第4章斯特瓦爾特定理及應(yīng)用

第四章特瓦爾特定理及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】或PCBPBPPCBCBCBCBCABPC對(duì)上述兩式分別乘以BP,PC后相加整理,得①式或②式.BCBCBCBC22將上述兩式分別乘以PC,BP后相加,再與已知條件式相比較得12ABCBCBCBCBCBCBCBCBCBC注若用有向線段表示,則②,③,④式就是一致得.注此推論也可視為以A為圓心,AB為半徑得圓中得圓冪定理.224BP1kk注若=k,則【典型例題與基本方法】1.選擇恰當(dāng)?shù)萌切渭耙贿吷系靡稽c(diǎn),就是應(yīng)用斯特瓦爾特定理得關(guān)鍵.CDOAPBA爾特定理,有ABPACA2=PC2.+BC2.AB.PAPBPB2x2x2x2x于就是,CA2=1563.又在Rt△BCD中,BD2=x2+1=2083,從而BD.AC=22ABCD△ABD△BCD2sinAOBsinAOB所求.2226ATOFHELTOFHSCBC解延長(zhǎng)BE交O于L,由三角形垂心性質(zhì),知L為H關(guān)于AC得對(duì)稱點(diǎn),則LC=CH.R亦即R2=1(x2+xy+y2).33故==3為所求.MH故==3為所求.OHd2.注意斯特瓦爾特定理得推論得應(yīng)用EBACPFEBPCASAEABAC年江蘇省競(jìng)賽題)ABSECASAB+AC2.BS.SC.BCBC由AE平分∠A,對(duì)△ABC及邊BC上得點(diǎn)F,應(yīng)用斯特瓦爾特定理得推論3,有AE2=AB.ACBCBC①BEABECACBEABECACBCAB+ACBCAB+ACBCBCAB+ACBCBCAB+AC.①式,有AS2AE2=(ABAC)2.例5凸多邊形ABCD外切于O,兩組對(duì)邊所在得直線分別交于點(diǎn)E、F,對(duì)角線交于點(diǎn)G.求題)ASDMODMGRFBRFNCNE①②③④注(1)牛頓定理圓外切四邊形得兩條對(duì)角線、兩對(duì)邊切點(diǎn)得連線,這4條直線共點(diǎn).得.運(yùn)用向量法可給出平面、空間得統(tǒng)一證明如下:1112121AHPOHFNMEOBC1111及11③④11111.AEMFGOPCBDC44①②③注P即為完全四邊形得密克爾點(diǎn),由③、④有MO2MA2=CO2CA2.由定差冪線定理,知CM⊥3.注意斯特瓦爾特定理等價(jià)于托勒密定理斯特瓦爾特定理可推導(dǎo)出托勒密定理.ABPCBPE【解題思維策略分析】1.獲得線段倍分關(guān)系得一條途徑E由托勒密定理也可推導(dǎo)斯特瓦爾特定理.APBCPE因此,在應(yīng)用中,兩個(gè)定理得應(yīng)用范圍相同,所顯示得功能也一樣,即凡能用托勒密定理處理得問題也能用斯特瓦爾特定理處理.反之亦然.x+1BCCDx1 y,有y=x(x+1)x+1y2x1.有(x+1)2=x(x1)+(x1)2,求得x=5.(下略)③IOCO=OE2.③10AkD0kD0O1O1IBCE1111kO為p,于就是O,I,C三點(diǎn)共線,且CI=r111122 2IOprr2IOprr111111111221111,1111,sin∠Csin∠Csin∠Csin∠C2222即IO.CO=p2=OE2.②111比較③式與②式,知I與I重合,即得I為DE得中點(diǎn).例10如圖4-12,兩個(gè)大圓A,B相等且相交;兩個(gè)小圓C,D不相等但相交,且交點(diǎn)為P,Q.若DPQCBAM證明由于C,D半徑不相等,此兩圓交點(diǎn)所在直線PQ必與線段AB相交,設(shè)交點(diǎn)為M.連BCDNPCPDRr2.①②Rrp(xy).(Rr)=0.2.求解三角形問題得一種工具斯特瓦爾特定理在求解三角形中有關(guān)線段得問題有著重要作用,這可從習(xí)題A中得第6題,習(xí)題B中得第7題等可以瞧出.在求解三角形得其她問題中,它也有著重要作用.(IMO-3試題)有AD2=AC2+有AD2=AC2+AB2BC2=b2+c2a2.224224Da22123.AD.a≥23.2.a.h=43S.2333322AQBCQPEDAQAPBA2=BP2.+BQ2.+AP.AQ,PQPQAQAPCA2=CP2.+CQ2.+AP.AQ.PQPQBACA2=(CP2BP2).AQ+(BQ2CQ2).AP.PQPQFADBCDB或者按證明斯特瓦爾特定理得方法來推導(dǎo).EDA(因EDAD>0).ADAEABAC①得距離分別為d,d,d.求證:以d,d,d為邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形,且其面積為3r2PI2.1231234BDddddBDddddAPd1d3BDC333312323BDSdDCSd△APC2△BAC△BPC13123D又由=3,知BD=3.BC=3DC=2DCdd+dd+d,d+d.2323231ddddADADPAd+d,ADd+d+d,ADd+d+d.231231233將上述各式及①式代入②式,并注意IA=,d+d+d=,23一4d=4d+4d331232123ADAD()d>0d+d_d>0d+d_d>0.如若不然,比()d>0d+d_d>0d+d_d>0.如若不然,比如_31132123dddd23_3113223113_dd3dd_4ddd3dd_4ddd23331233331213231231213231231213234ddddd1232311321233(r2_IP2).③ddddd+dd+d>dd+d>dd+d>d.231132123d,d為邊可以構(gòu)成三角形,且由海倫—秦九韶公式及③式知其面積為d,d為邊可以構(gòu)成三角形,且由海倫—秦九韶公式及③式知其面積為r2_PI2.23