2022高二數(shù)學(xué)上冊(cè)期末考試試卷及答案

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試卷分第Ⅰ卷（挑選題）和第Ⅱ卷（非挑選題）兩部分。共150分.考試時(shí)光120分鐘.

第Ⅰ卷（挑選題共60分）

一、挑選題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分）

1．已知命題p：?x∈R，sinx≤1，則(C)

A．?p：?x∈R，sinx≥1

B．?p：?x∈R，sinx≥1

C．?p：?x∈R，sinx>1

D．?p：?x∈R，sinx>1

2．等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于(B)．

A．160

B．180

C．200

D．220

3．△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分離為a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，則c的值

等于(C)．

A．5

B．13

C．13

D．37

4．若雙曲線x2a2－y2

b

2＝1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，－4)，則此雙曲線的離心率為(D)

A.

73B.54C.43D.53

5．在△ABC中，能使sinA＞

3

2

成立的充分不須要條件是(C)A．A∈?????

0，π3B．A∈?????π3，2π3C．A∈?????π3，π2D．A∈?????π2，5π6

6．△ABC中，假如

Aatan＝

Bbtan＝C

c

tan，那么△ABC是(B)．A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰直角三角形D．鈍角三角形

7.如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，當(dāng)

BF⊥PE時(shí)，AF∶FD的值為(B)

A．1∶2

B．1∶1

C．3∶1

D．2∶1

8．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為(A)

A.

55B.5

3

C.255

D.35

9．當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x＋

1

1

-x≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)．A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]

10．若不等式組??

?

??4≤34≥

30≥

yxyxx＋＋，所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋34分為面積相等的兩部分，則k的值是(A)．

A．

73B．37C．43D．34

11．若關(guān)于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A)

A．a(chǎn)≤－4

B．a(chǎn)≥－4

C．a(chǎn)≥－

12

D．a(chǎn)≤－12

12．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)?x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)＝－2(x－3)2，若函數(shù)y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為(B)

A.?????0，22

B.?????0，33

C.?????0，55

D.?????0，66

解析因?yàn)槎x為R的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)?x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，得f(－1＋2)＝f(－1)－f(1)＝0，即f(1)＝0，故f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期T＝2，圖象以x＝2為對(duì)稱軸，作出f(x)的部分圖象，如圖，

∵y＝loga(x＋1)的圖象與f(x)的圖象至少有三個(gè)交點(diǎn)，即有l(wèi)oga(2＋1)>f(2)＝－2且01，解得a∈?

????

，33。

第Ⅱ卷（挑選題共90分）

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置

13．已知某拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝1，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。x2＝－4y14.若a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b相互垂直，則k的值是______

7

5

__。15．過橢圓

2

2

1164

xy+=內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，則這條弦所在直線的斜率等于________－1

2

16．已知函數(shù)

f(x)＝xα的圖象過點(diǎn)(4,2)，令an＝

1

fn＋1＋fn

，n∈N*。記數(shù)列{an}

的前n項(xiàng)和為Sn，則S2016＝________。2017－1

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證實(shí)過程或演算步驟.解答寫在答題卡的制定區(qū)域內(nèi).

17．(12分)已知a，b，c分離是△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sin2B＝2sinAsinC。

(1)若a＝b，求cosB；

(2)設(shè)B＝90°，且a＝2，求△ABC的面積。

解(1)由sin2B＝2sinAsinC及正弦定理，得b2＝2ac，

∵a＝b，∴a＝2c。由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b2

2ac＝a2

＋14a2

－a22a×12

a

＝1

4

。

(2)由(1)得b2＝2ac?！連＝90°，a＝2，∴a2＋c2＝2ac，∴a＝c＝2，∴S△ABC＝1

2ac

＝1。

18．設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2

＜0，其中a≠0，q：實(shí)數(shù)x滿足?????

x2－x－6≤0，x2

＋2x－8＞0。

(1)若a＝1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若p是q的須要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解(1)由x2－4ax＋3a2＜0，得：(x－3a)(x－a)＜0，當(dāng)a＝1時(shí)，解得1＜x＜3，

即p為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3。

由?????

x2－x－6≤0，x2

＋2x－8＞0。

解得：2＜x≤3，

即q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x≤3。

若p且q為真，則p真且q真，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3。(2)p是q的須要不充分條件，即q推出p，且p推不出q，

設(shè)集合A＝{x|p(x)}；集合B＝{x|q(x)}，則集合B是集合A的真子集，又B＝(2,3]，

當(dāng)a＞0時(shí)，A＝(a,3a)；a＜0時(shí)，A＝(3a，a)。所以當(dāng)a＞0時(shí)，有?

??

??

a≤2，

3＜3a，解得1＜a≤2，

當(dāng)a＜0時(shí)，明顯A∩B＝?，不合題意，

19．(本小題滿分12分)已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)F(2,0)，并且與直線x＝－2相切。

(1)求動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程；

(2)經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且傾斜角等于135°的直線l與軌跡M相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|。

解(1)設(shè)動(dòng)圓圓心P(x，y)。

由于動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)F(2,0)，并且與直線x＝－2相切，

所以點(diǎn)P到定點(diǎn)F(2,0)的距離與到定直線x＝－2的距離相等，

故點(diǎn)P的軌跡是一條拋物線，其焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為x＝－2，設(shè)軌跡方程為y2＝2px(p＞0)，則p

2

＝2，

所以軌跡M的方程為y2＝8x。

(2)軌跡M的焦點(diǎn)(2,0)，直線l的斜率k＝tan135°＝－1，于是其方程為y＝－(x－2)。

由?

????

y＝－x－2，

y2

＝8x，消去y得x2

－12x＋4＝0。

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝12，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16。

20．(12分)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是直角三角形，且PA＝AB＝

AC。又平面QBC垂直于底面ABC。

(1)求證：PA∥平面QBC；

(2)若PQ⊥平面QBC，求銳二面角Q－PB－A的余弦值。解(1)證實(shí)：過點(diǎn)Q作QD⊥BC交BC于點(diǎn)D，由于平面QBC⊥平面ABC。所以QD⊥平面ABC。又PA⊥平面ABC，所以QD∥PA。

而QD?平面QBC，PA?平面QBC，所以PA∥平面QBC。(2)由于PQ⊥平面QBC，所以∠PQB＝∠PQC＝90°。

又PB＝PC，PQ＝PQ，所以△PQB≌△PQC，所以BQ＝CQ。

所以點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，銜接AD，則AD⊥BC，因此AD⊥平面QBC，故四邊形PADQ是矩

形。

分離以AC，AB，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。設(shè)PA＝2a，則Q(a，a,2a)，B(0,2a,0)，P(0,0,2a)。設(shè)平面QPB的法向量為n＝(x，y，z)，由于PQ→＝(a，a,0)，PB→＝(0,2a，－2a)，所以??

?

ax＋ay＝0，2ay－2az＝0，

取n＝(1，－1，－1)。

又平面PAB的一個(gè)法向量為m＝(1,0,0)，設(shè)銳二面角Q－PB－A的大小為θ，

則cosθ＝|cos〈m，n〉|＝m·n|m||n|＝3

3，

即銳二面角Q－PB－A的余弦值等于

33

。21．(本小題滿分12分)若{}na的前n項(xiàng)和為nS，點(diǎn)),(nSn均在函數(shù)y＝xx2

1

232-的圖像上。

（Ⅰ）求數(shù)列{}na的通項(xiàng)公式;na=3n-2（Ⅱ）1

3

+=

nnnaab，nT是數(shù)列{}nb的前n項(xiàng)和，(1)點(diǎn)),(nSn均在函數(shù)y＝xx2

1

232-的圖像上,

∴nS=nn21

232-,

故=-1nS)1(2

1

)1(232nn)2(≥n,…

從而當(dāng)2≥n

nS-1-nS=3n-2,即na=3n-2,

又當(dāng)n=1時(shí),11

1

==Sa,滿足上式

∴na=3n-2

(2)1

3

+=

nnnaab,na=3n-2,∴)13)(23(3+-=

nnbn=1

31

231+-

-nn∴++-+-+-

=...101717141411nT131231+--nn=.1

331311+=+-nn

n

22．(本小題滿分12分)已知橢圓x2＋2y2＝a2(a＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4。

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線y＝k(x－1)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在x軸上的點(diǎn)M(m,0)，使得對(duì)隨意的k∈R，MA→·MB→為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

解(1)設(shè)橢圓的短半軸為b，半焦距為c，則b2

＝a2

2，由c2＝a2－b2，得c2＝a2