

）A．B．復(fù)數(shù)的虛部為C．若復(fù)數(shù)z滿足，則z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限D(zhuǎn)．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可判斷A正確；根據(jù)復(fù)數(shù)概念，判斷B錯(cuò)；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)z，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，可判斷C錯(cuò)；根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，可判斷D正確.【詳解】A選項(xiàng)，，故A正確；B選項(xiàng)，z的虛部為-1，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，，則，所以有，解之得或即或，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限或第三象限，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，表示z到和兩點(diǎn)的距離相等，故z的軌跡是線段的垂直平分線，故D正確.故選：AD.10．設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】ABD【分析】根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，，，則或相交，因?yàn)槿舳寂c交線平行，此時(shí)，，但此時(shí)兩個(gè)平面相交，故A錯(cuò)誤；B.直線垂直于平面的兩條相交直線，直線與平面垂直，所以根據(jù)線面垂直的判斷定理可知，B錯(cuò)誤；C.若，，則，故C正確；D.若，，，則，或異面，故D錯(cuò)誤.故選：ABD11．在中，a，b，c分別為的對(duì)邊，下列敘述正確的是（

）A．若，則有兩解B．若，則為等腰三角形C．若為銳角三角形，則D．若，則為銳角三角形【答案】AC【分析】利用正弦定理可判定A，B的正誤，根據(jù)銳角三角形的特點(diǎn)和余弦函數(shù)的單調(diào)性可得C的正誤，用正弦定理和余弦定理可得D的正誤.【詳解】若，則由正弦定理，可得，所以或，此時(shí)有兩解，A正確；若，則由正弦定理可得，所以,即，所以有或，即或，B不正確；若為銳角三角形，則，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，所以，C正確；若，則由正弦定理可得，設(shè)，其中；則為最大邊，，為鈍角三角形，D不正確.故選：AC.12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，E為AB的中點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），則（

）A．若∥平面，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為B．平面與平面ABCD的夾角的正切值為C．平面截正方體所得的截面多邊形的周長(zhǎng)為D．不存在一條直線l，使得l與正方體的所有棱所成的角都相等【答案】ABC【分析】對(duì)于A、C項(xiàng)，先作出平面截正方體所得的截面，通過(guò)構(gòu)造面面平行得出M軌跡及截面多邊形周長(zhǎng)；對(duì)于B項(xiàng)，作出二面角計(jì)算即可；對(duì)于D項(xiàng)，可知所有與體對(duì)角線平行的線與正方體各棱夾角都相等.【詳解】如圖所示，分別延長(zhǎng)DC、D1F交于點(diǎn)N，連接NE并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，交CB于O點(diǎn)，連接D1G交A1A于H點(diǎn)，則五邊形D1FOEH為平面截正方體所得的截面，在側(cè)面中作PQ∥D1H，可得M軌跡為線段PQ，由已知及平行線分線段成比例可得：，,所以,即，A正確；，故五邊形D1FOEH周長(zhǎng)為，C正確；連接BD，交EO于點(diǎn)I，由上計(jì)算可得I為GN中點(diǎn)，且D1G=G1N，故DI⊥EO，D1I垂直EO，即為平面與平面ABCD的夾角，易得，B正確；對(duì)于D存在直線l，如直線與正方體三條棱夾角相等．故選：ABC．三、填空題13．設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則=__________.【答案】【分析】令，，由，從而，由此能求出．【詳解】解：復(fù)數(shù)，滿足，令，，所以，，，，即，整理得，又，．故答案為：．14．半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，它的各棱長(zhǎng)都相等，其中八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．則得到的二十四等邊體與原正方體的體積之比為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用棱柱及棱錐的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為2，則所以原正方體的體積為，所以二十四等邊體為，所以二十四等邊體與原正方體的體積之比為．故答案為：.15．如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角是_____.【答案】【分析】連接，，，則得或其補(bǔ)角即為與所成的角，再利用勾股定理即可得到線線角.【詳解】連接，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是，，的中點(diǎn)，，，，四邊形為平行四邊形，則，故或其補(bǔ)角即為與所成的角，易得，，，所以，所以.故答案為：.16．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在邊上,點(diǎn)Q在邊的延長(zhǎng)線上,若,則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【分析】以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，用t表示，求其最小值即可得到本題答案.【詳解】過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為O，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系.作PM垂直BC交于點(diǎn)M，QH垂直y軸交于點(diǎn)H，CN垂直HQ交于點(diǎn)N.設(shè)，則，故有所以，，當(dāng)時(shí)，取最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的取值范圍問(wèn)題.四、解答題17．如圖，是直角三角形斜邊上一點(diǎn)，.(1)若，求角的大小；(2)若，且，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理求出，結(jié)合得到，從而得到；（2）求出，進(jìn)而得到角C的余弦值，再使用余弦定理求出的長(zhǎng).【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，又所以，.（2）由，且知：所以，直角三角形中，在中，由余弦定理得所以，.18．已知，．（1）若，求x的值；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）若與所成的角為鈍角，求x的范圍【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量平行，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，計(jì)算x，即可得出答案．（2）利用向量垂直，數(shù)量積為0，建立等式，計(jì)算x，即可得出答案．（3）當(dāng)所成角為鈍角，則，代入坐標(biāo)，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵已知，，若，則=，求得x=-2．（2）當(dāng)時(shí)，?=4x-2=0，x=，====5．（3）若與所成的角為鈍角，則＜0且，不共線，∴4x-2＜0，≠，求得x＜，且x≠-2，故x的范圍為{x|x＜且x≠-2}．【點(diǎn)睛】本道題目考查了向量平行，向量垂直，向量數(shù)量積與0的關(guān)系，向量平行說(shuō)明對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，向量垂直說(shuō)明向量數(shù)量積為0，即可得出答案．19．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，且為純虛數(shù)．(1)求a的值；(2)若的共軛復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值．【答案】(1)3(2)，【分析】（1）首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示，再表示，根據(jù)復(fù)數(shù)的特征，求參數(shù)的值；（2）首先將復(fù)數(shù)代入方程，根據(jù)實(shí)部和虛部為0，求實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，，，為純虛數(shù)，，（2），由條件可知，，即，解得：，20．已知分別為的內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求角；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理結(jié)合兩角和與差的正弦函數(shù)得到，再利用輔助角公式求解.（2）由的面積為，結(jié)合，得到，再利用余弦定理求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以由正弦定理?因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，所以，?所以，即又，所以.（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以.由，所以.由余弦定理得，又，所以.解得.故的周長(zhǎng)為.21．如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)求證：直線平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行的判定定理求解；（2）連接，，可證明為二面角的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，如圖，則為的中點(diǎn)，由于是的中點(diǎn)，故，∵平面，平面，所以平面；（2）連接，，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，由底面是菱形，得，又平面，所以平面，又平面，所以，則為二面角的平面角，，，，由余弦定理可知，∴二面角的余弦值為.22．如圖所示，四邊形為菱形，，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求三棱錐的體積．(3)若，當(dāng)二面角的正切值為時(shí)，求直線與平面所成的角．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1(3)45°【分析】(1)先證明平面得到；(2)將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積求解；(3)設(shè)，，可證得為二面角的平面角，可得，為直線與平面所成的角，可求得知大?。驹斀狻浚?）如圖所示，設(shè)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)