理解定積分定義要注意以下三點(diǎn)課件

第九章

定積分

§1

定積分的概念教學(xué)內(nèi)容：

1)

定積分概念的引入2）“分割、近似求和、取極限”數(shù)學(xué)思想的建立3)

定積分的數(shù)學(xué)定義重點(diǎn)：

定積分的數(shù)學(xué)定義難點(diǎn)：“分割、近似求和、取極限”變量數(shù)學(xué)思想的建立定積分概念的引入一、背景1、曲邊梯形的面積2、變力所做的功1

1

曲邊梯形的面積

中學(xué)里我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了正方形，三角形，梯形等面積的計(jì)算，這些圖形有一個(gè)共同的特征：每條邊都是直線段。但我們生活與工程實(shí)際中經(jīng)常接觸的大都是曲邊圖形,他們的面積怎么計(jì)算呢？我們通常用一些小矩形面積的和來(lái)近似它。2上面用九個(gè)小矩形近似的情況顯然比用四個(gè)小矩形近似的情況精度高，但這樣得到的仍然是曲邊圖形面積的近似值。如何求取曲邊圖形的準(zhǔn)確面積呢？

比如舉世矚目的長(zhǎng)江三峽溢流壩，其斷面形狀是根據(jù)流體力學(xué)原理設(shè)計(jì)的，如圖1所示，上端一段是是拋物線，中間部分是直線，下面部分是圓弧。建造這樣的大壩自然要根據(jù)它的體積備料，計(jì)算它的體積就需要盡可能準(zhǔn)確的計(jì)算出它的斷面面積。該斷面最上面拋物線所圍的那一塊面積該怎樣計(jì)算呢？在介紹微分定義時(shí)我們已經(jīng)知道，直與曲雖然是一對(duì)矛盾，但它們可以相互轉(zhuǎn)化，早在三國(guó)時(shí)代，我代數(shù)學(xué)家劉徽就提出了“割圓術(shù)”，以“直”代“曲”把圓的面積近似看成多邊形面積來(lái)計(jì)算?，F(xiàn)在我們來(lái)計(jì)算一下溢流壩上部斷面面積。3假設(shè)拋物線方程為:

將等分成n等份，拋物線下面部分分割成n個(gè)小曲邊梯形第i個(gè)小曲邊梯形用寬為，高為的矩形代替，如下圖：則它的第i個(gè)小曲邊梯形的面積：

所求的總面積:

4

我們分別取n=10,50,100用計(jì)算機(jī)把它的圖象畫(huà)出來(lái)，并計(jì)算出面積的近似值：567由此可知，分割越細(xì)，越接近面積準(zhǔn)確值

再看一個(gè)變力做功的問(wèn)題

設(shè)質(zhì)點(diǎn)m受力

的作用，沿直線由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，求變力

的做的功。F雖然是變力，但在很短一段間隔內(nèi)看作是常力作功問(wèn)題。按照求曲邊梯形面積的思想，，F(xiàn)的變化不大，可近似1）

對(duì)作分割：8當(dāng)每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都很小時(shí)，小區(qū)間上的力：在

上，力F作的功2）求和力F在

上作的功

分割越細(xì)，近似程度越好，分割無(wú)限細(xì)時(shí)，即分割細(xì)度：時(shí)，93）取極限

對(duì)上面和式取極限，極限值就是力在

上作的功。

從上面兩個(gè)例子看出，不管是求曲邊梯形的面積或是計(jì)算變力作的功，它們都?xì)w結(jié)為對(duì)問(wèn)題的某些量進(jìn)行“分割、近似求和、取極限”，或者說(shuō)都?xì)w結(jié)為形如：的和式極限問(wèn)題。我們把這些問(wèn)題從具體的問(wèn)題中抽象出來(lái)，作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念提出來(lái)就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分下一個(gè)定義（下頁(yè)）10

定義

設(shè)是定義在區(qū)間

上的一個(gè)函數(shù)，在閉區(qū)間

上任取n-1個(gè)分點(diǎn)

把[a,b]分成n個(gè)小閉區(qū)間，我們稱這些分點(diǎn)和小區(qū)間構(gòu)成的一個(gè)分割，用T表示,分割的細(xì)度用表示，在分割T所屬的各個(gè)小區(qū)間內(nèi)各取一點(diǎn)稱為介點(diǎn)，作和式:以后簡(jiǎn)記為

11此和式稱為在上屬于分割T的積分和（或黎曼和，設(shè)是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任意總存在某個(gè)

，使得上的任何分割T，只要它的細(xì)度，屬于分割T的所有積分和

都有則稱在上可積,稱J為函數(shù)在上的定積分(或黎曼積分)，記作12利用積分的定義，前面提到曲邊梯形面積可簡(jiǎn)潔的表示為:變力作功問(wèn)題可表示為例

用定義求積分

解

分法與介點(diǎn)集選法如例1,

有

13上式最后的極限求不出來(lái),

但卻表明該極限值就是積分

三．理解定積分定義要注意以下三點(diǎn)：1）定積分定義與我們前面講的函數(shù)極限的“”定義形式上非常相似，但是兩者之間還是有很大差別的。對(duì)于定積分來(lái)說(shuō)，給定了細(xì)度以后，積分和并不唯一確定，同一細(xì)度分割有無(wú)窮多種，即使分割確定，介點(diǎn)仍可以任意選取，所以積分和的極限比前面講的函數(shù)極限要復(fù)雜的多。2）定積分是積分和的極限，積分值與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)14

。3)

表示分割越來(lái)越細(xì)的過(guò)程，

分點(diǎn)個(gè)數(shù)，但反過(guò)來(lái)，并不能保證，所以：不能寫成：4)、定積分的幾何意義(作圖并解釋）abxyo15四．小結(jié)：

學(xué)習(xí)定積分，不僅要理解、記住定積分的定義，還要學(xué)習(xí)建立定積分概念的基本思想，我們以后的學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到其它類型的積分，比如勒貝格積分、斯蒂疌斯積分等，只要理解了定積分的思想，其他類型的積分就很容易理解了?，F(xiàn)在我們?cè)賮?lái)總結(jié)一下定積分建立的的思想和方法：從定積分的實(shí)例和概念中看到定積分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的長(zhǎng)方形去近似代替小曲邊梯形，以“直”代“曲”；然后把所有長(zhǎng)方形加起來(lái)，近似求和，得到曲邊梯形面積的一個(gè)近似值；當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)時(shí)，就得到曲邊梯形的準(zhǔn)確值，即，這時(shí)又從“直”回到了“曲”。“分割、近似求和、取極限”是定積分的核心思想。16§2牛頓—萊布尼茲公式若用定積分定義求，一般來(lái)說(shuō)是比較困難的。是否有較簡(jiǎn)便的方法求？下面介紹的牛頓—萊布尼茲公式不僅為定積分計(jì)算提供了一個(gè)有效的方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系了起來(lái)。17公式使用說(shuō)明：18利用定積分的定義可求某些數(shù)列的極限：若待求極限的數(shù)列通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，能化成某一函?shù)在某一區(qū)間上關(guān)于某一特定分割的積分和時(shí)，則可用定積分的定義來(lái)求數(shù)列的極限。19§3可積條件一個(gè)函數(shù)究竟要滿足何種條件，才能可積？這是本節(jié)所要討論的的主要問(wèn)題。一、可積的必要條件20

1.

思路與方案:

思路:

鑒于積分和與分法和介點(diǎn)有關(guān),

先簡(jiǎn)化積分和.

用相應(yīng)于分法的“最大”和“最小”的兩個(gè)“積分和”去雙逼一般的積分和,即用極限的雙逼原理考查積分和有極限,且與分法及介點(diǎn)無(wú)關(guān)的條件。

方案:

定義上和和下和

，研究它們的性質(zhì)和當(dāng)時(shí)有相同極限的充要條件.

2.

達(dá)布和:

21由達(dá)布和定義可知，達(dá)布和未必是積分和.但達(dá)布

和由分法唯一確定.則顯然有：222324定理9.6說(shuō)明，單調(diào)函數(shù)即使有無(wú)限多個(gè)間斷點(diǎn)，仍不失其可積性。思考題：1、閉區(qū)間上僅有一個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)是否必可積？2、閉區(qū)間上有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)是否必不可積？3、閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)是否必可積？例2

2526§4定積分性質(zhì)一、定積分的基本性質(zhì)2728利用性質(zhì)4可得一個(gè)重要的結(jié)論：即對(duì)積分值大小的基本估計(jì)方法29303132xyY=f(x)03334§5微積分學(xué)基本定理.定積分計(jì)算（續(xù)）本節(jié)第一部分的內(nèi)容主要是利用定積分證明來(lái)證明前面多次提到的問(wèn)題—連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)；第二部分的內(nèi)容主要介紹定積分的換元積分法及積分分部積分法。一、變限積分與原函數(shù)存在定理1、變限積分3536373839