大學(xué)生數(shù)學(xué)試題及答案2383_第1頁
大學(xué)生數(shù)學(xué)試題及答案2383_第2頁
大學(xué)生數(shù)學(xué)試題及答案2383_第3頁
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大學(xué)生數(shù)學(xué)試題及答案考試形式:閉卷考試時(shí)間:150分鐘滿分:100分一、(本題滿分10分)求極限?!窘狻?(1(0)21(1)21()21(2n1)2)nnnnn因在上連續(xù),故存在,且=,所以,。二、(本題滿分10分)請(qǐng)問為何值時(shí)下式成立【解】注意到左邊得極限中,無論為何值總有分母趨于零,因此要想極限存在,分子必須為無窮小量,于就是可知必有,當(dāng)時(shí)使用洛必達(dá)法則得到,0由上式可知:當(dāng)時(shí),若,則此極限存在,且其值為;若,則,綜上所述,得到如下結(jié)論:或。三、(本題滿分10分)計(jì)算定積分?!窘狻孔髯儞Q,則,所以,。四、(本題滿分10分)求數(shù)列中得最小項(xiàng)。x【解】因?yàn)樗o數(shù)列就是函數(shù)當(dāng)分別取時(shí)得數(shù)列。又且令,容易瞧出:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。所以,有唯一極小值。而,因此數(shù)列得最小項(xiàng)。五、(本題滿分10分)求?!窘狻靠紤]冪級(jí)數(shù),其收斂半徑為,收斂區(qū)間為,當(dāng)時(shí),收斂;當(dāng)時(shí),發(fā)散,因此其收斂域?yàn)?。設(shè)其與函數(shù)為,則,。于就是,故,。六、(本題滿分10分)設(shè),其中為連續(xù)函數(shù),求?!窘狻吭匠炭蓪憺?上式兩端對(duì)求導(dǎo)得f(x)cosxf(t)dtxf(x)xf(x)cosxxxf(t)dt(*)00兩端再對(duì)求導(dǎo)得即這就是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次方程,由原方程知,由(*)式知。特征方程為,齊次通解為設(shè)非齊次方程特解為,代入得。則非齊次方程通解為由初始條件與可知,。LOA七、(本題滿分10分)在過點(diǎn)與得曲線族中,求一條曲線,使沿該曲線從到得積分得值最小?!窘狻?。I(a)(0,+∞)內(nèi)得唯一極值點(diǎn),故a=1時(shí)I令,得;又,則在處取極小值,且a=1就是在(a)取最小值,則所求曲線為。

f(x)八、(本題滿分10分)設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù),且,。[?1,1]證明:1.,x∈[?1,1]。f(x)2.=x在[?1,1]上有且只有一個(gè)實(shí)根?!咀C明】1.由泰勒公式,兩式相減并整理得(1x2)(1x2)(1x2)(1x2)f(x)f()f()于就是,448由于,因此,。2.令。則,。但在[?1,1]上連續(xù),由介值定理知,在上至少有一個(gè)零點(diǎn)。[?1,1][?1,1]又由1可知,故在上嚴(yán)格單調(diào),從而至多有一個(gè)零點(diǎn)。f(x)=x[?1,1]在[?1,1]這樣在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),即上有且只有一個(gè)實(shí)根。九、(本題滿分10分)設(shè)在為連續(xù)函數(shù),則?!窘狻苛顒t,則所

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