2021年四川省綿陽市英語實驗中學高三數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析

2021年四川省綿陽市英語實驗中學高三數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（本題滿分12分）如圖，在△ABC中，，D，E分別為AB，AC的中點．將△ADE沿DE折起到△PDE的位置．（1）證明：BC⊥平面PEC；（2）若，BC=CD，直線BP與平面PEC所成的角為45°，求四棱錐P-BCED的體積．

參考答案：（1）證明：因為分別為的中點，所以，因為，所以，所以翻折后，，所以，又因為，，平面，所以平面.（2）解法一：過點作于，由（1）知，平面，又平面，所以，又，平面，所以平面所以為四棱錐的高由（1）知，平面所以與平面所成角為，所以在中，因為，所以，在中，，所以，，所以在中，，，得又，得所以.所以四棱錐的體積為.解法二：（割補法）由（1）知，，，所以，所以由（1）知平面，所以由（1）知，平面，所以與平面所成的角為，在中，，，所以，在中，，所以，，在中，，，得所以，故四棱錐的體積為.

2.已知雙曲線的右焦點為F，過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若線段FH的中點M在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為參考答案：C

【知識點】雙曲線的簡單性質(zhì)．H6解析：由題意可知，一漸近線方程為y=x，則F2H的方程為y﹣0=k（x﹣c），代入漸近線方程y=x，可得H的坐標為（，），故F2H的中點M（，），根據(jù)中點M在雙曲線C上，∴=1，∴=2，故e==，故選：C．【思路點撥】設一漸近線方程為y=x，則F2H的方程為y﹣0=k（x﹣c），代入漸近線方程求得H的坐標，有中點公式求得中點M的坐標，再把點M的坐標代入雙曲線求得離心率．3.設集合A={1,2,4}，．若A∩B={1}，則B=

(

)A.{1,－3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}參考答案：C∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，故選C4.設i是虛數(shù)單位，復數(shù)A. B. C. D.參考答案：B5.函數(shù)的定義域為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.若直線l：y=kx﹣1與曲線C：f（x）=x﹣1+沒有公共點，則實數(shù)k的最大值為（）A．﹣1 B． C．1 D．參考答案：C【考點】函數(shù)的圖象．【分析】直線l：y=kx﹣1與曲線f（x）=x﹣1+沒有公共點，則x﹣1+=kx﹣1無解，可化為k=1+，設g（x）=1+，求導，研究此函數(shù)的單調(diào)性即可解決【解答】解：若直線l：y=kx﹣1與曲線f（x）=x﹣1+沒有公共點，則x﹣1+=kx﹣1無解，∵x=0時，上述方程不成立，∴x≠0則x﹣1+=kx﹣1可化為k=1+，設g（x）=1+，∴g′（x）=∴g′（x）滿足：在（﹣∞，﹣1）上g′（x）＞0，在（﹣1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，∴g（x）滿足：在（﹣∞，﹣1）上遞增，在（﹣1，0）上遞減，在（0，+∞）上遞減，g（﹣1）=1﹣e，而當x→+∞時，g（x）→1，∴g（x）的圖象：∴g（x）∈（﹣∞，1﹣e]∪（1，+∞）無解時，k∈（1﹣e，1]，∴kmax=1，故選：C7.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則=(

)A．

B．

C．

D．2參考答案：B8.在極坐標系中，曲線圍成的圖形面積為

A．

B．4

C．

D．16參考答案：C9.設是直線，a，β是兩個不同的平面,A.若∥a，∥β，則a∥β

B.若∥a，⊥β，則a⊥βC.若a⊥β，⊥a，則⊥β

D.若a⊥β,∥a，則⊥β參考答案：B10.設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點F的直l交拋物線C于A，B兩點，|FA|＝3，則|FB|＝（

）A.3 B. C.5 D.參考答案：B【分析】求出直線AB的斜率，得到AB的方程，與拋物線聯(lián)立，求出B的坐標，然后求解|FB|即可．【詳解】拋物線C：y2＝4x的焦點為F（1，0），過點F的直l交拋物線C于A，B兩點，|FA|＝3，不妨A在第一象限，可得A（2，2），所以AB：y＝2（x﹣1），代入拋物線方程可得：2x2﹣5x+2＝0，解得xB，xA＝2．所以|FB|＝xB．故選：B．【點睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應用，是基本知識的考查．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，已知拋物線拱形的底邊弦長為，拱高為，其面積為____________．參考答案：【知識點】拋物線的簡單性質(zhì).H7

【答案解析】解析：以底邊弦所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立平面直角坐標系，設拋物線的方程為，根據(jù)題意可得拋物線上的點的坐標為，靶點坐標代入得：，即，，，物線拱形的底邊弦長為，拱高為，其面積為，故答案為?！舅悸伏c撥】以底邊弦所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立平面直角坐標系，，求出拋物線方程積分即可．12.下列說法：

①“”的否定是“”；

②函數(shù)的最小正周期是

③命題“函數(shù)處有極值，則”的否命題是真命題；

④上的奇函數(shù)，時的解析式是，則時的解析式為其中正確的說法是

參考答案：①④略13.如圖，在路邊安裝路燈，路寬為OD，燈柱OB長為10米，燈桿AB長為1米，且燈桿與燈柱成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，其軸截面的頂角為2θ，燈罩軸線AC與燈桿AB垂直．若燈罩截面的兩條母線所在直線一條恰好經(jīng)過點O，另一條與地面的交點為E．則該路燈照在路面上的寬度OE的長是

米．參考答案：14.已知變量，滿足約束條件，則的最大值是_________..參考答案：9試題分析：作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，平移直線，當它過點時，取得最大值9．故答案為9．考點：簡單的線性規(guī)劃．【名師點睛】圖解法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法，其關(guān)鍵在于平移直線時，看它經(jīng)過哪個點（或哪些點）時最先接觸可行域或最后離開可行域，則這樣的點即為最優(yōu)解，再注意到它的幾何意義，從而確定是取得最大值還是最小值．如本例中平稱直線時，向下平移減小，向上平移增大，因此易知最大值點在何處取得．15.設函數(shù)．函數(shù)有4個零點．則實數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：16.若x，y滿足，則目標函數(shù)z=x+2y的最大值為

．參考答案：3【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直線y=﹣x+z，由圖象可知當直線y=﹣x+z經(jīng)過點B時，直線y=﹣x+z的截距最大，此時z最大．由，解得，即B（1，1），代入目標函數(shù)z=x+2y得z=2×1+1=3故答案為：3．17.在一個容量為5的樣本中，數(shù)據(jù)均為整數(shù)，已測出其平均數(shù)為10，但墨水污損了兩個數(shù)據(jù)，其中一個數(shù)據(jù)的十位數(shù)字1未污損，即9，10，11，，那么這組數(shù)據(jù)的方差s2可能的最大值是

．參考答案：36【考點】極差、方差與標準差．【分析】設這組數(shù)據(jù)的最后2個分別是：10+x，y，得到x+y=10，表示出S2，根據(jù)x的取值求出S2的最大值即可．【解答】解：設這組數(shù)據(jù)的最后2個分別是：10+x，y，則9+10+11+（10+x）+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x，故S2=[1+0+1+x2+（﹣x）2]=+x2，顯然x最大取9時，S2最大是36，故答案為：36．【點評】本題考查了求數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差問題，是一道基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）．在極坐標系（與直角坐標取相同的長度單位，且以原點為極點，軸的非負半軸為極軸）中，曲線的方程為．（Ⅰ）求曲線直角坐標方程；（Ⅱ）若曲線、交于A、B兩點，定點，求的值．參考答案：略19.（13分）已知橢圓=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b﹣c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）證明：橢圓上的點到點F2的最短距離為a﹣c；（2）求橢圓的離心率e的取值范圍；（3）設橢圓的短半軸長為1，圓F2與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F2截得的弦長s的最大值．參考答案：考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的應用．專題： 計算題；證明題；壓軸題．分析： （1）設橢圓上任一點Q的坐標為（x0，y0），根據(jù)Q點到右準線的距離和橢圓的第二定義，求得x0的范圍，進而求得橢圓上的點到點F2的最短距離（2）可先表示出|PT|，進而可知當且僅當|PF2|取得最小值時|PT|取得最小值，根據(jù)≥（a﹣c）求得e的范圍．（3）設直線的方程為y=k（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)立方程組消去y得，根據(jù)韋達定理可求得x1+x2和x1x2，代入直線方程求得y1y2，根據(jù)OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直線的方程為ax﹣y﹣a=0根據(jù)圓心F2（c，0）到直線l的距離，進而求得答案．解答： 解：（1）設橢圓上任一點Q的坐標為（x0，y0），Q點到右準線的距離為d=﹣x0，則由橢圓的第二定義知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴當x0=a時，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依題意設切線長|PT|=∴當且僅當|PF2|取得最小值時|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，從而解得≤e＜，故離心率e的取值范圍是解得≤e＜，（3）依題意Q點的坐標為（1，0），則直線的方程為y=k（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)立方程組消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得，設A（x1，y1）（x2，y2），則有x1+x2=，x1x2=，代入直線方程得y1y2=，x1x2=+y1y2=，又OA⊥OB，∴=0，∴k=a，直線的方程為ax﹣y﹣a=0，圓心F2（c，0）到直線l的距離d=，∴≤e＜?，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，∴s∈（0，），所以弦長s的最大值為．點評： 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．20.一批產(chǎn)品需要進行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n．如果，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗．假設這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立．（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；（2）已知每件產(chǎn)品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學期望．參考答案：(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）對于第一種情況，先從這批產(chǎn)品中任取四個產(chǎn)品，求出三個為優(yōu)質(zhì)品的概率，那么需要再從該類產(chǎn)品中抽取四個產(chǎn)品，再求出四個都未為優(yōu)質(zhì)品的概率；對于第二種情況，求出第一次取出的四件產(chǎn)品都為優(yōu)質(zhì)品的概率以及第二次取出的一件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品的概率，則根據(jù)獨立事件與互斥事件的概率公式可得結(jié)果；（2）若對該產(chǎn)品進行檢驗，最后花費的檢驗費用有三種情況，即為400元，500元或800元，可分別根據(jù)題目條件求隨機變量對應的概率，利用期望公式求出所需花費費用的數(shù)學期望.【詳解】（1）設第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件，第二次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件，這批產(chǎn)品通過檢驗為事件，依題意有，且與互斥，所以（2）可能的取值為400，500，800，并且，，，故的分布列如下：400500800

故【點睛】本題主要考查互斥事件的概率公式、獨立事件同時發(fā)生的概率公式以及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，屬于中檔題.求解數(shù)學期望問題，首先要正確理解題意，其次要準確無誤的找出隨機變量的所有可能值，計算出相應的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差的公式進行計算，也就是要過三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計算關(guān)；（3）公式應用關(guān).21.如圖，直三棱柱中，，分別是，的中點，。（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）設，，求三棱錐的體積。參考答案：22.已知函數(shù)．（1）當時，試求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在(0,1)內(nèi)有極值，試求a的取值范圍．參考答案：（1）單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；（2）a∈（e，+∞）【分析】（1）首先求得定義域為，求導后，通過證明恒成立可知導函數(shù)符號由的符號決定，從而可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）將在內(nèi)有極值轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有零點，即有解，令，，利用導數(shù)可求得，從而可驗證出時在內(nèi)有零點，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，定義域為