(精心整理)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦(精心整理)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)§14.導(dǎo)數(shù)學(xué)問要點(diǎn)

1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱）的定義：設(shè)0x是函數(shù))(xfy=定義域的一點(diǎn)，假如自變量x在0x處有增量x?，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量)()(00xfxxfy-?+=?；比值x

xfxxfxy?-?+=

??)

()(00稱為函數(shù))(xfy=在點(diǎn)0x到xx?+0之間的平均變化率；假如極限xxfxxfxy

xx?-?+=??→?→?)()(lim

lim

0000存在，則稱函數(shù))(xfy=在點(diǎn)0x處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做)(xfy=在0x處的導(dǎo)數(shù)，

記作)(0'xf或0|'xxy=，即)(0'xf=x

xfxxfxy

xx?-?+=??→?→?)()(lim

lim0000.注：①x?是增量，我們也稱為“轉(zhuǎn)變量”，由于x?可正，可負(fù)，但不為零.

②以知函數(shù))(xfy=定義域?yàn)锳，)('xfy=的定義域?yàn)锽，則A與B關(guān)系為BA?.2.函數(shù))(xfy=在點(diǎn)0x處延續(xù)與點(diǎn)0x處可導(dǎo)的關(guān)系：

⑴函數(shù))(xfy=在點(diǎn)0x處延續(xù)是)(xfy=在點(diǎn)0x處可導(dǎo)的須要不充分條件.可以證實(shí)，假如)(xfy=在點(diǎn)0x處可導(dǎo)，那么)(xfy=點(diǎn)0x處延續(xù).事實(shí)上，令xxx?+=0，則0xx→相當(dāng)于0→?x.

于是)]

()()([lim)(lim)(lim0000

00

xfxfxxfxxfxfxxxx+-+=?+=→?→?→

).

()(0)()(limlim)

()(lim)]()()([

lim000'0000000000xfxfxfxfx

xfxxfxfxxxfxxfxxxx=+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵假如)(xfy=點(diǎn)0x處延續(xù)，那么)(xfy=在點(diǎn)0x處可導(dǎo)，是不成立的.例：||)(xxf=在點(diǎn)00=x處延續(xù)，但在點(diǎn)00=x處不行導(dǎo)，由于x

xxy??=

??|

|，當(dāng)x?＞0時(shí)，1=??x

y；當(dāng)x?＜0時(shí)，

1-=??xy，故xy

x??→?0lim不存在.注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).

②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù))(xfy=在點(diǎn)0x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線)(xfy=在點(diǎn)))(,(0xfx處的切線的斜率，也就是說，曲線)(xfy=在點(diǎn)P))(,(0xfx處的切線的斜率是)(0'xf，切線方程為

).)((0'0xxxfyy-=-

4.求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

''')(vuvu±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21xfxfxfyxfxfxfynn+++=?+++=?

''''''')()(cvcvvccvuvvuuv=+=?+=（c為常數(shù)）

)0(2'''

≠-=

??

?

??vvuvvuvu注：①vu,必需是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不行導(dǎo)，則它們的和、差、

積、商不一定不行導(dǎo).

例如：設(shè)xxxf2sin2)(+=，x

xxg2

cos)(-=，則)(),(xgxf在0=x處均不行導(dǎo)，但它們和

=+)()(xgxf

xxcossin+在0=x處均可導(dǎo).

5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：)()())(('''xufxfx??=或xuxuyy'''?=復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.

6.函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定辦法：設(shè)函數(shù))(xfy=在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，假如)('xf＞0，則)(xfy=為增函數(shù)；假如)('xf＜0，則)(xfy=為減函數(shù).⑵常數(shù)的判定辦法；

假如函數(shù))(xfy=在區(qū)間I內(nèi)恒有)('xf=0，則)(xfy=為常數(shù).

注：①0)(xf是f（x）遞增的充分條件，但不是須要條件，如32xy=在),(+∞-∞上并不是都有

0)(xf，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f（x）=0，同樣0)(xf是f（x）遞減的充分非須要條

件.

②普通地，假如f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上照舊是單調(diào)增強(qiáng)（或單調(diào)削減）的.7.極值的判別辦法：（極值是在0x附近全部的點(diǎn)，都有)(xf＜)(0xf，則)(0xf是函數(shù))(xf的極大值，微小值同理）

當(dāng)函數(shù))(xf在點(diǎn)0x處延續(xù)時(shí)，

①假如在0x附近的左側(cè))('xf＞0，右側(cè))('xf＜0，那么)(0xf是極大值；②假如在0x附近的左側(cè))('xf＜0，右側(cè))('xf＞0，那么)(0xf是微小值.

也就是說0x是極值點(diǎn)的充分條件是0x點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是)('xf=0①

.此外，函數(shù)不

可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)②

.固然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比微小值小（函數(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.

注①：若點(diǎn)0x是可導(dǎo)函數(shù))(xf的極值點(diǎn)，則)('xf=0.但反過來不一定成立.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)0x是極值點(diǎn)的須要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)3)(xxfy==，0=x使)('xf=0，但0=x不是極值點(diǎn).

②例如：函數(shù)||)(xxfy==，在點(diǎn)0=x處不行導(dǎo)，但點(diǎn)0=x是函數(shù)的微小值點(diǎn).

8.極值與最值的區(qū)分：極值是在局部對(duì)函數(shù)值舉行比較，最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值舉行比較.

注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定故意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

I.0'=C（C為常數(shù)）xxcos)(sin'

=2

'

11)(arcsinx

x-=

1')(-=nnnxx（Rn∈）xxsin)(cos'-=2

'11)(arccosx

x--

=

II.xx1)(ln'=

exxaalog1

)(log'=1

1)(arctan2'+=xxxxee=')(aaaxxln)('=1

1)cot(2'+-

=xxarc

III.求導(dǎo)的常見辦法：

①常用結(jié)論：x

x1|)|(ln'=

.②形如))...()((21naxaxaxy=或)

)...()(()

)...()((2121nnbxbxbxaxaxaxy=兩邊同取自然對(duì)數(shù)，可轉(zhuǎn)化

求代數(shù)和形式.

③無理函數(shù)或形如xxy=這類函數(shù)，如xxy=取自然對(duì)數(shù)之后可變形為xxylnln=，對(duì)兩邊

求導(dǎo)可得xxxxxyyxyyx

xxyy+=?+=??+=lnln1

ln'''.

導(dǎo)數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)復(fù)習(xí)

經(jīng)典例題剖析考點(diǎn)一：求導(dǎo)公式。例1.()fx'是3

1()213

fxxx=

++的導(dǎo)函數(shù)，則(1)f'-的值是?？键c(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

例2.已知函數(shù)()yfx=的圖象在點(diǎn)(1(1))Mf，處的切線方程是1

22

yx=

+，則(1)(1)ff'+=。

例3.曲線3

2

242yxxx=--+在點(diǎn)(13)-，處的切線方程是。點(diǎn)評(píng)：以上兩小題均是對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查?？键c(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用。

例4.已知曲線C：xxxy232

3

+-=，直線kxyl=:，且直線l與曲線C相切于點(diǎn)

()00,yx00≠x，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)。

點(diǎn)評(píng)：本小題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用。解決此類問題時(shí)應(yīng)注重“切點(diǎn)既在曲線上又在切線上”這個(gè)條件的應(yīng)用。函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是相應(yīng)曲線上過該點(diǎn)存在切線的充分條件，而不是須要條件。

考點(diǎn)四：函數(shù)的單調(diào)性。

例5.已知()132

3

+-+=xxaxxf在R上是減函數(shù)，求a的取值范

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用。對(duì)于高次函數(shù)單調(diào)性問題，要有求導(dǎo)意識(shí)。

考點(diǎn)五：函數(shù)的極值。

例6.設(shè)函數(shù)32

()2338fxxaxbxc=+++在1x=及2x=時(shí)取得極值。（1）求a、b的值；

（2）若對(duì)于隨意的[03]x∈，，都有2

()fxc<成立，求c的取值范圍。

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。求可導(dǎo)函數(shù)()xf的極值步驟：①求導(dǎo)數(shù)()xf'；

②求()0'=xf的根；③將()0'=xf的根在數(shù)軸上標(biāo)出，得出單調(diào)區(qū)間，由()xf'在各區(qū)間上取值的正負(fù)可確定并求出函數(shù)()xf的極值?？键c(diǎn)六：函數(shù)的最值。

例7.已知a為實(shí)數(shù)，()()

()axxxf--=42

。求導(dǎo)數(shù)()xf'；（2）若()01'=-f，求()

xf在區(qū)間[]2,2-上的最大值和最小值。

點(diǎn)評(píng)：本題考查可導(dǎo)函數(shù)最值的求法。求可導(dǎo)函數(shù)()xf在區(qū)間[]ba,上的最值，要先求出函數(shù)()xf在區(qū)間()ba,上的極值，然后與()af和()bf舉行比較，從而得出函數(shù)的最大最小值?？键c(diǎn)七：導(dǎo)數(shù)的綜合性問題。

例8.設(shè)函數(shù)3