一元二次不等式及其解法習(xí)題課課件人教版必修

3．2.2一元二次不等式及其解法習(xí)題課典題例證·

技法歸納題型探究題型一 解簡單的分式不等式例1解不等式：(1)x＋21－x＜0；(2)x＋1x－2≤2.x＋2x＋2x

1【解】

(1)由1－

＜0，得x－

＞0.此不等式等價(jià)于(x＋2)(x－1)＞0.∴原不等式的解集為{x|x＜－2

或x＞1}．(2)法一：移項(xiàng)，得x＋1x－2－2≤0，－x＋5

x－52左邊通分并化簡，得

x－2

≤0，即x－

≥0，它的同解不等式為(x－2)(x－5)≥0，x－2≠0，∴x＜2

或x≥5.∴原不等式的解集為{x|x＜2

或x≥5}．法二：原不等式可化為x－5x－2≥0.此不等式等價(jià)于x－5≥0，x－2＞0，①或x－5≤0，x－2＜0.②解①，得x≥5.解②，得x＜2.∴原不等式的解集為{x|x＜2

或x≥5}．【名師點(diǎn)評】

(1)解分式不等式時(shí)，要注意先移項(xiàng)，使右邊化為零，要注意含等號的分式不等式的分母不為零，如本題(2)解法二．a(chǎn)x＋b(2)cx＋d＞0?(ax＋b)(cx＋d)＞0，如本題(1)的解法．a(chǎn)x＋b(3)

cx＋d

≥0?(ax＋b)(cx＋d)≥0，cx＋d≠0，如本題(2)解法一．(4)在解分式不等式時(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)為不分類討論分母的符號直接去分母，如本題(2)中易錯(cuò)解為x＋1x－2≤2?x＋1≤2(x－2)．變式訓(xùn)練2x－11．不等式

x＋3

＞1

的解集是

．2x－1

x－4x

3解析：原不等式等價(jià)于x＋3

－1＞0，即＋＞0?(x－4)(x＋3)＞0?x＜－3

或x＞4.答案：{x|x＜－3

或x＞4}題型二 不等式中的恒成立問題關(guān)于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解】

①若

a2－1＝0,

即

a＝±1

時(shí)，若

a＝1，不等式化為－1＜0，解集為

R；若a＝－1，不等式變?yōu)?x－1＜0，解集為{x|x例21＜

}．2∴a＝1

時(shí)滿足條件．②若a2－1≠0，即a≠±1

時(shí)，原不等式解集為R

的條件是a2－1＜0，2

2Δ＝[－(a－1)]

＋4(a

－1)＜0，3解得－＜a＜1.5綜上所述，符合條件的實(shí)數(shù)a

的取值范圍是(－35，1]．當(dāng)a≠0

時(shí)【名師點(diǎn)評】(1)不等式ax2＋bx＋c＞0

的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a＝0

時(shí)，

b＝0，c＞0；a＞0Δ＜0.當(dāng)a≠0

時(shí)，(2)不等式

ax2＋bx＋c＜0

的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a＝0

時(shí)，b＝0，c＜0；a＜0Δ＜0.類似地有f(x)≤a

恒成立?[f(x)]max≤a；f(x)≥a恒成立?[f(x)]min≥a.互動(dòng)探究2．本例若把不等式改為“(a2

－1)x2

－(a－1)x＋1＞0”，求a的取值范圍．解：①當(dāng)a2－1＝0，即a＝±1

時(shí)，若a＝1，則原不等式化為1＞0，恒成立．若a＝－1，則原不等式化為2x＋1＞0，12即x＞－，不符合題意，舍去．②當(dāng)a2－1≠0，即a≠±1

時(shí)，原不等式解集為R

的條件是a2－1＞02

2Δ＝[－(a－1)]

－4(a

－1)＜0’53解得a＜－或a＞1.綜上所述，a

的取值范圍是(－∞，－5

∪[1，3)＋∞).題型三 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用例3

(本題滿分12分)國家為了加強(qiáng)對煙酒生產(chǎn)的宏觀調(diào)控，實(shí)行征收附加稅政策，現(xiàn)知某種酒每瓶70元，不加收附加稅時(shí)，每年大約產(chǎn)銷100萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅R元(叫做稅率R%)，則每年的銷售收入將減少10R萬瓶，要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營中所收附加稅金不少于112萬元，問R應(yīng)怎樣確定？【思路點(diǎn)撥】

解決該問題要明確關(guān)系式：銷量×單位＝收入；收入×稅率＝稅金．【解】

設(shè)產(chǎn)銷量為每年x萬瓶，則銷售收入為每年70x萬元，從中征收的稅金為70x·R%萬元，其中x＝100－10R.

3分由題意，得70(100－10R)R%≥112，整理得R2－10R＋16≤0.

6分∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為R1＝2，R2＝8.

9分然后畫出二次函數(shù)y＝R2－10R＋16的圖象，由圖象得不等式的解集為{R|2≤R≤8}.

10分即當(dāng)2≤R≤8時(shí)，每年在此項(xiàng)經(jīng)營中所收附加稅金不少于112萬元.名師微博正確列出不等式是關(guān)鍵.12分【名師點(diǎn)評】

解不等式應(yīng)用題的步驟：(1)認(rèn)真審題，抓住問題中的關(guān)鍵詞，找準(zhǔn)不等關(guān)系；引入數(shù)學(xué)符號，用不等式表示不等關(guān)系，使其數(shù)學(xué)化；求解不等式；

(4)還原實(shí)際問題．變式訓(xùn)練

3．汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個(gè)重要因素.在一個(gè)限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時(shí)剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過12

m，乙車的剎車距離略超過10

m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝

0.05x＋0.005x2.問：甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象？解：由題意知，對于甲車，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1200＞0，解得x＞30或x＜－40(不合實(shí)際意義，舍去)，這表明甲車的車速超過30km/h.但根據(jù)題意剎車距離略超過12m，由此估計(jì)甲車車速不會(huì)超過限速40

km/h.對于乙車，有0.05x＋0.005x2

＞10，即x2

＋10x－2000＞0，解得x＞40或x＜－50(不合實(shí)際意義，舍去)，這表明乙車的車速超過

40

km/h，超過規(guī)定限速．綜上，甲車無超速現(xiàn)象，乙車有超速現(xiàn)象.備選例題1．解不等式：x2－4x＋123x

－7x＋2＜1.解：將原不等式移項(xiàng)，因式分解得(2x－1)(x－1))(3x－1)(x－2

＞0?(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2＞0，在數(shù)軸上標(biāo)出因式的根并畫出示意圖，可得原

不等式的解集為xx＜1312或＜x＜1或x＞2.2．若不等式x2－8x＋202mx

＋2(m＋1)x＋9m＋4＞0

對任意實(shí)數(shù)x

恒成立，求m

的取值范圍．解：∵x2－8x＋20＝(x－4)2＋4＞0，∴要使不等式x2－8x＋202mx

＋2(m＋1)x＋9m＋4＞0

對任意實(shí)數(shù)

x

恒成立，只要mx2＋2(m＋1)x＋9m＋4＞0

對于任意實(shí)數(shù)x

恒成立．①當(dāng)m＝0

時(shí)，2x＋4＞0，x＞－2，此時(shí)原不等式只對于x＞－2

的實(shí)數(shù)x

成立，∴m＝0

不符合題意．②當(dāng)m≠0

時(shí)，要使不等式對任意實(shí)數(shù)x

恒成立，須m＞0Δ＜014，解得m＞..∴m

的取值范圍是mm＞143．某工廠生產(chǎn)商品M，若每件定價(jià)80元，則每年可銷售80萬件，稅務(wù)部門對市場銷售的商品要征收附加費(fèi),為了既增加國家收入,又有利于市場活躍，必須合理確定征收的稅率．據(jù)市場調(diào)查，若政府對商品M征收的稅率為P%(即每百元征收P元)時(shí)，每年的銷售量減少10P萬件，據(jù)此，問：若稅務(wù)部門對商品M每年所收稅金不少于

96萬元，求P的取值范圍；在所收稅金不少于96萬元的前提下，要讓廠家獲得最大的銷售金額,應(yīng)如何確定P值？若僅考慮每年稅收金額最高，又應(yīng)如何確定P值？解：稅率為P%時(shí),銷售量為(80－10P)萬件，即f(P)＝80(80－10P)，(1)由稅金為g(P)＝80(80－10P)·P%，其中0<P<8.80(80－10P)·P%≥96，0<P<8，解得2≤P≤6.即P

的取值范圍是[2,6]．(2)∵f(P)＝80(80－10P)(2≤P≤6)為減函數(shù)，∴當(dāng)P＝2

時(shí)，f(2)＝4800(萬元)．故要讓廠家獲得最大銷售金額，P

值應(yīng)為2.(3)∵0<P<8，g(P)＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2