在自然科學(xué)和工程設(shè)計(jì)中的許多問題

第五章矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算第五章矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算在自然科學(xué)和工程設(shè)計(jì)中的許多問題，如電磁振蕩、橋梁振動、機(jī)械振動等，常歸結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量.求矩陣的特征值和特征向量的問題是代數(shù)計(jì)算中的重要課題.本章著重介紹直接計(jì)算矩陣的特征值和特征向量的MATLAB程序、間接計(jì)算矩陣的特征值和特征向量的冪法、反冪法、雅可比方法、豪斯霍爾德方法和QR方法及其它們的MATLAB計(jì)算程序.最后我們還討論廣義特征值問題.5.1直接計(jì)算特征值和特征向量的MATLAB程序5.1.4計(jì)算特征值和特征向量的MATLAB程序從以上的討論可以看到，有許多問題歸結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量，而用手工計(jì)算高階矩陣的特征值與特征向量的難度較大，但是，計(jì)算機(jī)軟件MATLAB提供了直接計(jì)算特征值與特征向量的MATLAB函數(shù)（見表5–1），下面介紹這些函數(shù)的使用方法.表5–1乓命疊令炒功題能忘b內(nèi)=劑米ei腰g霧(織A劑)時(shí)輸入偽方陣秤A甜，運(yùn)昏行后會輸出枯b錯(cuò)為由嶼方陣捉A逃的技全部計(jì)特征內(nèi)值構(gòu)纏成的層列向懇量頸[V知,D幣]凈=斑ei焰g除(易A墻)宗輸入社對稱調(diào)矩陣礙A溜，運(yùn)辟行后巷輸出咬D升為由島A烘的懸全部御特征推值構(gòu)廣成的廚對角輔矩陣太，臥V疾的各收列為劈對應(yīng)蛋于特貓征值蕉的特席征向?qū)倭繕?gòu)貍成的蛋矩陣唐，使乞得支A貢V客=噴DV設(shè)[V具,D朋]肉=獄ei扯g默(零A隆,'注no箏ba睬la鞏nc暢e'箭)觀輸入標(biāo)方陣壩A巡，運(yùn)嘉行后刑輸出湖D黃為由革A再的旱全部疑特征恐值構(gòu)頁成的址對角夾矩陣漁，粥V來的各陸列為誦對應(yīng)禾于特美征值潔的特哈征向每量構(gòu)機(jī)成的澇矩陣托，使達(dá)得牲A謙V筒=釘質(zhì)DV簽；如竹果抓A棄是束對稱姻矩陣研，則雙輸出史的結(jié)廊果與漫程序決[V迎,D暈]痕=欣ei獅g盤(奶A婆)莫的運(yùn)刺行結(jié)委果相刷同5.2冪法及其MATLAB程序臟冪法由是求諷實(shí)矩仔陣臘的主凡特征壞值（短即實(shí)腦矩陣太按模晚最大持的特祖征值薦）及填其對舟應(yīng)的竹特征騰向量斥的一真種迭骨代方左法.每5.靠2.旅2袋冪視法的壤MA訪TL逝AB返程序沒設(shè)拜階實(shí)違矩陣某的章個(gè)特糧征值漠為巾，且墳滿足政，壞的主解特征紗值每對應(yīng)彎的特鵲征向溪量為比，則烏我們貌可以歲用下趕面的雄MA輝TL瘦AB夸程序球計(jì)算覆和曠的近肌似值僵和近禮似向均量.崇爆用冪吧法計(jì)摔算矩餐陣綁的主紅特征標(biāo)值和蠅對應(yīng)蟲的特蕉征向敵量的旱MA叉TL蛾AB詞主程香序待輸入蠻的量詠：上階實(shí)訂矩陣簡、甘維初青始實(shí)言向量歐V個(gè)0傍、計(jì)駛算要控求的詠精度恩jd辭、迭預(yù)代的吳最大展次數(shù)子ma盼x1奏；殲輸出穩(wěn)的量判：對迭代突的次督數(shù)簡k醫(yī)、潤的主壇特征殖值班的近泡似值無la針mb沾da拜、潛對應(yīng)鈴的特漿征向圍量鵲的近失似向拜量躲V齊k恐、相灰鄰兩西次迭次代的姨誤差悟W飯c性.傅如果靠迭代棍次數(shù)奸已經(jīng)癢達(dá)到昨最大鞏的迭惡代次聯(lián)數(shù)畏ma捎x1牛，則映給出涂提示辮的相皂關(guān)信迷息.音根據(jù)意迭代拌公式炒（5三.2挑0）棚，現(xiàn)牌提供腫用冪縮法計(jì)佛算矩承陣檢的主寒特征快值和體對應(yīng)踢的特早征向刃量的摩MA脊TL課AB磁主程鐘序如脖下：框fu養(yǎng)nc晌ti顆on槳虜[k奴,l貸am騰bd伴a,嶺Vk壓,W政c]居=m棄if尾a(檔A,罰V0放,j椅d,斥ma勵x槽1)天la等mb臘da士=0怕;k恨=1啄;W摟c勇=1呢;舞,j象d接=曲jd扎*0傷.1抱;沒st父at屈e=貍1;到V槽=V槳0;塌wh勿il港e柳((潤k<降=m愿ax餐1)菜&(丹st催at撞e=痰=1娃))荷Vk司=A勸*V址;蒸[m量j慘]=捎ma仿x(熱ab扮s(讓Vk冷))處;警mk我=m優(yōu);磁tz膽w=煉ab輕s(右la作mb卻da丹-m點(diǎn)k)卵;鬧Vk冊=(剃1/帥mk坡)*成Vk程;覆Tx認(rèn)w=稍no魯rm逐(V乓-V脆k)期;得Wc械=m兼ax軋(T現(xiàn)xw藍(lán),t嬸zw尊);亂V奪=V貨k;貓la贊mb鑄da懸=m穿k;慎st該at灶e=誦0;泛if護(hù)(W漢c>仙jd規(guī))黃st散at袖e=蜜1;谷en桑d佛k=偏k+蛛1;市Wc施=W駛c;疾en習(xí)d奧if嚷(W騾c<知=j宋d)股di燦sp斥(使'艦請注款意：危迭代鏈次數(shù)擇k,幫主特闊征值陷的近婦似值低la彼mb廢da般,號主特瓜征向微量的糊近似摔向量免Vk效,害相鄰等兩次燒迭代減的誤且差蠻Wc芒如下酸：當(dāng)'棕)滑喊el鬼se霞di誰sp村(矩'蟻請注謠意：蛙迭代維次數(shù)織k妻已經(jīng)白達(dá)到牽最大叛迭代霞次數(shù)誤ma泛x1忙,辭主特繞征值刪的迭促代值蘿la們mb覽da校,捉主特垮征向眠量的擔(dān)迭代燦向量收Vk惜,勻相鄰齒兩次革迭代件的誤政差累Wc椅如下染：緊'槐)燭淡謊en邀d筋Vk屢=V種;k火=k或-1盞;W屆c;唯例5此.2火.2極用冪絮法計(jì)表算下達(dá)列矩庭陣的音主特睜征值隸和對辰應(yīng)的用特征乎向量頓的近蛙似向架量，攝精度緣.并燙把（桃1）猴和（厚2）秧輸出丟的結(jié)音果與漠例5器.1垃.1敗中的囑結(jié)果潤進(jìn)行披比較模.憶(1帥)潮；蓮(2零)映；(廢3)?。惶}（4琴）既.菠解修（1鐘）第輸入堪MA眾TL肉AB閥程序呼>>鹿A鳴=[眠1佳-1輪;2刮4充];知V0優(yōu)=[場1,饒1]領(lǐng)';垃[k伍,l征am延bd醬a,貝Vk發(fā),W拆c]結(jié)=m弊if陶a(桂A,惰V0鎖,0裙.0釘00極01仙,1艇00偏),聽虛[V拋,D忍]揚(yáng)=練ei奸g州(A紐),避D輕zd查=m啞ax右(d礙ia饅g(梅D)麥)閥,乖w喪uD訊=盈ab睬s(而Dz午d-她l竿am乒bd初a)躁,巨wu誰V姨=V拋(:查,2陶).象/V贏k腹,亭運(yùn)行梅后屏浸幕顯喚示結(jié)伏果摧請注喜意：社迭代薪次數(shù)懶k,門主特耕征值撫的近甲似值同la破mb清da瓦,主棒特征牧向量翼的近廟似向吧量V幣k,保相鄰址兩次英迭代辯的誤睛差W工c如糞下：膜k賴=萌l痛am銅bd鹿a蔬=攜W浩c就=湯屢脹33該扶撿3.車00隙00盾01壓73墊83閥68丸04司貴條8廁.6幻91進(jìn)86殖28勸56賽12潮49助99貞e-他00蹲7筑Vk殺=儀V舉=庫wu家V局=株-蝶0.怨49朗99它99崗42聞05膜44機(jī)32績窯-0鞏.7搖07偏10錦67視81滿18女65池5檢0余.4拒47漂21混35色95娃49匪99啄6失-0閉.8弊94厲42轎82糊27滴56為29慮4伏1.確00翁00辯00杜00獄00按00青00關(guān)0伏.7方07任10擔(dān)67削81出18抓65雜5劉蔽-0回.8塞94謠42么71揮90羅99擋99諒2濕-0攝.8俊94鋼42嫂71算90練99渾99虹2零Dz往d饅=丹wu儀D逮=奶巧釣3制棕1茅.7慚38暴36斬80驗(yàn)38榜40域64劑35紛e-故00天6貫由輸本出結(jié)奶果可燙看出馳，迭蠟代3動3次懲，相唱鄰兩告次迭賤代的壓誤差揉W泥c膝8.誦69燙19玩e-霞00皇7庭，矩訴陣賠的主尿特征恰值的誓近似帳值陽la披mb魯da工3.但00城0畝00價(jià)和對檢應(yīng)的閘特征腹向量阻的近饞似向廈量溪V添k騎（郵-0蝕.渣50抵0惱00反，吐1.縣00戲0程00跪,柴l塔am怨bd誦a獅與例惜5.嫌1.停1中茫的最已大特麻征值拳近似鐵相等痕，絕律對誤套差約喘為勇1.興73驢8夜3醬7趕e-等00生6居，士V頭k月與特狀征向刃量蹦的第叨1個(gè)簽分量糧的絕婦對誤鐮差約萍等于獻(xiàn)0，之第2饑個(gè)分識量的準(zhǔn)絕對英值相辦同.暈由利wu拉V旅可以斥看出錄，低的那特征煤向量繩V適(:顏,2劍)盯與使Vk綠的對千應(yīng)分也量的付比值斬近似敞相等男.因榆此，隊(duì)用程因序掏mi扭f奧a采.m撫計(jì)算休的結(jié)肺果達(dá)渾到預(yù)擔(dān)先給其定的最精度堪.雨(2符)拐輸入盯MA譜TL委AB黨程序發(fā)>>婆B=攪[1純2追3惕;2猛1攝3楊;3燥3割6沙];斧V擠0=蹤[1撐,1器,1弊]'本;印[k授,l或am作bd居a,壩Vk由,W渣c(diǎn)]掛=m伴if訴a(恰B,傳V0塌,0畫.0躬00曾01板,1厲00爪)再,愿[獻(xiàn)V,癢D]湯=錘e啦ig取(舊B)膽,柿Dz怎d=噸ma園x(古di瑞ag巷(D求))則,燒w泥uD訓(xùn)=豐ab慈s(遭Dz量d-喬l歪am橋bd塊a)嬸,斥wu走V=粗V(皂:,遠(yuǎn)3馳).秋/V合k書,去運(yùn)行腔后屏莊幕顯飼示結(jié)僚果馬請注劃意：具迭代僅次數(shù)腐k,墻主特拼征值條的近杜似值來la姜mb診da泛,主桑特征鏡向量繼的近右似向敬量V示k,疲相鄰眠兩次典迭代射的誤協(xié)差W恥c如照下：失k勺=程la慚mb廢da塔=喪磁Wc生=脊淚Dz糞d港=餓w斜uD科=聯(lián)染3譜休質(zhì)譽(yù)價(jià)9據(jù)瘦訪0囑盞瓜9雜質(zhì)標(biāo)0艱Vk暮=穴w述uV哈=染荒0今.5問00扇00虹00番00珍00研00響0窗隱0.蝶81牧64翅96述58免09時(shí)27撐73衡謊0滔.5夸00胞00涌00令00野00泥00慕0糠黑0衡.8膊16伸49盾65冤80早92聾77爛3趨捆1喉.0猛00膚00載00毀00玻00殊00雹0砌柜0.察81政64繼96強(qiáng)58爭09豆27夏73寬V且=管累0奪.7養(yǎng)07虹10廟67辣81蝕18烈65揀5書糠0.靈57養(yǎng)73啟50騾26冒91宏89棄63炮額0自.4棗08敢24左82籮90堤46朱38昏6版均-0照.7正07績10懸67檔81盾18巡65儀5航潑0.蟲57紡73畫50秋26朵91曬89掏63錢酸0泄.4號08媽24攏82通90在46駱38野6殊0鄉(xiāng)錄-0偶.5的77采35爬02絲69壞18清96乒3笑嗎0.毅81身64醫(yī)96留58候09說27某73戒由輸延出結(jié)胖果可餐看出蟻，迭憤代3倦次，世相鄰喝兩次易迭代襲的誤姨差刺W民c撒=0靈，實(shí)蠻對稱射矩陣運(yùn)B繳的主鋸特征飲值的咳近似恐值奉la乖mb炎da擊=傳9和沈?qū)?yīng)子的特跪征向壩量的土近似剃向量殃V軟k善=政（貪0.合50衫0橡00瞞，徒0.具50淹0辰00省，錢1.暖00冬0董00舊,留la率mb途da勤與例幅5.需1.坑1中雄的最鋼大特寄征值紡相同勢，纏V叼k輪與特宜征向群量雪的對假應(yīng)分繁量成勸比例獎.從尸wu司V貫的每對個(gè)分懷量的艙值也攜可以畜看出仆，擇的特好征向掃量失V嗓(:鋸,我3炮)仿與例Vk克的對辣應(yīng)分摩量的未比值孔相等省.因瓦此，想用程拌序吧mi慕fa妹.m磨計(jì)算羽的結(jié)停果達(dá)傾到預(yù)勉先給奴定的范精度只.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