2021-2022學(xué)年廣東省陽(yáng)江市第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年廣東省陽(yáng)江市第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)，老師說(shuō)，你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)，看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)，根據(jù)以上信息，則A.乙可以知道四人的成績(jī)

B.丁可能知道四人的成績(jī)C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)參考答案：D由甲的說(shuō)法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲丁一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，故選D.2.已知滿足，則的最小值為(

)

A.

5

B.

-5

C.

6

D.

-6

參考答案：D3.已知集合M={1,2,3},N={2,3,4,5},則（

）A

B

C

D

參考答案：C4.設(shè)，若集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集，若命題：，則A．：

B．：C．：

D．：參考答案：C5.“為真”是“為假”的（

）條件A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要參考答案：B試題分析：因?yàn)榧僬鏁r(shí)，真，此時(shí)為真，所以，“真”不能得“為假”，而“為假”時(shí)為真，必有“真”，故選B.考點(diǎn)：1、充分條件與必要條件；2、真值表的應(yīng)用.6.已知直線過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直。與C交于A,B兩點(diǎn)，=12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則ABP的面積為（A）18

（B）24

（C）36

（D）48參考答案：C本題主要考查了拋物線的方程和性質(zhì)，難度較小.設(shè)拋物線的方程為，則焦點(diǎn)坐標(biāo)，，令，得，則，所以p=6又因拋物線的準(zhǔn)線到AB的距離為p,所以.故選C.7.“”是“函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)”的(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件參考答案：8.若復(fù)數(shù)z滿足=1﹣i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求．【解答】解：由=1﹣i，得=，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，），位于第二象限．故選：B．9.在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，=t（+），且?=，則△ABC的形狀是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰（非等邊）三角形 D．三邊均不相等的三角形參考答案：A【考點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由題意可知D在∠BAC的平分線上，故AB=AC，由夾角公式得到∠BAC=，問題得以解決．【解答】解：由=t（+）知D在∠BAC的平分線上，故AB=AC，由?==cos∠BAC，故∠BAC=，故△ABC為等邊三角形，故選：A．10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

（

）A．

B．C．直線與平面所成的角為定值D．異面直線所成的角為定值參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則

．參考答案：∵，且，∴．12.若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為

．參考答案：2

略13.已知某算法的流程圖如圖所示，輸出的（x，y）值依次記為（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）,…．若程序運(yùn)行中輸出的一個(gè)數(shù)組是(t，-8)，則t=

▲

．

參考答案：8114.已知實(shí)數(shù)、滿足約束條件則的最大值是

參考答案：解：因?yàn)閷?shí)數(shù)、滿足約束條件則過點(diǎn)（2，-1）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最大且為315.已知，則的值為

參考答案：略16.若關(guān)于x的不等式ax2＋x－2a＜0的解集中僅有4個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：17.某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第6,7,8層?？?，若該電梯在底層有5個(gè)乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率為，用表示5位乘客在第8層下電梯的人數(shù)，則隨機(jī)變量的期望______.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.（14分）（2013秋?威海期中）已知f（x）=ex，g（x）=lnx．（Ⅰ）求證：g（x）＜x＜f（x）；（Ⅱ）設(shè)直線l與f（x）、g（x）均相切，切點(diǎn)分別為（x1，f（x1））、（x2，g（x2）），且x1＞x2＞0，求證：x1＞1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）分別構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）﹣x=ex﹣x；u（x）=x﹣g（x）=x﹣lnx，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值與最值即可證明；（II）由于直線l與f（x）、g（x）均相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率計(jì)算公式可得方程組：，再利用x1＞x2＞0，可得，得到0＜x2＜1．再利用②得＜0，即可得到x2﹣x1+1＜0．【解答】（Ⅰ）證明：令h（x）=f（x）﹣x=ex﹣x，h′（x）=ex﹣1，令h′（x）=0，解得x=0．當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＞0．∴當(dāng)x=0時(shí)，∴ex＞x．令u（x）=x﹣g（x）=x﹣lnx，=（x＞0）．令u′（x）=0，解得x=1當(dāng)0＜x＜1時(shí)，u′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，u′（x）＞0．∴當(dāng)x=1時(shí)，umin=1﹣ln1=1＞0．∴x＞lnx，（x＞0），∴g（x）＜x＜f（x）．（Ⅱ）f'（x）=ex，，切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，可得方程組：∵x1＞x2＞0，∴，∴，∴0＜x2＜1．由②得，∴．∵0＜x2＜1，∴l(xiāng)nx2＜0，∴x2﹣x1+1＜0，即x1＞x2+1＞1．∴x1＞1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、構(gòu)造函數(shù)證明不等式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、斜率計(jì)算公式、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．19.已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知函數(shù)∴的圖象經(jīng)過點(diǎn)，b、a、c成等差數(shù)列，且?=9，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；余弦定理．【分析】（1）利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的周期以及正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可．（2）求出A，利用等差數(shù)列以及向量的數(shù)量積求出bc，通過三角形的面積以及余弦定理求解a即可．【解答】解：==，（1）最小正周期：由得：，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）由可得：所以，又因?yàn)閎，a，c成等差數(shù)列，所以2a=b+c，而，?=bccosA==9，∴bc=18，，∴．20.（本小題共13分）數(shù)列{}中，，，且滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求．參考答案：解：(1)∴∴為常數(shù)列，∴{an}是以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，設(shè)，,∴，∴．(2)∵，令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，．∴21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a＞0），曲線C2：（φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)b＞0）．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）與C1交于O、A兩點(diǎn)，與C2交于O、B兩點(diǎn)．當(dāng)α=0時(shí)，|OA|=1；當(dāng)α=時(shí)，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值．參考答案：（1），；（2）【分析】（Ⅰ）由曲線消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再由極坐標(biāo)方程與直角的互化公式，得到曲線的極坐標(biāo)方程，由題意可得當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，的極坐標(biāo)方程，進(jìn)而得到的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由曲線：（為參數(shù)，實(shí)數(shù)），化為普通方程為，展開為：，其極坐標(biāo)方程為，即，由題意可得當(dāng)時(shí)，，∴.曲線：（為參數(shù)，實(shí)數(shù)），化為普通方程為，展開可得極坐標(biāo)方程為，由題意可得當(dāng)時(shí)，，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，的極坐標(biāo)方程分別為，.∴，∵，∴的最大值為，當(dāng)，時(shí)取到最大值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方程的互化，合理應(yīng)用曲線的極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想和推理與運(yùn)算能力.22.[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)f（x）=|x﹣2a|+|x+| （1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）＞4的解集； （2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2對(duì)任意實(shí)數(shù)x及a恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值三角不等式；絕對(duì)值不等式的解法． 【分析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，分類討論，求不等式f（x）＞4的解集； （2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||，利用不等式f（x）≥m2﹣m+2對(duì)任意實(shí)數(shù)x及a恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【解答】解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）＞4為|x﹣2|+|x+1|＞4． x＜﹣1時(shí)，不等式可化為﹣（x﹣2）﹣（x+1）＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣； ﹣1≤x≤2時(shí)，不等式可化為﹣（x﹣2）+（x+1）＞4，不成