斜線在平面上的射影

斜線在平面上的射影第一頁，共十頁，編輯于2023年，星期三3．教學(xué)疑點(diǎn)及解決方法：（1）“斜線在平面上的射影”是“直線和平面所成的角”的基礎(chǔ)；“斜線在平面上的射影”這一小節(jié)出現(xiàn)概念較多，為了便于學(xué)生理解和記憶，可以邊畫出課本的圖形1-30邊講解，結(jié)合圖形記憶，快而且準(zhǔn)．教學(xué)中，一般先畫出斜線AC與平面α斜交于C，再過AC上一點(diǎn)A引AB⊥α，垂足為點(diǎn)B，連結(jié)BC，然后指出AC是平面α上的斜線；線段AC是點(diǎn)A到平面α的斜線段，線段AB是點(diǎn)A到平面α的垂線段，點(diǎn)B是點(diǎn)A到平面α的垂線的垂足，直線BC是線段AC在平面α上的射影．（2）斜線段在平面上的射影是一條線段，斜線在平面上的射影是直線，垂線和垂線段在平面上的射影退化成一個點(diǎn)．（3）為照顧一般習(xí)慣說法，課本中定義射影是用“在平面上”，而說點(diǎn)、直線“在平面內(nèi)”，并非不同．（4）射影定理中三個結(jié)論成立的前提是這些斜線段及垂線段必須是從平面外同一點(diǎn)向平面所引而得到的，否則，結(jié)論不成立．第二頁，共十頁，編輯于2023年，星期三（5）直線和平面相交，它們的相互位置與兩條相交直線一樣，仍需用角來表示，但過交點(diǎn)在平面內(nèi)可以作許多條直線，與平面相交的直線同平面內(nèi)每一條直線所成的角是不相等的，為了定義的準(zhǔn)確性，所以取這些角中有確定值的最小角，也就是取該斜線與其在平面上射影所成的銳角作為直線和平面所成的角；（6）直線和平面的位置關(guān)系可以用直線和平面成角范圍來刻劃；反之，由直線和平面所成角的大小也可以確定直線和平面的相互位置：②直線和平面平行或直線在平面內(nèi)，θ＝0°．③直線和平面成角的范圍是0°≤θ≤90°．三、課時安排1課時．第三頁，共十頁，編輯于2023年，星期三四、學(xué)生活動設(shè)計常規(guī)活動．（略）五、教學(xué)步驟（一）新課概念教學(xué)1．點(diǎn)在平面上的射影，點(diǎn)到平面的垂線段自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個平面上的射影．這點(diǎn)與垂足間的線段叫這點(diǎn)到這個平面的垂線段．2．平面的斜線的有關(guān)概念一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫這個平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫斜足，斜線上一點(diǎn)和斜足間的線段叫這點(diǎn)到這個平面的斜線段．3．射影的有關(guān)概念過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫斜線在這個平面上的射影．垂足和斜足間的線段叫這點(diǎn)到平面的斜線段在這個平面上的射影．第四頁，共十頁，編輯于2023年，星期三說明：教師邊畫出課本圖形1-30，邊講解．點(diǎn)B—點(diǎn)A在平面上的射影AB—點(diǎn)A到平面的垂線段AC—平面的一條斜線C—斜足線段AC—斜線段直線BC—斜線AC在平面上的射影線段BC—斜線段AC在平面上的射影（板書）（1）．點(diǎn)在平面上的射影．（2）．點(diǎn)到平面的垂線段．（3）．斜線、斜足、斜線段．（4）．斜線在平面上的射影．（5）．線段在平面上的射影．第五頁，共十頁，編輯于2023年，星期三（二）射影定理從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；（3）垂線段比任何一條斜線段都短．關(guān)于射影定理說明如下：設(shè)A為平面α外一點(diǎn)，AO⊥α，AB、AC為任意兩條斜線，O為垂足，則OB和OC分別是AB和AC的射影．則AB和AC分別為Rt△ABO和Rt△ACO的斜邊；由勾股定理可知AB2＝AO2+OB2；AC2＝AO2+OC2；比較上面兩個等式，得還可以得到AB＞AO，AC＞AO．所以，AO過點(diǎn)A向平面α所引線段中最短的一條．第六頁，共十頁，編輯于2023年，星期三（三）直線與平面成角1．定義：（1）平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和平面所成的角．（2）直線和平面垂直——直線與平面所成的角是直角．（3）直線和平面平行或直線在平面內(nèi)——直線與平面所成的角是0°度的角．2．按照定義，在求直線和平面所成的角時，應(yīng)按下述三種情況依次進(jìn)行考慮：（1）直線和平面平行或直線在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角是0°角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角是直角；（3）直線和平面斜交時，直線和平面所在的角是指直線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角．3．斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角．（讓學(xué)生看書3分鐘，加以理解）第七頁，共十頁，編輯于2023年，星期三（四）例題分析1．如圖1-82，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、A1D1的中點(diǎn)，求：（1）D1B1與面AC所成角的余弦值；（2）EF與面A1C1所成的角；（3）EF與面AC所成的角．第八頁，共十頁，編輯于2023年，星期三2．如圖1-83，Rt△ABC的斜邊AB在平面M內(nèi)，AC和BC與M所成的角分別是30°、45°，CD是斜邊AB上的高，求CD與M所成的角．第九頁，共十頁，編輯于2023年，星期三（五）歸納小結(jié)這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面的斜線、射影和直線與平面成