微積分基本概念

微積分基本概念第一頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二推廣一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第二頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束多元函數(shù)的基本概念第三頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)椤Ｒ驗(yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集E

及一點(diǎn)

P:若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對(duì)點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E

的外點(diǎn);則稱P為E

的邊界點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的外點(diǎn),顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,E

的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.第六頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)

聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的

,點(diǎn)P

的去心機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束鄰域內(nèi)總有E

中的點(diǎn),則稱P

是E

的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點(diǎn))第七頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二D(3)開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開(kāi)集；若點(diǎn)集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域

,簡(jiǎn)稱區(qū)域;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束。。

E

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界,記作E;第八頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二例如，在平面上開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第九頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二

整個(gè)平面點(diǎn)集是開(kāi)集，是最大的開(kāi)域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束o

對(duì)區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點(diǎn)PD與某定點(diǎn)A的距離APK,則稱

D

為有界域,界域

.否則稱為無(wú)第十頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第k

個(gè)坐標(biāo).記作即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一個(gè)點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.第十一頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二的距離記作中點(diǎn)

a

的

鄰域?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束規(guī)定為與零元O

的距離為第十二頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十三頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二二：

二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．第十四頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二例如,二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說(shuō)明:

二元函數(shù)z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球第十五頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1

求