1-3一維勢箱1課件

第三節(jié)

箱中粒子的Schr?dinger方程及其解教四220?2011.09Chapter1這一節(jié)在量子力學(xué)的基本假設(shè)的基礎(chǔ)上，以一維勢箱為例，說明如何用量子力學(xué)方法處理微觀體系的步驟，在討論中所獲得的信息可幫助了解原子、分子內(nèi)的電子運(yùn)動。

注意：如何確定勢能函數(shù)，如何考慮界條件，得到有關(guān)“量子化”的信息教四220?2011.09Chapter1一、一維勢箱模型及Schr?dinger方程IIIIIImΨ=0V=∞V=0Ψ=0V=∞0

l

xΨ=？一維無限深勢阱教四220?2011.09Chapter100＜X＜l

∞X≤0和X≥

l

一維勢箱數(shù)學(xué)表達(dá)式V=教四220?2011.09Chapter1

一個質(zhì)量為m的粒子在一維X方向上運(yùn)動，局限在X=0到X=l

之間。在此范圍內(nèi)（Ⅱ區(qū)）V=0，但在邊界和區(qū)域外面V=∞。由于外面勢能過大，粒子跑不出去，即：粒子在Ⅰ、Ⅲ區(qū)內(nèi)出現(xiàn)的幾率為零，Ψ=0。這樣的體系稱為一維勢箱，是一個抽象的模型。但可描述微觀體系基本運(yùn)動形式-平動等體系。一維勢箱模型教四220?2011.09Chapter1勢箱模型在化學(xué)中的應(yīng)用教四220?2011.09Chapter1勢箱模型在化學(xué)中的應(yīng)用教四220?2011.09Chapter1

箱外Ψ=0

無需解Schr?dinger方程

箱內(nèi)V=0

Ψ需解Schr?dinger方程得到

能量算符為：

一維勢箱中運(yùn)動的粒子教四220?2011.09Chapter1一維勢箱中粒子的Schr?dinger方程教四220?2011.09Chapter1二、解Schr?dinger方程

Schr?dinger方程是二階常系數(shù)線性齊次微分方程（二階齊次方程）。其通解為：由于Ψ是合格波函數(shù)，故Ψ必是單值、連續(xù)的?！嘁笤谙鋬?nèi)、箱外的波函數(shù)Ψ在邊界處相等。教四220?2011.09Chapter1∵

sin（0）=0cos（0）≠

0

∴A=0

（A≠0那部分解不符合邊界條件，舍去）即，邊界條件為：解Schr?dinger方程教四220?2011.09Chapter1因此B≠0如果B=0

則意味著Ψ到處恒等于0，不是非零解。解Schr?dinger方程教四220?2011.09Chapter1則

n=1，2，3，…注意：n≠0，否則E=0，箱中處處Ψ=0，失去意義。n也不為負(fù)數(shù)，習(xí)慣上只取正數(shù)。稱n為量子數(shù)。將E代回Ψ式中：解Schr?dinger方程教四220?2011.09Chapter1

由波函數(shù)可看出，n為負(fù)整數(shù)與正整數(shù)時是一樣的，只相當(dāng)于B換了個負(fù)號（Ψ與CΨ表示相同狀態(tài)），不是獨(dú)立解，所以n只取正整數(shù)。而且盡管數(shù)學(xué)上允許n=0，但物理上要求n≠0，若n=0Ψ≡0，粒子在全部空間出現(xiàn)幾率為零的Ψ是不合理的。

∴

n=1，2，3，…解Schr?dinger方程教四220?2011.09Chapter1由歸一化條件

解Schr?dinger方程教四220?2011.09Chapter1解Schr?dinger方程教四220?2011.09Chapter1Schr?dinger方程的解

量子力學(xué)根據(jù)品優(yōu)函數(shù)的單值性、連續(xù)性以及一維勢箱的邊界條件、歸一化條件得到Schr?dinger方程的解：教四220?2011.09Chapter1一維勢箱中粒子的波函數(shù)及幾率密度教四220?2011.09Chapter1一維勢箱中粒子的能級教四220?2011.09Chapter1三、結(jié)果討論

1．粒子運(yùn)動狀態(tài)的多樣性

一維勢箱中粒子的能量En和波函數(shù)Ψn都由量子數(shù)n確定，每一個n值決定一個能量En和一個波函數(shù)Ψn，描述一個運(yùn)動狀態(tài)。n可以取多個值，體系就有多種運(yùn)動狀態(tài)ψ1，ψ2，…ψn，每一個定態(tài)ψ代表一種粒子的存在狀態(tài)，以本征值E來標(biāo)志。全部En值組成系統(tǒng)的能譜。教四220?2011.09Chapter1

2．

能量量子化：由能量公式可知E只能取分立的數(shù)值。且量子化條件是粒子受到束縛（邊界條件）而引起的，是在解方程過程中自然得到的，不是人為的假設(shè)，不象舊量子論那樣勉強(qiáng)，而在經(jīng)典力學(xué)中能量是連續(xù)的。結(jié)果討論教四220?2011.09Chapter1A．∴

n越大，△E也越增大能量量子化教四220?2011.09Chapter1∴m、l

變大，△E就越小

對于宏觀物體，能量間隔可視為零，還原到能量可以連續(xù)變化的經(jīng)典力學(xué)結(jié)論。但對原子、分子體系，ml2≈h2，能量量子化的特征是顯著的。當(dāng)粒子m值確定后，l越小，量子化效應(yīng)越強(qiáng)烈。這是粒子運(yùn)動受束縛而引起的。B.能量量子化教四220?2011.09Chapter1可知：l

越大，E越小

在一定的條件下，粒子從狹窄的活動范圍過渡到較寬廣的范圍，從而產(chǎn)生E下降的效應(yīng)，稱為離域效應(yīng)。共軛多烯烴中，由于π電子的運(yùn)動范圍擴(kuò)大到整個分子，使能量降低而穩(wěn)定，已被實(shí)驗(yàn)事實(shí)證明。

C.由

能量量子化教四220?2011.09Chapter1

能級差與粒子質(zhì)量成反比，與粒子運(yùn)動范圍的平方成反比。這表明量子化是微觀世界的特征。

由此定性地看更復(fù)雜的三維體系就不難理解：普通金屬費(fèi)米能級附近的準(zhǔn)連續(xù)能級在納米顆粒中會變?yōu)殡x散能級，而半導(dǎo)體中本來存在的窄能隙在納米顆粒中會變寬。當(dāng)這種能級差大于熱能、電場能或者磁場能時，就會呈現(xiàn)出與宏觀物體不同的反常特性，即量子尺寸效應(yīng)。例如，金屬在超微顆粒時可變成絕緣體，光譜線向短波長方向移動等等。量子尺寸效應(yīng)教四220?2011.09Chapter1

3.零點(diǎn)能

∵Ψ（x）≠0∴n≠0

體系最低能量不為零。一維勢箱V=0，則：T≠0。表明體系有一份永遠(yuǎn)不可剝奪的能量，稱為零點(diǎn)能。而在經(jīng)典力學(xué)中是有T=0的靜止?fàn)顟B(tài)的。在分子振動光譜、同位素效應(yīng)和熱化學(xué)數(shù)據(jù)理論計算等問題中,零點(diǎn)能都有實(shí)際意義。結(jié)果討論教四220?2011.09Chapter1

零點(diǎn)能的存在是微觀粒子波粒二象性的體現(xiàn)，由不確定度關(guān)系也可得到相同結(jié)論。只有l(wèi)和m大到宏觀量級時，零點(diǎn)能消失。∵△x△Px

≥h△Px

≥h/△x

零點(diǎn)能教四220?2011.09Chapter1一維勢箱中粒子在一定范圍活動△x≠∞T≠0T＞0對于宏觀物體：m、△x很大，T≈0零點(diǎn)能教四220?2011.09Chapter14.幾率分布宏觀：粒子應(yīng)以相同的幾率密度出現(xiàn)在箱內(nèi)各點(diǎn)，Ψ2與x軸平行。微觀：幾率密度在箱中各點(diǎn)是不均勻的，呈現(xiàn)波性。粒子在箱內(nèi)無經(jīng)典的運(yùn)動軌道，只有幾率分布。幾率分布像波，服從波動方程，但并不是粒子本身像波一樣分布。而是描述粒子運(yùn)動狀態(tài)及幾率密度的函數(shù)的分布像波，并服從波動方程。結(jié)果討論教四220?2011.09Chapter1一維勢箱中粒子的波函數(shù)及幾率密度的節(jié)點(diǎn)教四220?2011.09Chapter15.存在節(jié)點(diǎn)從圖中可知，Ψ可以有正值、負(fù)值，可以是零。

Ψ=0處為節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)處粒子不會出現(xiàn)。n=1無節(jié)點(diǎn)n=21個節(jié)點(diǎn)n=32個節(jié)點(diǎn)n=43個節(jié)點(diǎn)

…………nn-1個節(jié)點(diǎn)

n增加，E增加節(jié)點(diǎn)增多，波長越短結(jié)果討論教四220?2011.09Chapter1粒子可以存在多種運(yùn)動狀態(tài)，它們可由Ψ1，Ψ2，……Ψn描述；能量量子化；存在零點(diǎn)能；沒有經(jīng)典的運(yùn)動軌道，只有幾率分布；存在節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)多，能量高。量子效應(yīng)教四220?2011.09Chapter1

量子效應(yīng)是受一定勢能場束縛的粒子的共同特征。隨粒子質(zhì)量m的增加，箱子長度l增長，量子效應(yīng)減弱。當(dāng)m、l增大到宏觀的數(shù)量時，量子效應(yīng)消失，體系變?yōu)楹暧^體系，其運(yùn)動規(guī)律又可用經(jīng)典力學(xué)描述。量子效應(yīng)教四220?2011.09Chapter1

粒子在箱中的平均位置∴粒子在箱中的位置無確定值，只有平均值。四、研究宏觀性質(zhì)（計算體系的各物理量）教四220?2011.09Chapter1？粒子在箱中的平均位置要求掌握積分過程結(jié)果表明粒子在左、右兩半邊出現(xiàn)的概率均為0.5，Ψ2的圖形對中心點(diǎn)是對稱的。教四220?2011.09Chapter1粒子的動量沿x軸分量Px∴粒子在箱中的動量無確定值，只有平均值。研究宏觀性質(zhì)教四220?2011.09Chapter1粒子的動量沿x軸分量Px？要求掌握積分過程結(jié)果粒子向正、反向運(yùn)動的概率相等，平均動量為零。教四220?2011.09Chapter13.

粒子的動量平方Px2值研究宏觀性質(zhì)∴粒子在箱中的

px2有確定值。教四220?2011.09Chapter1勢箱模型對共軛多烯π電子離域化的解釋丁二烯離域效應(yīng)：形成共軛鍵后，電子運(yùn)動范圍擴(kuò)大，能量降低，體系穩(wěn)定性增大。教四220?2011.09Chapter1解釋直鏈共軛多烯的電子吸收光譜的波長隨鏈長的增加教四220?2011.09Chapter1花菁染料分子設(shè)計教四220?2011.09Chapter1二維勢箱中運(yùn)動的粒子教四220?2011.09Chapter1二維勢箱中運(yùn)動的粒子教四220?2011.09Chapter1三維勢箱中運(yùn)動的粒子教四220?2011.09Chapter1五、量子力學(xué)處理微觀體系的一般步驟根據(jù)體系的物理?xiàng)l件寫出勢能函數(shù)，進(jìn)一步寫出哈密敦算符及薛定鄂方程。解薛定鄂方程，根據(jù)邊界條件求得Ψn和En。描繪Ψn，Ψn2的圖形，討論它們的分布特點(diǎn)。由所得的Ψn，求各個對應(yīng)狀態(tài)的各種力學(xué)量的數(shù)值，了解體系的性質(zhì)。聯(lián)系實(shí)際問題，對所得結(jié)果加以應(yīng)用。教四220?2011.09Chapter1

一維無限深勢阱中看不到的一種量子現(xiàn)象是隧道效應(yīng).當(dāng)勢壘為有限高度(V0)

和厚度時，入射到勢壘上的粒子能量E即使小于V0，也仍有一定的概率穿透勢壘，似乎是從隧道中鉆出來的:隧道效應(yīng)教四220?2011.09Chapter1

這種奇妙的量子現(xiàn)象是經(jīng)典物理無法