數(shù)學(xué)建模案例分析第三章-線性代數(shù)模型課件

線性代數(shù)模型Durer魔方植物基因的分布常染色體的隱性疾病森林管理問題馬氏鏈簡介西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模有些復(fù)雜問題，往往給人以變幻莫測的感覺，難以掌握其中的奧妙。當(dāng)我們把思維擴(kuò)展到線性空間，利用線性代數(shù)的基本知識建立模型，就可以掌握事物的內(nèi)在規(guī)律，預(yù)測其發(fā)展趨勢。線性代數(shù)模型西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模Durer魔方德國著名的藝術(shù)家AlbrechtDurer(1471--1521)于1514年曾鑄造了一枚名為“Melen

cotiaI”的銅幣。令人奇怪的是在這枚銅幣的畫面上充滿了數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)數(shù)字和幾何圖形。這里我們僅研究銅幣右上角的數(shù)字問題。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模1Durer魔方16321351011896712415141特點(diǎn)每行之和、每列之和、對角線之和、四個小方塊之和、中心方塊之和都相等，為確定的數(shù)34。所出現(xiàn)的數(shù)是1至16的自然數(shù)。四角之和、中間對邊之和均為34。最下邊一行中心數(shù)為1514，正是制幣的時間。問題是否還存在具有這些（或部分）性質(zhì)的魔方？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模06118910601509119960711891070160911997108010015014011050407020160901201303060定義如果4×4數(shù)字方，它的每一行、每一列、每一對角線及每個小方塊上的數(shù)字之和都為一確定的數(shù)，則稱這個數(shù)字方為Durer魔方。R=C=D=S西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模你想構(gòu)造Durer魔方嗎？如何構(gòu)成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？2Durer魔方的生成集所有的Durer魔方的集合為D0000000000000000O=1111111111111111E=R=C=D=S=0R=C=D=S=4西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44A=b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44B=類似于矩陣的加法和數(shù)乘，定義魔方的加法和數(shù)乘。易驗證，D加法和數(shù)乘封閉，且構(gòu)成一線性空間。記M={所有的4×4數(shù)字方}

，則其維數(shù)為16。而D是M的子集，則D是有限維的線性空間。根據(jù)線性空間的性質(zhì)，如果能得到D的一組基，則任一個Durer方均可由這組基線性表示。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模由0,1數(shù)字組合，構(gòu)造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8個，記為Qi,i=1,2,…,8。Q1=1000001000010100Q2=1000000101000010Q3=Q4=00011000001001000001010010000010西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模Q5=0010100001000001Q6=0100001010000001Q7=0010010000011000Q8=0100000100101000西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模易知則線性相關(guān)。而由0000000000000000=線性無關(guān)。任一Durer方可由它們線性表示。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模結(jié)論：1Durer方有無窮多個。2Durer方可由線性組合得到。AlbrechtDurer的數(shù)字方的構(gòu)成：=16321351011896712415141西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模3Durer方的應(yīng)用推廣（1）要求數(shù)字方的所有數(shù)字都相等?；鶠?維空間（2）要求行和、列和、每條主對角線及付對角線數(shù)字和都相等?；鶠?維空間1010101001010101西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模0110100101101001100101101001011001011010101001011100001111000011西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模例1721116161122-3127621126712R=C=H=N=46H主對角線，N付對角線數(shù)字和。（3）要求行和、列和及兩條對角線數(shù)字和相等。8維空間Q。基為D是Q的7維子空間。01-10000000000-110西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模例679812657510967779R=C=D=30（4）要求行和、列和數(shù)字相等。10維空間W?；鶠?10-110-10-10010-1100000100-1-100100000100100000010010西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模（5）對數(shù)字沒有任何要求的數(shù)字方16維空間M空間維數(shù)015781016思考能否構(gòu)造出其他維數(shù)的數(shù)字方？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模練習(xí)完成下面的Durer方61494887116798597R=C=D=S=30R=C=D=S=100西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模作業(yè)構(gòu)造你自己認(rèn)為有意義的Durer方。6798125586119467710西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模植物基因的分布設(shè)一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的的基因型為AA、Aa

和aa

。研究所計劃采用AA型的植物與每一種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。問經(jīng)過若干年后，這種植物的任意一代的三種基因型分布如何？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模1建模準(zhǔn)備植物遺傳規(guī)律？動植物都會將本身的特征遺傳給后代，這主要是因為后代繼承了雙親的基因，形成了自己的基因?qū)Γ驅(qū)痛_定了后代所表現(xiàn)的特征。常染色體遺傳的規(guī)律：后代是從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因，形成自己的基因?qū)Γ椿蛐?。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模如果考慮的遺傳特征是由兩個基因A、a控制的，那末就有三種基因?qū)Γ洖锳A、Aa

和aa

。金魚草花的顏色是由兩個遺傳因子決定的，基因型為AA的金魚草開紅花，Aa

型的開粉紅花，而aa型的開白花。人類眼睛的顏色也是通過常染色體來控制的?；蛐蜑锳A，或Aa

型的人眼睛顏色為棕色，而aa型的人眼睛顏色為藍(lán)色。這里AA，Aa表示同一外部特征，我們認(rèn)為基因A支配基因a，即基因a對A來說是隱性的。如西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模父體-母體的基因?qū)A-AAAA-Aa

AA-aa

Aa-Aa

Aa-aa

aa-aa后代基因?qū)A11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21雙親體結(jié)合形成后代的基因型概率矩陣西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模2假設(shè)分別表示第n代植物中基因型為AA,Aa,aa的植物占植物總數(shù)的百分率。第n代植物的基因型分布為表示植物基因型初始分布。假設(shè)1西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模假設(shè)2植物中第n-1代基因型分布與第n代分布的關(guān)系由上表確定。父體-母體的基因?qū)A-AAAA-Aa

AA-aa后代基因?qū)A11/20Aa01/21aa0003建模西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模4求解模型關(guān)鍵計算特征值為1，1/2，0，M可對角化，即可求出可逆對角矩陣P，使PMP-1為對角型矩陣。特征值為1，1/2，0的特征向量分別為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模則西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模當(dāng)時，經(jīng)過足夠長的時間后，培育出來的植物基本上呈現(xiàn)AA型。5結(jié)論西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模練習(xí)題1若不選用AA型植物與每種植物結(jié)合的方案，而是采用將相同基因型植物相結(jié)合，則情形怎樣？父體-母體的基因?qū)A-AAAa-Aa

aa-aa后代基因?qū)A11/40Aa01/20aa01/41在極限狀態(tài)下，后代僅具有基因型AA和aa。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模遺傳疾病是常染色體的基因缺陷由父母代傳給子代的疾病。常染色體的隱性疾病西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模常染色體遺傳的正?；蛴洖锳，不正?；蛴洖閍，并以AA、Aa

和aa

分別表示正常人，隱性患者和顯性患者的基因型。若在開始的一代人口中AA、Aa

和aa

基因型的人所占百分比為a0，b0，c0，討論在下列兩種情況下第n代的基因型分布。1控制結(jié)合：顯性患者不能生育后代，正常人與隱性患者必須與正常人結(jié)合生育后代；2自由結(jié)合：這三種基因的人任意結(jié)合生育后代。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模父體-母體的基因?qū)A-AAAa-AA后代基因?qū)A11/2Aa01/2西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模當(dāng)時，即經(jīng)過足夠長的時間后，隱性患者消失。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模練習(xí)題2若采用隨機(jī)結(jié)合的方式，各基因型的分布及變化趨勢如何？在美國，以鐮狀網(wǎng)性貧血癥為例。如果黑人中有10%的人是隱性患者，在隨機(jī)結(jié)合的情況下，計算隱性患者的概率從25%降到10%需要多少代？在控制結(jié)合下，經(jīng)過這么多代，隱性患者的概率相應(yīng)下降到多少？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模思考在中國的婚姻政策中有一項控制近親（指直系血緣關(guān)系在三代以內(nèi)）結(jié)婚的限制。試用常染色體的隱性病模型分析這項政策的深遠(yuǎn)意義。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模作業(yè)血友病也是一種遺傳疾病，得這種病的人由于體內(nèi)沒有能力生產(chǎn)血凝塊因子而不能使出血停止。很有意思的是，雖然男人和女人都會得這種病，但只有女人才有通過遺傳傳遞這種缺損的能力。若已知某時刻的男人和女人的比例為1:1.2，試建立一個預(yù)測這種遺傳疾病逐代擴(kuò)散的數(shù)學(xué)模型。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模森林管理問題森林管理問題西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模森林中的樹木每年都要有一批砍伐出售。為了使這片森林不被耗盡且每年都有所收獲，每當(dāng)砍伐一棵樹時，應(yīng)該就地補(bǔ)種一棵幼苗，使森林樹木的總數(shù)保持不變。被出售的樹木，其價值取決于樹木的高度。開始時森林中的樹木有著不同的高度。我們希望能找到一個方案，在維持收獲的前提下，如何砍伐樹木，才能使被砍伐的樹木獲得最大的經(jīng)濟(jì)價值。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模題目要求做什么？給出什么條件？

重要關(guān)系的描述，數(shù)據(jù)及其說明尋找條件與問題的聯(lián)系。1.確定設(shè)計變量和目標(biāo)變量；2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式；3.尋找約束條件。關(guān)于審題如果已判斷該題是某類問題，按此類問題的要求尋找線索建模。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系如：優(yōu)化模型6/9/2023數(shù)學(xué)建模森林中的樹木每年都要有一批砍伐出售。為了使這片森林不被耗盡且每年都有所收獲，每當(dāng)砍伐一棵樹時，應(yīng)該就地補(bǔ)種一棵幼苗，使森林樹木的總數(shù)保持不變。被出售的樹木，其價值取決于樹木的高度。開始時森林中的樹木有著不同的高度。我們希望能找到一個方案，在維持收獲的前提下，如何砍伐樹木，才能使被砍伐的樹木獲得最大的經(jīng)濟(jì)價值。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模1建模分析目標(biāo)函數(shù)：被砍伐樹木的經(jīng)濟(jì)價值。決策變量：被砍伐的樹木的數(shù)量。約束條件：持續(xù)收獲，總數(shù)不變。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模2模型假設(shè)按高度將樹木分為n類：第一類，高度為幼苗，其經(jīng)濟(jì)價值第k類，高度為每棵樹木的經(jīng)濟(jì)價值第n類，高度為每棵樹木的經(jīng)濟(jì)價值假設(shè)1記為第t年開始時森林中各類樹木的數(shù)量。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模每年砍伐一次，為了維持每年都有穩(wěn)定的收獲，只能砍伐部分樹木，留下的樹木和補(bǔ)種的幼苗，其高度狀態(tài)應(yīng)與初始狀態(tài)相同。設(shè)分別是第1，2，…，n類樹木在采伐時砍伐的棵數(shù)。假設(shè)2西北大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)森林中樹木的總數(shù)是s，即根據(jù)土地面積和每棵樹木所需空間預(yù)先確定的數(shù)。假設(shè)36/9/2023數(shù)學(xué)建模假設(shè)4每一棵幼苗從種植以后都能生長到收獲，且在一年的生長期內(nèi)樹木最多只能生長一個高度級，即第k類的樹木可能進(jìn)入k+1類，也可能留在k類。設(shè)是經(jīng)一年的生長期后，從第k類的樹木中進(jìn)入k+1類的比例，則是在一個生長期內(nèi)留在第k類中的樹木的比例。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模3建模先看沒有砍伐時樹木生長規(guī)律西北大學(xué)數(shù)學(xué)系變形，矩陣形式6/9/2023數(shù)學(xué)建模定義高度狀態(tài)向量和生長矩陣：則沒有砍伐時樹木生長方程為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模再考慮有砍伐和補(bǔ)種時的情形根據(jù)問題的要求，要維持持續(xù)收獲，即生長期末的狀態(tài)減去收獲采伐的量再加上補(bǔ)種的幼苗數(shù)應(yīng)等于生長期開始的量西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模各式相加后，得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模再記則西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模所收獲樹木的價值問題西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模4模型求解利用線性規(guī)劃的理論和方法，得如下結(jié)論：砍伐某一類樹木而不砍伐其他類的樹木時，可獲得最大收益。利用這一結(jié)論，設(shè)被砍伐的樹木為第k類，則根據(jù)所建模型，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模根據(jù)所建模型，得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模結(jié)果表明：森林從幼苗開始長到第k年為止開始收獲，此時樹木高度分布為初始分布。從第k年開始后每年砍伐一次，均砍伐第k類高度的樹木。因此，森林中沒有高于或等于k類高度的樹木。問題：從幼苗開始長到哪一年收獲為最佳？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模由西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模當(dāng)森林中各參數(shù)給定時，分別計算f

k

的值，再

比較選出最大的即可。同時可計算出相應(yīng)的砍伐量。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模5算例已知森林具有6年的生長期，其參數(shù)如下。求出最優(yōu)采伐策略。解得故全部收獲第3類樹木，可獲得最大收益為14.7s。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模6進(jìn)一步思考1持續(xù)養(yǎng)魚問題2企業(yè)持續(xù)發(fā)展問題3經(jīng)濟(jì)（社會）持續(xù)發(fā)展問題西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模馬氏鏈簡介（MarkovChain）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模馬氏鏈（MarkovChain）是隨機(jī)過程的一個特例，專門研究無后效條件下時間和狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移問題，但在建模過程中采用線性代數(shù)的方法，因此，也在線性代數(shù)模型中來學(xué)習(xí)。馬氏鏈簡介西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模（一）

商品的經(jīng)營問題某商店每月考察一次經(jīng)營情況，其結(jié)果用銷路好或銷路壞這兩種狀況之一表示。已知如果本月銷路好，下月仍保持這種狀況的概率為0.5；如果本月銷路壞，下月轉(zhuǎn)變?yōu)殇N路好的概率為0.4。試分析假若開始時商店處于銷路好的狀況，那么經(jīng)過若干月后能保持銷路好的概率有多大？若開始時商店處于銷路壞的狀況呢？一正則鏈（RegularChain）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模0123410.50.450.4450.4445？00.50.550.5550.5555？1分析西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模0123400.40.440.4440.4444？10.60.560.5560.5556？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模表示銷路好；表示銷路壞；2符號說明商店的經(jīng)營狀況是隨機(jī)的，每月轉(zhuǎn)變一次。建模目標(biāo)是經(jīng)過一段時間（若干月）后，經(jīng)營狀況如何，即經(jīng)營好或經(jīng)營壞的概率分別為多少？用隨機(jī)變量表示第n個月的經(jīng)營狀況稱為這個經(jīng)營系統(tǒng)的狀態(tài)。用表示第月處于狀態(tài)的概率，即稱為狀態(tài)概率。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模表示已知這月處于狀態(tài)，下月處于狀態(tài)的概率，即稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。狀態(tài)及轉(zhuǎn)移情況見圖。0.50.40.50.612西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模3建模令P概率轉(zhuǎn)移矩陣西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模4求解P特征值為1，1/10西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模當(dāng)西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模5結(jié)論不論初始狀態(tài)如何，經(jīng)過相當(dāng)長的時間后經(jīng)營狀態(tài)趨于穩(wěn)定的概率。注意到經(jīng)營系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的，但從這個時期到下個時期的狀態(tài)按照一定的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)移，并且下個時期的狀態(tài)只取決于這個時期的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率，與以前各個時期的狀態(tài)無關(guān)。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模這種性質(zhì)稱為無后效性，或馬爾可夫（Markov）性，即已知現(xiàn)在，將來與歷史無關(guān)。具有無后效性的，時間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程，通常用馬氏鏈（MarkovChain）模型描述。馬氏鏈模型在經(jīng)濟(jì)、社會、生態(tài)、遺傳等許多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，不僅可以解決隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程，還可以處理一些確定性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模，當(dāng)它的所有分量是非負(fù)，一般地，一個行向量且行和為1，稱此向量為概率向量。每行都為概率向量的矩陣，稱為概率轉(zhuǎn)移矩陣。可證明若A,B為概率轉(zhuǎn)移矩陣，則AB也為概率轉(zhuǎn)移矩陣。若P為概率轉(zhuǎn)移矩陣，則Pn

也為概率轉(zhuǎn)移矩陣。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模證明若A,B為概率轉(zhuǎn)移矩陣，而AB=C的第i行，第

j列元素為顯然，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模定義1

一個有個狀態(tài)的馬氏鏈如果存在正整數(shù)使從任意狀態(tài)經(jīng)過次轉(zhuǎn)移都以大于零的概率到達(dá)狀態(tài)，則稱為正則鏈。定理1若馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為，則它是正則鏈的充要條件是，存在正整數(shù)使（指的每一元素大于零）。特點(diǎn)：從任意狀態(tài)出發(fā)經(jīng)過有限次轉(zhuǎn)移都能到達(dá)另外的任意狀態(tài)。（用這個定理檢驗一個馬氏鏈?zhǔn)欠駷檎齽t鏈。）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模定理2由存在，記作的每一行都是穩(wěn)態(tài)概率如果記那么，有使得當(dāng)時狀態(tài)概率概率無關(guān)。正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率與初始狀態(tài)由又稱為穩(wěn)態(tài)概率。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模上例中西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模從狀態(tài)出發(fā)經(jīng)次轉(zhuǎn)移，第一次到達(dá)狀態(tài)的概率稱為到的首達(dá)概率，記作，于是為由狀態(tài)第一次到達(dá)狀態(tài)的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。特別地，是狀態(tài)首次返回的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。與穩(wěn)態(tài)概率有密切關(guān)系，即定理3

對于正則鏈西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模（二）

信息傳播問題一條消息在等人中傳播，傳播的方式是傳給傳給如此繼續(xù)下去，每次傳播都是由傳給每次傳播消息的失真率為即將消息傳給時，傳錯的概率為這樣經(jīng)過長時間傳播第n個人得知消息時，消息的真實程度如何？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模第n個人知道消息可能是真，也可能是假，有兩種狀態(tài)，記為表示消息假；表示消息真；用表示第個人處于狀態(tài)的概率，即狀態(tài)概率為由題意，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模由為正則矩陣。求w=?令設(shè)西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模結(jié)論長時間傳播消息的真實性趨于穩(wěn)定，且消息的真假概率各半。例1中西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模練習(xí)迷宮問題（1）下面給出一個迷宮圖。迷宮有兩個分隔間，分別記為1，2。每個分隔間粉刷成不同的顏色，試驗者把一只老鼠放在迷宮的某個分隔間內(nèi)，不同的顏色對老鼠的吸引作用不同，從第i個分隔間轉(zhuǎn)移到第j個分隔的概率為（見后）迷宮112西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模隨后，試驗者周期地觀察老鼠的位置。因為觀察的時間是間斷的，試驗者不可能確定任何時刻老鼠的位置，但希望知道，不論運(yùn)動過程如何，在經(jīng)過較長的一段時間后，運(yùn)動是否趨于穩(wěn)定？三個分隔間的情形如何？迷宮2123西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模思考右圖給出一個迷宮圖。迷宮3231在第一個分隔間放進(jìn)實物，其他兩個分隔間粉成不同的顏色，老鼠可由一個分隔間到達(dá)其他分隔間，但當(dāng)?shù)竭_(dá)第一分隔間時，被實物吸引，不再運(yùn)動到其他分隔間，已知轉(zhuǎn)移矩陣P，長時間后，老鼠運(yùn)動狀態(tài)如何？迷宮問題（2）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模二吸收鏈(AbsorbingChain)迷宮問題（2）問題（1）經(jīng)過n次觀察后，老鼠處于各個分隔間的概率？（2）長時間運(yùn)動后，老鼠的運(yùn)動狀態(tài)如何？（3）若再增加一個放食物的分隔間，情況又如何？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模1）分析時間的離散性每個時段狀態(tài)的隨機(jī)性處于第i個狀態(tài)的概率若轉(zhuǎn)移概率矩陣為P西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模2）馬氏鏈模型可以看出，老鼠從第2，3個分隔間可以以大于零的概率達(dá)到每個分隔間，但從第1個分隔間，不能以大于零的概率達(dá)到其他分隔間。猜測：最后老鼠停留在第1個分隔間。3）求解計算求西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模記西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模由于從第2，3個分隔間總是以大于零的概率達(dá)到第1個分隔間，又由記西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模本例中西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模4）結(jié)論不論初始老鼠處在那個分隔間，長時間運(yùn)動后，老鼠處在第1個分隔間的概率為1，其他的概率為零。狀態(tài)1為吸收態(tài)，2，3為非吸收態(tài)。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模5）問題的進(jìn)一步考慮增加一個放食物的分隔間。注：1，2分隔間放食物，3，4分隔間涂色。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模記西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模初始極限初始極限西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模結(jié)論若初始老鼠處在1，2分隔間，長時間運(yùn)動后，老鼠仍處在1，2分隔間；若初始老鼠處在第3，4分隔間，則經(jīng)長時間運(yùn)動后，在分隔間3，4的概率為零，而以正概率分別進(jìn)入1，2分隔間。即無論初始狀態(tài)如何，經(jīng)過長時間后，都將被吸收態(tài)吸收。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模定義2

轉(zhuǎn)移概率的狀態(tài)稱為吸收狀態(tài)。如果馬氏鏈至少包含一個吸收狀態(tài)，并且從每一個非吸收狀態(tài)出發(fā)，能以正的概率經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移到達(dá)某個吸收狀態(tài)，那么這個馬氏鏈稱為吸收鏈。吸收鏈的轉(zhuǎn)移矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式：個吸收狀態(tài)，其中，階子方陣的特征值滿足一般地個非吸收態(tài)西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模表示以任何非吸收態(tài)出發(fā)，經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移后，到達(dá)t個非吸收狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率。從狀態(tài)出發(fā)經(jīng)次轉(zhuǎn)移，第一次到達(dá)狀態(tài)的概率稱為到的首達(dá)概率，記作，于是為由狀態(tài)第一次到達(dá)狀態(tài)的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。定義西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模定理4

對于吸收鏈的標(biāo)準(zhǔn)形式（上面矩陣），可逆，且記列向量，則的第分量是從第被某個吸收狀態(tài)吸收的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。（基矩陣）F中的每個元素，表示從任何非吸收狀態(tài)出發(fā)，過程到達(dá)每個非吸收狀態(tài)的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)；個非吸收狀態(tài)出發(fā)，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模設(shè)狀態(tài)是非吸收狀態(tài)，是吸收狀態(tài)，那么首達(dá)概率實際是經(jīng)次轉(zhuǎn)移被吸收的概率，而則是從非吸收狀態(tài)出發(fā)最終將被吸收狀態(tài)吸收的概率。記，下面的定理給出了計算的方法。定理5設(shè)吸收鏈的轉(zhuǎn)移矩陣表為標(biāo)準(zhǔn)形式，則西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模練習(xí)智力競賽問題甲、乙兩隊進(jìn)行智力競賽。競賽規(guī)則為：競賽開始時，甲、乙兩隊各記2分，在搶答問題時，如果甲隊贏得1分，那么甲隊的總分將累加1分，同時乙隊總分將減少1分。當(dāng)甲（或乙）隊總分達(dá)到4分時，競賽結(jié)束，甲（或乙）獲勝。（1）甲隊獲勝的概率是多少？（2）競賽從開始到結(jié)束，分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)移的平均次數(shù)是多少？（３）甲隊獲得１，２，３分的平均次數(shù)是多少？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模1）分析表示輪數(shù)每輪得分情況處于第i個狀態(tài)的概率轉(zhuǎn)移概率矩陣甲設(shè)甲得1分的概率為p0123401234西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模標(biāo)準(zhǔn)型0412304123西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模（1）甲隊獲勝的概率（2）競賽從開始到結(jié)束，分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)移的平均次數(shù)（３）甲隊獲得１，２，３分的平均次數(shù)分別為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模作業(yè)1一個服務(wù)網(wǎng)絡(luò)由k個工作站依次串聯(lián)而成，當(dāng)某種服務(wù)請求到達(dá)工作站時，能處理的概率為，轉(zhuǎn)往下一站處理的概率為，拒絕處理的概率為，滿足。構(gòu)造馬氏鏈模型，確定到達(dá)的請求平均經(jīng)過多少工作站才能獲得接受處理或拒絕處理的結(jié)果，被接受和拒絕的概率個多大？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模2空氣污染問題有k個城市，每一時刻t=0,1,2,…,的空氣中污染物濃度，從t到t+1，空氣中污染物擴(kuò)散到去的比例是，有擴(kuò)散到k各城市之外的那部分污染物永遠(yuǎn)不再回來。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模健康與疾病問題人壽保險公司對受保人的健康狀況非常關(guān)注，需通過大量的數(shù)據(jù)對狀態(tài)轉(zhuǎn)變的概率作出估計，才能制定出不同年齡、不同健康狀況的人的保險金和理賠金數(shù)額。假定對某一年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8，即明年轉(zhuǎn)為疾病狀態(tài)的概率為0.2；而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為0.7，即明年保持疾病狀態(tài)的概率為0.3。如果一個人投保時處于健康狀態(tài)，研究若干年后他分別處于兩種狀態(tài)的概率。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模0.20.70.80.312西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模經(jīng)計算0123410.80.780.7780.77787/900.20.220.2220.22222/90123400.70.770.7770.77777/910.30.230.2230.22232/9西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模0.02問題的進(jìn)一步考慮人壽保險公司考慮到人的死亡情況，把死亡作為第三種狀態(tài)，用表示。0.180.650.80.251230.1西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模設(shè)表示狀態(tài)概率，表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，,其值見上圖。第年的狀態(tài)概率可由全概率公式得到：西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模經(jīng)計算0123305010.80.7570.72850.26980.1293000.180.1890.18350.06800.0326000.020.0540.08800.66210.83811如果設(shè)初始狀態(tài)概率為則當(dāng)時，的趨向與上表相同。結(jié)論：不管初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3，這代表了另一種重要的馬氏鏈類型。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模鋼琴銷售的存貯策略問題：鋼琴是奢侈品，銷售量很小，商店里一般不會有多大的庫存量讓它積壓資金。一家商店根據(jù)以往經(jīng)驗，平均每周只能售出一架鋼琴，現(xiàn)在經(jīng)理制訂的存貯策略是，每周末檢查庫存量，僅當(dāng)庫存量為零時，才訂購3架供下周銷售；否則，不訂購。試估計在這種策略下失去銷售機(jī)會的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系6/9/2023數(shù)學(xué)建模問題分析：對于鋼琴的銷售，顧客的到來是相互獨(dú)立的，在服務(wù)系統(tǒng)中通常認(rèn)為需求量近似服從泊松分布，其參數(shù)可由均值為每周銷售1架得到，由此可以算出不同需求量的概率。周末的庫存可能是0，1，2，3架，而周初的庫存量只有1，2，3這3種狀態(tài)，每周不同的需求將導(dǎo)致周初庫存狀態(tài)的變化，于是可用馬氏鏈來描述這個過程。當(dāng)需求超