圖形學(xué) 第二章 物體的幾何表示

圖形學(xué)第二章物體的幾何表示第一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二幾何物體的表示隱式曲面細(xì)分曲面物體的CSG樹表示自然景物表示方法2第二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二幾何物體的表示隱式曲面細(xì)分曲面物體的CSG樹表示自然景物表示方法3第三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二隱式曲面R3中的隱式曲面表示為：{(x,y,z)R3:f(x,y,z)=0}三維空間中的一個(gè)二維曲面(二維流形)f(x,y,z)稱為隱式函數(shù)：數(shù)學(xué)表達(dá)式或過程定義的函數(shù)當(dāng)f(x,y,z)為多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，隱式曲面稱為代數(shù)曲面4第四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二隱式曲面舉例球面：x2+y2+z2=1圓柱面：x2+y2=15第五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二隱式曲面與參數(shù)曲面的比較與參數(shù)曲面相比，隱式曲面的優(yōu)點(diǎn)隱式曲面可以表示具有復(fù)雜拓?fù)涞男螤頝URBS曲面只能表示拓?fù)涞葍r(jià)于矩形的四邊曲面NURBS曲面表示非退化封閉光滑曲面時(shí)，需要光滑拼接隱式曲面比NURBS曲面更適合于進(jìn)行布爾運(yùn)算、光線跟蹤、點(diǎn)集判斷等6第六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二隱式曲面與參數(shù)曲面的比較與參數(shù)曲面相比，隱式曲面的不足隱式曲面表示不直觀，難以進(jìn)行外形的交互修改。NURBS曲面的外形控制手段非常直觀隱式曲面通常沒有邊界，而NURBS曲面具有顯式的邊界隱式曲面難以直接進(jìn)行顯示，而NURBS曲面則可以借助于剖分算法，對(duì)逼近多邊形表示進(jìn)行繪制7第七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二隱式曲面與參數(shù)曲面的相互轉(zhuǎn)化隱式化：從參數(shù)曲面到隱式曲面消除NURBS曲面的兩個(gè)參數(shù)(u,v)得到其隱式表示參數(shù)化：從隱式曲面到參數(shù)曲面并非所有的隱式曲面都可以參數(shù)化對(duì)于非退化的二次代數(shù)曲面和具有一個(gè)奇異點(diǎn)的三次代數(shù)曲面，可以進(jìn)行有理多項(xiàng)式參數(shù)化8第八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二圖形學(xué)中常用的隱式曲面造型技術(shù)基于骨架的隱式曲面造型基于點(diǎn)、線和面骨架的Metaball方法基于骨架的卷積曲面基于點(diǎn)骨架的Metaball造型基于點(diǎn)、直線混合骨架的Metaball造型9第九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二圖形學(xué)中常用的隱式曲面造型技術(shù)代數(shù)曲面片造型技術(shù)，包括二次代數(shù)曲面、A-Patch方法等代數(shù)曲面片造型10第十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二隱式曲面的顯示多邊形化：用平面多邊形逼近隱式曲面，MarchingCube方法光線跟蹤：生成高質(zhì)量的圖像粒子系統(tǒng)：在隱式曲面上均勻布撒粒子多邊形化光線投射粒子系統(tǒng)11第十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二幾何物體的表示隱式曲面細(xì)分曲面物體的CSG樹表示自然景物表示方法12第十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二細(xì)分曲面Chaikin算法(1974)：均勻二次B-樣條曲曲線的離散生成輸入多邊形折線每次在邊的1:3和3:1處生成兩個(gè)新頂點(diǎn)，按規(guī)律連接新生成的頂點(diǎn)極限曲線為均勻二次B-樣條曲線13第十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二Chaikin算法舉例Chaikin算法示意圖Chaikin算法動(dòng)態(tài)示意圖14第十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二Doo-Sabin細(xì)分曲面DonaldDoo和MalcolmSabin推廣了Chaikin算法由二次B-樣條曲線推廣到二次B-樣條曲面輸入為一個(gè)多邊形面片，經(jīng)過重復(fù)的剖分，生成光滑的極限曲面15第十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二Doo-Sabin細(xì)分曲面的生成規(guī)則面點(diǎn)(facepoint)：面的頂點(diǎn)的平均邊點(diǎn)(edgepoint)：邊的中點(diǎn)新頂點(diǎn)(newVertex)：對(duì)每個(gè)面的每一個(gè)頂點(diǎn)，計(jì)算面點(diǎn)、兩個(gè)邊點(diǎn)和原有頂點(diǎn)的平均Doo-Sabin細(xì)分曲面生成的各類頂點(diǎn)16第十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二Doo-Sabin細(xì)分曲面新頂點(diǎn)連接初始多邊形及生成的新頂點(diǎn)對(duì)于每個(gè)面，連接生成的新頂點(diǎn)對(duì)于每個(gè)老頂點(diǎn)，連接與之相鄰的新頂點(diǎn)對(duì)于每條邊，連接與該邊相鄰的兩個(gè)面上的對(duì)應(yīng)新頂點(diǎn)17第十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二細(xì)分曲面實(shí)例Doo-Sabin細(xì)分曲面Catmull-Clark細(xì)分曲面18第十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二其它類型細(xì)分曲面Catmull-Clark細(xì)分曲面(雙三次B-樣條曲面)Loop細(xì)分曲面(六次三角樣條曲面)Loop細(xì)分曲面實(shí)例19第十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二細(xì)分曲面的優(yōu)勢(shì)與不足優(yōu)勢(shì)極限曲面C1或C2連續(xù)的光滑曲面可以表示任意拓?fù)溥m合于動(dòng)畫造型、快速顯示不足奇異點(diǎn)處沒有解析表達(dá)，難以計(jì)算微分量難以精確控制其外形難以構(gòu)造高階光滑曲面20第二十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二更多的細(xì)分曲面實(shí)例21第二十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二幾何物體的表示隱式曲面細(xì)分曲面物體的CSG樹表示自然景物表示方法22第二十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二物體的CSG樹表示CSG：ConstructiveSolidGeometry表示實(shí)體：即有邊界，也包含內(nèi)部表示邊界：多邊形、參數(shù)曲面、隱式曲面、細(xì)分曲面CSG樹表示：面向澆鑄、加工或拉伸等CAD/CAM過程23第二十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二物體的CSG樹表示CSG樹：通過一系列幾何操作將簡(jiǎn)單的基本體素組合起來基本體素：立方體、球、圓柱、圓錐等幾何操作布爾運(yùn)算：并、交、差、補(bǔ)等幾何變換：平移、旋轉(zhuǎn)、放縮、剪切等CSG樹：含有豐富的造型信息物體生成過程物體表示24第二十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二一個(gè)CSG樹表示的實(shí)例立方體立方體并減圓柱體25第二十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二物體的CSG樹表示的分析CSG樹的缺點(diǎn)繪制耗時(shí)限制了物體外形的修改改進(jìn)：混合表示將邊界表示和布爾運(yùn)算結(jié)合起來，形成一種界與邊界表示和CSG實(shí)體表示之間的混合表示26第二十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二幾何物體的表示隱式曲面細(xì)分曲面物體的CSG樹表示自然景物表示方法27第二十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二自然景物表示方法自然景物的模擬是圖形學(xué)中最具挑戰(zhàn)性的問題之一山、樹木、花草、火焰、云、煙、流體等目前三種常用方法分形基于語法規(guī)則的L-系統(tǒng)粒子系統(tǒng)28第二十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二分形分形(Fractal)的主要特征：自相似性質(zhì)：分形物體的任何一個(gè)部分都和物體整體具有某種程度的相似無限小細(xì)節(jié)性質(zhì)：當(dāng)無限地放大分形物體時(shí)，物體總是表現(xiàn)有細(xì)節(jié)，而不是像歐氏空間的物體一樣最終會(huì)表現(xiàn)出光滑性維數(shù)非整數(shù)29第二十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二分形舉例：Koch雪花曲線Koch雪花曲線中間曲線的每一個(gè)線段被1/3大小的原始曲線所替代后續(xù)的曲線又是中間曲線的一種縮小后的替代30第三十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二基于分形方法生成山一維情形：線段位于x-軸，將線段在中點(diǎn)剖分，并將中點(diǎn)沿y方向移動(dòng)一段距離，如此不斷地剖分并且移動(dòng)新得到的中點(diǎn)記(xi,yi)、(xi+1,yi+1)為直線段的兩個(gè)端點(diǎn)，則剖分后新生成的點(diǎn)(xnew,ynew)為：Random(?)為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，P(?)為一個(gè)控制隨機(jī)量大小的函數(shù)，例如在第s步剖分中，P(s)=2-s

31第三十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二基于分形方法生成山：一維實(shí)例在x-軸上的直線段直線段的中點(diǎn)沿y方向移動(dòng)一個(gè)隨機(jī)量進(jìn)一步迭代的結(jié)果32第三十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二基于分形方法生成山二維情形三角片被剖分為四個(gè)小三角形，每條邊的中點(diǎn)沿y方向進(jìn)行擾動(dòng)

33第三十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二基于分形方法生成山的實(shí)例34第三十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二L-系統(tǒng)：植物建模L-系統(tǒng)語法規(guī)則：通過對(duì)所給字符根據(jù)語法規(guī)則的迭代生成新的字符串，每次迭代結(jié)果稱為一代字符解釋：將字符串中的字符解釋為適當(dāng)?shù)膸缀误w素，就可以得到一個(gè)基于語法規(guī)則生成的物體L-系統(tǒng)成功地用于植物建模35第三十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二一個(gè)L-系統(tǒng)實(shí)例字符集：“A”,“B”,“[”“]”,“(”,“)”語法規(guī)則：A→AA;B→A[B]AA(B)迭代兩次BA[B]AA(B)AA[A[B]AA(B)]AAAA(A[B]AA(B))字符解釋：“A”表示一個(gè)主干，“B”表示一個(gè)分支，“[]”表示分支向左45°，“()”表示分支向右45°36第三十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二一個(gè)L-系統(tǒng)實(shí)例的圖示(a)初始字符(b)一代結(jié)果(c)二代結(jié)果37第三十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二基于L-系統(tǒng)的植物建模實(shí)例38第三十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二L-系統(tǒng)：植物建模在L-系統(tǒng)中引入更多控制不同“代”之中的字符的不同解釋(n+1)代的樹枝要比n-代的樹枝細(xì)一些、短一些終止節(jié)點(diǎn)處賦予樹葉和花朵通過設(shè)計(jì)不同的語法規(guī)則和字符解釋集，可以構(gòu)造出各種美麗的樹木和花草39第三十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二基于L-系統(tǒng)生成的花與樹木40第四十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二粒子系統(tǒng)粒子系統(tǒng)由一組隨時(shí)間變化的粒子組成粒子的變化由某種隨機(jī)統(tǒng)計(jì)規(guī)律控制粒子有生命：產(chǎn)生、發(fā)展（運(yùn)動(dòng)）、消亡按照確定或隨機(jī)運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模擬火、霧、煙、焰火等外形隨時(shí)間的變化而變動(dòng)的模糊物體41第四十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二粒子系統(tǒng)一般性描述粒子系統(tǒng)是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的系統(tǒng)，生成其中每一瞬間畫面的步驟產(chǎn)生新的粒子并加入系統(tǒng)中賦予每一個(gè)新粒子一定的屬性刪除那些已經(jīng)超過其生命周期的粒子根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)屬性對(duì)粒子進(jìn)行移動(dòng)和變換繪制并顯示出所有有生命粒子組成的畫面

42第四十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二基于粒子系統(tǒng)的火焰與瀑布粒子系統(tǒng)生成的火焰粒子系統(tǒng)生成的瀑布43第四十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期二自然景物造型用其它方法可以模