2021-2022學(xué)年安徽省亳州市興華中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年安徽省亳州市興華中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，則橢圓的長軸長是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略2.若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≤1

B．a(chǎn)≥5C．1≤a≤5

D．a(chǎn)≤5參考答案：D略3.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且（O為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為A. B. C.2 D.參考答案：D【分析】只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率。【詳解】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有∴，，，∴。故選D?！军c(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度。4.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面垂直的判定．【分析】過O作A1B1的平行線，交B1C1于E，則O到平面ABC1D1的距離即為E到平面ABC1D1的距離．作EF⊥BC1于F，進(jìn)而可知EF⊥平面ABC1D1，進(jìn)而根據(jù)EF=B1C求得EF．【解答】解：過O作A1B1的平行線，交B1C1于E，則O到平面ABC1D1的距離即為E到平面ABC1D1的距離．作EF⊥BC1于F，易證EF⊥平面ABC1D1，可求得EF=B1C=．故選B．【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)到面的距離計(jì)算．解題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)到面的垂線，即點(diǎn)到面的距離．5.從5名男生和4名女生中選出3名學(xué)生參加一項(xiàng)活動，要求至少一名女生參加，不同的選法種數(shù)是（

）A.70 B.74 C.84 D.504參考答案：B【分析】從反面考慮，從9名學(xué)生中任選3名的所有選法中去掉3名全是男生的情況，即為所求結(jié)果．【詳解】從9名學(xué)生中任選3名，有種選法，其中全為男生的有種選法，所以選出3名學(xué)生，至少有1名女生的選法有種.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查組合問題，也可以直接考慮，分類討論，在出現(xiàn)“至少”的問題時，利用正難則反的方法求解較為簡單，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是(

)

A．

B.

C．

D.參考答案：B7.如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”，在一個長方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是

A

60

B.48

C36

D24參考答案：B略8.若直線與互相平行，則的值是（

）A. B.

C.

D.參考答案：C略9.圓在點(diǎn)處的切線方程為

（

）

A．

B．C．

D．參考答案：D略10.已知i是虛數(shù)單位，則（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A（a﹣1，a+1），B（a，a）關(guān)于直線L對稱，那么直線L的方程為．參考答案：x﹣y+1=0【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求直線方程．【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵kAB==﹣1，線段AB的中點(diǎn)為，兩點(diǎn)A（a﹣1，a+1），B（a，a）關(guān)于直線L對稱，∴kL=1，其準(zhǔn)線方程為：y﹣=x﹣，化為：x﹣y+1=0．故答案為：x﹣y+1=0．12.已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為

．參考答案：略13.設(shè)分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上任一點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r，則該雙曲線的離心率的取值范圍是__________．參考答案：14.已知關(guān)于的不等式在R上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：

15.設(shè)，則不等式＜的解集為．參考答案：解析：原不等式即為＜．因?yàn)榈亩x域?yàn)椋ǎ?,1），且為減函數(shù)．所以．解得16.直線被圓所截得的弦長等于

參考答案：17.由1，4，5，可組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各位數(shù)字之和為288，則＝

．參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知動點(diǎn)P到點(diǎn)A（﹣2，0）與點(diǎn)B（2，0）的斜率之積為﹣，點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；（Ⅱ）過點(diǎn)D（1，0）作直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，連接PB，QB分別與直線x=3交于M，N兩點(diǎn)．若△BPQ和△BMN的面積相等，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），求出直線的斜率，利用斜率乘積，化簡求解即可．（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線的方程為x=1，求出兩個三角形的面積，判斷相等，當(dāng)直線l的斜率存在時，法1：設(shè)直線的方程為y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．聯(lián)立直線與橢圓方程，求出M，N坐標(biāo)，通過△BPQ和△BMN的面積不相等，推出結(jié)果．法2：設(shè)直線的方程為y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．聯(lián)立直線與橢圓方程，通過S△BPQ=S△BMN，得到．推出﹣1=0．說明△BPQ和△BMN的面積不相等．【解答】（本題滿分9分）解：（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則，．∵，∴．化簡得曲線C的軌跡方程為．

…（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線的方程為x=1，則．直線PB的方程為，解得．直線QB的方程為，解得．則，．此時△BPQ和△BMN的面積相等

…（6分）當(dāng)直線l的斜率存在時，法1：設(shè)直線的方程為y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.，．直線PB的方程為，求得．直線QB的方程為，求得．，．若S△BPQ=S△BMN，則（2﹣x1）（2﹣x2）=1，即x1x2﹣2（x1+x2）+3=0．∴，化簡得﹣1=0．此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面積不相等綜上，直線l的方程為x=1．

…（9分）法2：設(shè)直線的方程為y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.，．，，因?yàn)椤螾BQ=∠MBN，S△BPQ=S△BMN，所以|BQ||BP|=|BM||BN|，即．則有，化簡得x1x2﹣2（x1+x2）+3=0．∴，化簡得﹣1=0．此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面積不相等綜上，直線l的方程為x=1．

…（9分）【點(diǎn)評】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，軌跡方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．19.（本小題滿分12分）某開發(fā)商用9000萬元在市區(qū)購買一塊土地建一幢寫字樓，規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為2000平方米．已知該寫字樓第一層的建筑費(fèi)用為每平方米4000元，從第二層開始，每一層的建筑費(fèi)用比其下面一層每平方米增加100元．(1)若該寫字樓共x層，總開發(fā)費(fèi)用為y萬元，求函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式；(總開發(fā)費(fèi)用＝總建筑費(fèi)用＋購地費(fèi)用)(2)要使整幢寫字樓每平方米的平均開發(fā)費(fèi)用最低，該寫字樓應(yīng)建為多少層？參考答案：(1)由已知，寫字樓最下面一層的總建筑費(fèi)用為：4000×2000＝8000000(元)＝800(萬元)，從第二層開始，每層的建筑總費(fèi)用比其下面一層多：100×2000＝200000(元)＝20(萬元)，

寫字樓從下到上各層的總建筑費(fèi)用構(gòu)成以800為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列，所以函數(shù)表達(dá)式為：y＝f(x)＝800x＋×20＋9000＝10x2＋790x＋9000(x∈N*)；

…6分(2)由(1)知寫字樓每平方米平均開發(fā)費(fèi)用為：g(x)＝×10000＝＝50≥50×(2＋79)＝6950(元)．

…10分當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝30時等號成立．答：該寫字樓建為30層時，每平方米平均開發(fā)費(fèi)用最低．…12分20.已知四棱錐S﹣ABCD，底面為正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M，N分別為AB，AS中點(diǎn)．（1）求證：BC⊥平面SAB；（2）求證：MN∥平面SAD；（3）求四棱錐S﹣ABCD的表面積．參考答案：【考點(diǎn)】LW：直線與平面垂直的判定；LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）證明SA⊥BC，BC⊥AB，SA∩AB=A，即可證明BC⊥平面SAB；（2）取SD中點(diǎn)P，利用三角形的中位線的性質(zhì)證得AMNP是平行四邊形，可得MN∥AP．再根據(jù)直線和平面平行的判定的定理證得MN∥平面SAD．（3）由條件可得△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，再根據(jù)S表面積=2S△SAB+2S△SBC+SABCD運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】（1）證明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC，又∵BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB；（2）證明：取SD中點(diǎn)P，連接MN、NP、PA，則NP=CD，且NP∥CD，又∵AM=CD，且AM∥CD，∴NP=AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四邊形，∴MN∥AP，∵AP?平面SAD，MN?平面SAD∴MN∥平面SAD；（3）解：∵BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，又∵SB=a，∴S表面積=2S△SAB+2S△SBC+SABCD=．21.已知a，b是實(shí)數(shù)，1和﹣1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個極值點(diǎn)．（1）求a和b的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)1和﹣1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個極值點(diǎn)，則f'（1）=0，f'（﹣1）=0，建立方程組，解之即可求出a與b的值；（2）先求出g'（x）的解析式，求出g'（x）=0的根，判定函數(shù)的單調(diào)性，從而函數(shù)的g（x）的極值點(diǎn)．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f'（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個極值點(diǎn)，∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（﹣1）=3﹣2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）∵由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g'（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2），解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵當(dāng)x＜﹣2時，g'（x）＜0；當(dāng)﹣2＜x＜1時，g'（x）＞0，∴x=﹣2是g（x）的極值點(diǎn)．∵當(dāng)﹣2＜x＜1或x＞1時，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的極值點(diǎn)．∴g（x）的極值點(diǎn)是﹣2．22.（本題滿分13分）武漢市某校中學(xué)生籃球隊(duì)假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3個是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓(xùn)練，都從中任意取出2個球，用完后放回．（1）設(shè)第一次訓(xùn)練時取到的新球個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求第二次訓(xùn)練時恰好取到一個新球的概率．參考答案：（1）的所有可能取值為0，1，2．

1分設(shè)“第一次訓(xùn)練時取到個新球（即）”為事件（0，1，2）．因?yàn)榧?xùn)前共有6個籃球，其中3個是新球，3個是舊球，所以，

3分，