拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)

拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)1、焦點(diǎn)弦定義：過(guò)焦點(diǎn)的直線割拋物線所成的相交弦。2、焦點(diǎn)弦公式：設(shè)兩交點(diǎn)A（X1，人）B（x2,y2），可以通過(guò)兩次焦半徑公式得到:當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，焦點(diǎn)弦只和兩焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)：（若p>0）12拋物線y2=嘰AB=p+(x1+x2)拋物線y2=-2px，AB=p-(x1+x2人12當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，焦點(diǎn)弦只和兩焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)有關(guān)：（若P>0）AB=p-(人+y2八拋物線x2=2py，AB=p+(y+AB=p-(人+y2八123、通徑：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的相交弦+直接應(yīng)用拋物線定義，得到通徑：d=2p一4、焦點(diǎn)弦常用結(jié)論：結(jié)論3：若直線L的傾斜角為0，則弦長(zhǎng)IAB=呂兀證：（1）若°4、焦點(diǎn)弦常用結(jié)論：結(jié)論3：若直線L的傾斜角為0，則弦長(zhǎng)IAB=呂兀證：（1）若°=-時(shí)，直線L的斜率不存在，此時(shí)AB為拋物線的通徑，「.lABl=2p.??結(jié)論得證y=k(x-令3y2-半y-p2=0?y2=2pxy+y=絲1 2ky1y2=-p2■4p2 2p\o"CurrentDocument"+4p2= 3\k2 sin0結(jié)論4：過(guò)焦點(diǎn)的弦中通徑長(zhǎng)最小IAB=|y1-y2sin0sin292psin20<1?二3>2p?AB的最小值為2p,即過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)中通徑長(zhǎng)最短.sm20結(jié)論4：S2AoABAB=牛為定值）-OF-BF-OF-BF-sine+20巾AF|-sin9S=S +S ：1一―—AOAB AOBF A0AF2=2|OF|-(|AFI+|BF|)sine=1|OF|-|AB|-sine=1-彳--sine結(jié)論5：以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切=P22sineS2AOABAB=P3=~8證：設(shè)M為AB的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線AA1，過(guò)B點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線BB^

過(guò)M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線MM1，由梯形的中位線性質(zhì)和拋物線的定義知|MM]|=IAA」+IBB11結(jié)論6：連接AF、BF則AF丄BF1111AF+BFAB=〒故結(jié)論得證?/AA二AFZAAF二ZAFA?/AA//OF.ZAAF二ZAFO.ZAFO=ZAFA11111111同理ZBFO=ZBFB.ZAFB=90° .?.AF丄BF111111結(jié)論7：（1）AM丄BM（2）MF丄AB （3）|M￡卩=|AFMBF|(4)設(shè)人“‘與A1F相交于H,M,B與FB,相交于Q則Mi,Q,F,11111H四點(diǎn)共圓(5)[AM】I2+|M]B卩二4|MM卩證：由結(jié)論（6）知M在以AB為直徑的圓上.AM丄BM111?AAFB為直角三角形，M是斜邊AB的中點(diǎn)11111???AM=MF:.ZMFA=ZMAF?/ZAAF=ZAFA111111111ZAAF+ZFAM=ZAAM1111190°???ZAFA+ZAFM=90。MF丄AB1111???|M]F|2=|AF|?|BF|?AM丄BM:.ZAMB=90°又?/AF丄BF.ZA1FB1=90° 所以M/Q，F(xiàn),H四點(diǎn)共圓，|AMJ2+|M1B2=|AB|（AF|+|BF|）=（AA|+|結(jié)論8： （1）A、、B1三點(diǎn)共線1（3） 設(shè)直線AO與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B1，則BB1平行于X軸（4） 設(shè)直線BO與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為A1，則A^平行于X軸11MMJBBi（2）B，O，A1三點(diǎn)共線=4|MM]I2證：因?yàn)閗=―1 1=——,k塑yi2poAxoB1絲，而yy=_p2p 1 22p所以k=oA_p2y聖=kp oB1所以三點(diǎn)共線。同理可征（2）（3）（4）結(jié)論9：112+二一\FA\ |FB|p結(jié)論9：證：過(guò)A點(diǎn)作AR垂直X軸于點(diǎn)R，過(guò)B點(diǎn)作BS垂直X軸于點(diǎn)S，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為E,因?yàn)橹本€L的傾斜角為0則ER=\EF