2023年天津新高考數(shù)學(xué)試題及答案解析

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件3.若，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.4.函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C D.5.已知函數(shù)的一條對稱軸為直線，一個周期為4，則的解析式可能為（）A. B.C. D.6.已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為（）A.3 B.18 C.54 D.1527.調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是（）A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是8.在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（）A. B. C. D.9.雙曲線的左、右焦點分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為_________．11.在的展開式中，項的系數(shù)為_________．12.過原點的一條直線與圓相切，交曲線于點，若，則的值為_________．13.甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為_________；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為_________．14.在中，，，點為的中點，點為的中點，若設(shè)，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．15.若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍為_________．三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，角所對的邊分別是．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求．17.三棱臺中，若面，分別是中點.（1）求證：//平面；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離．18.設(shè)橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．（1）求橢圓方程及其離心率；（2）已知點是橢圓上一動點（不與端點重合），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．19.已知等差數(shù)列，．（1）求的通項公式和．（2）已知為等比數(shù)列，對于任意，若，則，（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；（Ⅱ）求的通項公式及其前項和．20已知函數(shù)．（1）求曲線在處切線的斜率；（2）當(dāng)時，證明：；（3）證明：．答案解析一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對集合B求補集，應(yīng)用集合的并運算求結(jié)果；【詳解】由，而，所以.故選：A2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.【詳解】由，則，當(dāng)時不成立，充分性不成立；由，則，即，顯然成立，必要性成立；所以是的必要不充分條件.故選：B3.若，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D4.函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號排除選項，即得答案.【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當(dāng)時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D5.已知函數(shù)的一條對稱軸為直線，一個周期為4，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在處的函數(shù)值，排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數(shù)解析式.【詳解】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項中，B選項中，C選項中，D選項中，排除選項CD，對于A選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A，對于B選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，故選：B.6.已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為（）A.3 B.18 C.54 D.152【答案】C【解析】【分析】由題意對所給的遞推關(guān)系式進行賦值，得到關(guān)于首項、公比的方程組，求解方程組確定首項和公比的值，然后結(jié)合等比數(shù)列通項公式即可求得的值.【詳解】由題意可得：當(dāng)時，，即，①當(dāng)時，，即，②聯(lián)立①②可得，則.故選：C.7.調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是（）A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是【答案】C【解析】【分析】根據(jù)散點圖的特點可分析出相關(guān)性的問題，從而判斷ABC選項，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可以判斷D選項.【詳解】根據(jù)散點的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項錯誤散點的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項錯誤，C選項正確；由于是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是，D選項錯誤故選：C8.在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B9.雙曲線的左、右焦點分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由點到直線的距離公式求出，設(shè)，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.【詳解】如圖，因為，不妨設(shè)漸近線方程為，即，所以，所以設(shè),則，所以，所以.因為,所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為_________．【答案】##【解析】【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運算法則，分子分母同時乘以，然后計算其運算結(jié)果即可.【詳解】由題意可得.故答案為：.11.在的展開式中，項的系數(shù)為_________．【答案】【解析】【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式，令確定的值，然后計算項的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式，令可得，，則項的系數(shù)為.故答案為：60.12.過原點的一條直線與圓相切，交曲線于點，若，則的值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓和曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出．【詳解】易知圓和曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當(dāng)時，同理可得．故答案為：．13.甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為_________；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為_________．【答案】①.②.##【解析】【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；根據(jù)古典概型的概率公式可求出第二個空．【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為，所以總數(shù)為，所以甲盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；甲盒中黑球個數(shù)，白球個數(shù)為；甲盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件，所以，；記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件，黑球總共有個，白球共有個，所以，．故答案為：；．14.在中，，，點為的中點，點為的中點，若設(shè)，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．【答案】①.②.【解析】【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合為的中點進行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因為，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，則時，有最大值.故答案為：；.15.若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時，，即，若時，，此時成立；若時，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時，，此時成立．（2）當(dāng)時，，即，若時，，顯然不成立；若時，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時，，顯然不成立；綜上，當(dāng)時，零點為，；當(dāng)時，零點為，；當(dāng)時，只有一個零點；當(dāng)時，零點為，；當(dāng)時，只有一個零點；當(dāng)時，零點為，；當(dāng)時，零點為．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個零點時，且．故答案：．【點睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點）的個數(shù)，從而解出．三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，角所對的邊分別是．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【小問1詳解】由正弦定理可得，，即，解得：；【小問2詳解】由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．【小問3詳解】由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，故．17.三棱臺中，若面，分別是中點.（1）求證：//平面；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進行求解；（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解【小問1詳解】連接.由分別是的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.【小問2詳解】過作，垂足為，過作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是【小問3詳解】[方法一：幾何法]過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點到平面的距離是.[方法二：等體積法]輔助線同方法一.設(shè)點到平面的距離為.，.由，即.18.設(shè)橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．（1）求橢圓方程及其離心率；（2）已知點是橢圓上一動點（不與端點重合），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【答案】（1）橢圓的方程為，離心率為.（2）.【解析】【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達定理可得，從而得到點和點坐標(biāo).由得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【小問1詳解】如圖，由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.【小問2詳解】由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.19.已知是等差數(shù)列，．（1）求的通項公式和．（2）已知為等比數(shù)列，對于任意，若，則，（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；（Ⅱ）求的通項公式及其前項和．【答案】（1），；（2）(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項和為.【解析】【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項公式，然后確定所給的求和公式里面的首項和項數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式計算可得.(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)時，，取，當(dāng)時，，取，即可證得題中的不等式；(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論猜想，然后分別排除和兩種情況即可確定數(shù)列的公比，進而可得數(shù)列的通項公式，最后由等比數(shù)列前項和公式即可計算其前項和.【小問1詳解】由題意可得，解得，則數(shù)列的通項公式為，注意到，從到共有項，故