實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)十三標(biāo)尺刻度的設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)十三標(biāo)尺刻度的設(shè)計(jì)1第一頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二

由于經(jīng)常注油和取油，有時(shí)很難知道油罐中剩油的數(shù)量。這給現(xiàn)有儲(chǔ)油量的統(tǒng)計(jì)帶來(lái)很大的麻煩。顯然，將剩油取出計(jì)量是不現(xiàn)實(shí)的。因此，希望能設(shè)計(jì)一個(gè)精細(xì)的標(biāo)尺：工人只需將該尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根據(jù)標(biāo)尺上的油痕位置的刻度獲知剩油量的多少。這是一個(gè)來(lái)自油田的問(wèn)題。

2第二頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二13.3數(shù)學(xué)模型設(shè)圓柱的底面半徑為R，長(zhǎng)度為L(zhǎng)；而圓錐的底面半徑也是R，高為A。若標(biāo)尺被油浸濕位置的高度為H，而此時(shí)罐內(nèi)的油量為V。那么我們的問(wèn)題歸結(jié)為求出函數(shù)換言之，要求油量函數(shù)的反函數(shù)。3第三頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二由于對(duì)稱性，我們只要研究的情形就行了。13.4問(wèn)題的解法Ⅰ．求油量函數(shù)的解析方法其中和分別為相應(yīng)圓柱和圓錐（一側(cè)部分）中的儲(chǔ)油量。先求。

4第四頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二設(shè)圓柱體截面中儲(chǔ)油部分對(duì)應(yīng)的弓形區(qū)域面積為S(H)，弓形對(duì)應(yīng)的圓心角的一半為

那么易得利用三角函數(shù)表達(dá)式，就有5第五頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二6第六頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二再求

設(shè)與圓錐體底面平行且距底面x處的截面上表示儲(chǔ)油部分的弓形區(qū)域面積為Q，那么和前面S不同的是：Q不僅與H有關(guān)，而且與x有關(guān)。設(shè)該弓形的半徑為r高為h，由幾何關(guān)系（見(jiàn)圖13.3）不難看出：

從而得到7第七頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二于是類似于S的求法，有通過(guò)作變換8第八頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二

這個(gè)積分雖然比較復(fù)雜，但還是可以積出來(lái)，建議讀者自己進(jìn)行計(jì)算，也可以借助數(shù)學(xué)軟件。具體結(jié)果為從而可知9第九頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二綜合（13.4）、（13.6）和（13.11）三式，就有10第十頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二Ⅱ．刻度位置函數(shù)的求法

顯然，要由油量函數(shù)的解析表達(dá)式（13.12）來(lái)解析地求出反函數(shù)H(V)的顯式表示是不可能的。介紹兩種近似方法。1．插值法將區(qū)間[0，R]作如上等分：

那么由式（13.12）可以求得V在各分點(diǎn)的值：現(xiàn)在的問(wèn)題是：如果給出油量V*，如何確定（求出）相應(yīng)的標(biāo)尺刻度位置H*？而這實(shí)際上是求方程的根。11第十一頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二（1）線性插值

設(shè)，在此區(qū)間上用線性函數(shù)近似H(V)，則有（2）二次插值先找出最接近的V*的用二次函數(shù)近似H(V)，則有，然后在插值方法還有多種，這里介紹的是最簡(jiǎn)單的。

12第十二頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二2．二分法綜上所述，可以將標(biāo)尺刻度設(shè)計(jì)的過(guò)程歸納為：步驟一把區(qū)間[0，R]依精度需要分成n等份，得剖分點(diǎn)；其中利用公式（13.12）算出刻度位置處相應(yīng)的油量。

步驟二根據(jù)所需的各油量讀數(shù)所在上一步驟中的某一油量區(qū)間，通過(guò)插值或二分逼近法獲得相應(yīng)的刻度位置值。13第十三頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二五、數(shù)值實(shí)例現(xiàn)在我們以（單位：m）為例進(jìn)行實(shí)際計(jì)算。（1）求油量函數(shù)的值取，由油量表達(dá)式（16.12）可得計(jì)算結(jié)果如表13.1所示。

00.00.00000.00000.000010.10.29360.00230.298220.20.81750.01280.843130.31.47750.03431.546140.42.23650.06822.372950.53.07090.11533.301560.63.96340.17544.314270.74.89960.24815.395880.85.86740.33206.531490.96.85570.42497.7055101.07.85400.52368.901214第十四頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）用插值法求刻度位置的值

這里我們僅求對(duì)應(yīng)的H*的值。

由式（13.14）得線性插值近似值為而由式（13.15）得二次插值近似值為兩種插值得到的結(jié)果有相同的兩位有效數(shù)字，說(shuō)明線性插值在此已有了相當(dāng)?shù)木取?5第十五頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期二（3）用二分法