橢圓及其標準方程

橢圓及其標準方程第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三2.1.1橢圓及其標準方程天體的運行第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三生活中的橢圓（二）突出認知

、建構概念第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三如何精確地設計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？生活中的橢圓一.課題引入：橢圓的畫法第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三橢圓及其標準方程F1F2第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三動畫演示（三）注重本質(zhì)、理解概念第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三一、橢圓的定義：

平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.問題1：當常數(shù)等于|F1F2|時，點M的軌跡是什么？問題2：當常數(shù)小于|F1F2|時，點M的軌跡是什么？線段F1F2軌跡不存在第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三繩長等于兩定點間距離即2a=2c時,繩長小于兩定點間距離即2a<2c時，MF1F2F1F2思考為什么要求（三）注重本質(zhì)、理解概念軌跡為線段；無軌跡。第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三1、橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。

這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。M幾點說明：1、F1、F2是兩個不同的定點；2、M是橢圓上任意一點，且|MF1|+|MF2|=常數(shù)；3、通常這個常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c（？）；4、如果2a=2c，則M點的軌跡是線段F1F2.5、如果2a<2c，則M點的軌跡不存在.（由三角形的性質(zhì)知）

下面我們來求橢圓的標準方程.第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三（2）動點P到兩個定點F1（-4，0）、F2（4，0）的距離之和為不小于8，則P點的軌跡為（）

A、橢圓 B、線段F1F2

C、直線F1F2D、不能確定課堂練習1

（1）動點P到兩個定點F1（-4，0）、F2（4，0）的距離之和為8，則P點的軌跡為（）

A、橢圓 B、線段F1F2 C、直線F1F2D、不能確定B第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三?探討建立平面直角坐標系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy2.求橢圓的方程：原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；

(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.)(對稱、“簡潔”)第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三OXYF1F2M如圖所示：F1、F2為兩定點，且|F1F2|=2c，求平面內(nèi)到兩定點F1、F2距離之和為定值2a（2a>2c)的動點M的軌跡方程。

解：以F1F2所在直線為X軸，F(xiàn)1F2

的中點為原點建立平面直角坐標系，則焦點F1、F2的坐標分別為(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)

設M（x,y)為所求軌跡上的任意一點，則:|MF1|+|MF2|=2a第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因為2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時除以a2b2得：(a>b>0)這個方程叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在x軸上。第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三aA1yOF1F2xB2B1A2cb三、①橢圓方程的幾何意義：第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三如果橢圓的焦點在y軸上，焦點是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎樣呢？②橢圓的第二種形式：1oFyx2FM第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三

圖形方程焦點F(±c，0)在Ｘ軸上F(0，±c)在Ｙ軸上a,b,c之間的關系c2=a2-b2P={M||MF1|+|MF2|=2a｝(2a>2c>0)定義12yoFFMx1oFyx2FM四、兩類標準方程的對照表：注:哪個分母大，焦點就在相應的哪條坐標軸上！第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)橢圓的標準方程的再認識：（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（3）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（4）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（2）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三例１寫出適合下列條件的橢圓的標準方程(1)a=4，b=1，焦點在x

軸上；

(2)a=4，b=1，焦點在坐標軸上；

或五、數(shù)學應用：第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三例2、求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩焦點的坐標分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于10。(2)兩焦點的坐標分別是（-2，0）、（2，0），且橢圓經(jīng)過點P

。第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三(1)兩焦點的坐標分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于10。解：因為橢圓的焦點在X軸上，所以可設它的方程為：2a=10，2c=8即a=5，c=4故b2=a2-c2=52-42=9所以橢圓的標準方程為：第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三(2)兩焦點的坐標分別是（-2，0）、（2，0），且橢圓經(jīng)過點P。解：因為橢圓的焦點在X軸上，所以可設它的方程為：由橢圓的定義可知：又因c=2，所以橢圓的標準方程為：故b2=a2-c2=10-22=6第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三課堂練習2：1.口答：下列方程哪些表示橢圓？

若是,則判定其焦點在何軸？并指明，寫出焦點坐標.?第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；探究與互動：析：方程表示圓需要滿足的條件：第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；②表示一個橢圓；探究與互動：析：方程表示一個橢圓需要滿足的條件：第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；②表示一個橢圓；探究與互動：析：方程表示一個橢圓需要滿足的條件：第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；②表示一個橢圓；③表示焦點在x軸上的橢圓。探究與互動：析：表示焦點在x軸上的橢圓需要滿足的條件：第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三解題感悟：方程表示橢圓時要看清楚限制條件，焦點在哪個軸上。第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三練習3：若方程4x2+ky2=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，求k的取值范圍。∵方程表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓解之得：0<k<4∴k的取值范圍為0<k<4。第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三例3、過橢圓的一個焦點的直線與橢圓交于A、B兩點，求的周長。yxoAB第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三∵|AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,∴|AB|+|AC|=12>|BC|,∴點A的軌跡是以B?C為焦點的橢圓(除去與x軸的交點).且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得a2=36,b2=20.故點A的軌跡方程是

(y≠0).例4:已知△ABC的一邊BC長為8,周長為20,求頂點A的軌跡方程.解:以BC邊所在直線為x軸,BC中點為原點,建立如右圖所示的直角坐標系,則B?C兩點的坐標分別為(-4,0)?(4,0).定義法第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三練習：已知A(－1,0),B(1,0)，線段CA、AB、CB的長成等差數(shù)列，則點C的軌跡方程是_____________.x2/4+y2/3=1第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三橢圓及其標準方程(2)第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三分母哪個大，焦點就在哪個軸上平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡標準方程不同點相同點圖形焦點坐標定義a、b、c的關系焦點位置的判斷xyF1F2POxyF1F2PO復習舊知第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期三例1求焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點的橢圓的標準方程。x2/15+y2/5=1分析一：當焦點在x軸上時，設方程x2/a2+y2/b2=1

當焦點在x軸上時，設方程