高三文科數(shù)學(xué)專(zhuān)題 對(duì)數(shù)平均不等式

重點(diǎn)對(duì)數(shù)平均不等式專(zhuān)題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在高考?jí)狠S題中，經(jīng)?？疾榕c導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題，這些問(wèn)題可以用常規(guī)方法求解，也可以轉(zhuǎn)變成對(duì)數(shù)平均不等式、切線不等式進(jìn)行求解，起到事半功倍的效果.考點(diǎn)一對(duì)數(shù)平均不等式專(zhuān)題強(qiáng)化練內(nèi)容索引對(duì)數(shù)平均不等式

考點(diǎn)一例1不妨設(shè)a＞b＞0，所以f(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴φ(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，該類(lèi)問(wèn)題的特征是雙變量，將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞繂?wèn)題處理，即將

看成一個(gè)新對(duì)象(整體)，從而進(jìn)行降維打擊.規(guī)律方法(1)討論f(x)的單調(diào)性；跟蹤演練1①若a≤2，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，x＝1時(shí)，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.②若a＞2，令f′(x)＝0，得由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿(mǎn)足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨設(shè)x2>x1>0，則x2＞1.又x2>x1>0，∴x1－x2<0，lnx1－lnx2<0，即證原不等式成立.專(zhuān)題強(qiáng)化練

1.(2022·葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋b(1＋lnx)(b∈R).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；1212若b≥0，則f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；若b<0，令f′(x)＝0，得x＝－b，當(dāng)x∈(0，－b)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(－b，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，綜上，若b≥0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；若b<0，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，－b)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－b，＋∞).(2)設(shè)g(x)＝f(x)－

sinx，若存在0<x1<x2，使得g(x1)＝g(x2)，求證：①b<0；12g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故不存在0<x1<x2，使得g(x1)＝g(x2)，所以b<0.12②x1x2<4b2.12令m(x)＝x－sinx(x>0)，m′(x)＝1－cosx≥0，當(dāng)x→0時(shí)，m(x)→0，故m(x)>0，即x>sinx，因?yàn)間(x1)＝g(x2)，12122.(2022·撫州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x(lnx＋a)，a∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；12因?yàn)閒(x)＝x(lnx＋a)，故可得f′(x)＝lnx＋a＋1，x>0，又y＝lnx＋a＋1為增函數(shù)，令f′(x)＝0，解得x＝e－a－1，故當(dāng)0<x<e－a－1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>e－a－1時(shí)，f′(x)>0，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，e－a－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(e－a－1，＋∞).12(2)當(dāng)a＝1時(shí)，求證：ef(x)≤xex在(0，＋∞)上恒成立.當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x(lnx＋1)，要證ef(x)≤xex，即證ex(lnx＋1)≤xex，又x>0，則只需證lnx＋1≤ex－1，又lnx＋1≤x，ex－1≥x，且等號(hào)都在x＝