2021年河南省新鄉(xiāng)市外國(guó)語學(xué)校高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2021年河南省新鄉(xiāng)市外國(guó)語學(xué)校高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知直線⊥平面，直線m，給出下列命題：①∥

②∥m.③∥m

④∥，其中正確的命題是（

）A．①③

B．②③④

C．②④

D．①②③參考答案：A2.已知命題：拋物線的準(zhǔn)線方程為；命題：若函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱．則下列命題是真命題的是

A．

B.

C.

D.參考答案：D略3.已知是定義在R上的函數(shù),都有,若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且,則(

)A.0

B.2012

C.

D.2013參考答案：B4.（5分）（2015?欽州模擬）某企業(yè)在甲、乙、丙、丁四個(gè)城市分別有150個(gè)、120個(gè)、190個(gè)、140個(gè)銷售點(diǎn)．為了調(diào)查產(chǎn)品的質(zhì)量，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙城市有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取8個(gè)調(diào)查，記這項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次為（）A．分層抽樣法、系統(tǒng)抽樣法B．分層抽樣法、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法、分層抽樣法D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法、分層抽樣法參考答案：B【考點(diǎn)】：分層抽樣方法．【專題】：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】：分別根據(jù)分層抽樣，系統(tǒng)抽樣和簡(jiǎn)單抽樣的定義進(jìn)行判斷即可．解：①由于四個(gè)城市銷售點(diǎn)是數(shù)量不同，可能存在差異比使用較明顯，故①應(yīng)用分層抽樣．②由于丙成立銷售點(diǎn)比較比較少，可以使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣即可．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查隨機(jī)抽樣的應(yīng)用，利用三種抽樣的定義是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．5.若等差數(shù)列滿足，則的最大值為A．

B．

C．

D．參考答案：B，有解6.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，又，所以，，1－0.32＝0.687.已知，則下列不等式不正確的是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：答案:B8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，給出下列命題：①當(dāng)時(shí)，；

②函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；

③的解集為，

④，都有．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：C9.若集合，，則=(A)

（B）

（C）

（D）

參考答案：A略10.若集合，則等于A．

B

C

DR參考答案：解法1利用數(shù)軸可得容易得答案B.解法2（驗(yàn)證法）去X=1驗(yàn)證.由交集的定義，可知元素1在A中，也在集合B中，故選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則

參考答案：012.函數(shù)的最小正周期T=

參考答案：13.已知數(shù)列n∈N*，n≥2的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n﹣1（n∈N*），則a1=

；數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

．參考答案：2，.【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】本題直接利用數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)的關(guān)系，可得到本題結(jié)論．【解答】解：∵Sn=n2+2n﹣1，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1+2﹣1=2，當(dāng)n≥2時(shí)，∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣1﹣=2n+1，∵當(dāng)n=1時(shí)，a1=﹣2+1=3≠2，∴an=，故答案為：2，，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推式的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）進(jìn)行解答，此題難度不大，很容易進(jìn)行解答．14.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)P在此正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且PA=r，記點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為f（r），則關(guān)于r的方程的解集為．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】根據(jù)條件確定P的軌跡，利用軌跡對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：P的軌跡為以A為球心，PA為半徑的球面與正方體的交線．當(dāng)0＜r≤1時(shí)，f（r）=3×=，當(dāng)r∈（1，]時(shí)，軌跡長(zhǎng)度由減小到增加，之后逐漸減小，由于f（1）=f（）=，∴關(guān)于r的方程的解集為，故答案為．15.直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

．參考答案：2略16.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸中，曲線C2的方程為，則C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

。參考答案：2略17.如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出x的值為

．參考答案：23【分析】根據(jù)題意，模擬程序框圖的運(yùn)行過程，得出該程序運(yùn)行后輸出的S是什么．【解答】解：模擬程序框圖的運(yùn)行過程，知第1次循環(huán)，x=5，n=2；第2次循環(huán)，x=11，n=3；第3次循環(huán)，x=23，n=4；退出循環(huán)，輸出x=23．故答案為：23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)果，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)如圖，四棱錐P－ABCD的底面為矩形，且AB＝，BC＝1，E，F(xiàn)分別為AB，PC中點(diǎn).（1）求證：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：平面PAC⊥平面PDE.參考答案：證明：（1）方法一：取線段PD的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，AM．因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)，所以FM∥CD，且FM＝CD．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，所以EA∥CD，且EA＝CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四邊形AEFM為平行四邊形．所以EF∥AM．

………5分又AMì平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．

………2分方法二：連結(jié)CE并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于N，連結(jié)PN．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．

又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．

又F為PC的中點(diǎn)，所以EF∥NP．…………5分又NPì平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．

……………2分方法三：取CD的中點(diǎn)Q，連結(jié)FQ，EQ．在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四邊形AEQD為平行四邊形，所以EQ∥AD．又ADì平面PAD，EQ?平面PAD，所以EQ∥平面PAD．

………………2分因?yàn)镼，F(xiàn)分別為CD，CP的中點(diǎn)，所以FQ∥PD．又PDì平面PAD，F(xiàn)Q?平面PAD，所以FQ∥平面PAD．

又FQ，EQì平面EQF，F(xiàn)Q∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．……………3分因?yàn)镋Fì平面EQF，所以EF∥平面PAD．

………………2分（2）設(shè)AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因?yàn)锳B＝BC，E為AB的中點(diǎn).所以＝＝．

又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．

又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的內(nèi)角和為180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．

………2分因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABCD因?yàn)镈Eì平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，

……3分

又DEì平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．…………

2分說明：第一問，方法1和2，下結(jié)論時(shí)：不交代平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，一律扣2分；方法3，直接由線線平行→面面平行，扣3分；

第二問，不用平幾證明DE⊥AC，扣2分；略19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，0），B（4，3），若A，B，C三點(diǎn)按順時(shí)針方向排列構(gòu)成等邊三角形ABC，且直線BC與x軸交于點(diǎn)D．（1）求cos∠CAD的值；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】（1）由題意畫出圖象，設(shè)∠BAD=α、∠CAD=β，由三角函數(shù)的定義求出cosα、sinα的值，由β=60°﹣α和兩角差的余弦函數(shù)求出cosβ的值，可得答案；（2）設(shè)點(diǎn)C（x，y），由（1）和兩角差的正弦函數(shù)求出sinβ，由三角函數(shù)的定義求出x和y，可得答案．【解答】解：（1）設(shè)∠BAD=α，∠CAD=β，且AB=5，由三角函數(shù)的定義得，，故cosβ=cos（60°﹣α）═，即．（2）設(shè)點(diǎn)C（x，y）．由（1）知sinβ=sin（60°﹣α）=，因?yàn)锳C=AB=5，所以，，故點(diǎn)．20.已知函數(shù)f（x）=xlnx．（l）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（l）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）利用不等式恒成立，進(jìn)行參數(shù)分離，利用導(dǎo)數(shù)即可求出實(shí)數(shù)m的最大值．解答：解（1）∵f（x）=xlnx，∴f'（x）=lnx+1，∴f'（x）＞0有，∴函數(shù)f（x）在上遞增，f'（x）＜0有，∴函數(shù)f（x）在上遞減，∴f（x）在處取得極小值，極小值為．（2）∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3即mx≤2x?lnx+x2+3，又x＞0，∴，令，令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＜0，函數(shù)h（x）在（0，1）上遞減當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，函數(shù)h（x）在（1，+∞）上遞增，∴h（x）min=h（1）=4．∴m≤4，即m的最大值為4．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和極值的求解，利用函數(shù)單調(diào)性，極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決不等式恒成立問題的基本方法．21.已知函數(shù)，是的一個(gè)極值點(diǎn)．（Ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）.

∵是的一個(gè)極值點(diǎn)，∴是方程的一個(gè)根，解得.

2分令，則，解得或.

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.

4分

（Ⅱ）∵當(dāng)時(shí)，時(shí)，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

6分∴是在區(qū)間[1，3]上的最小值，且.