專題7-4 解決不等式選講的第二問(wèn)通關(guān)

第一類均值不等式1．設(shè)函數(shù)．（1）設(shè)的解集為集合，求集合；（2）已知為集合中的最大自然數(shù)，且（其中為正實(shí)數(shù)），設(shè)．求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析．【解析】試題分析：（1）先根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解集，最后求并集，（2）先根據(jù)等量關(guān)系化M，再根據(jù)基本不等式證不等式．（2）由（1）知，則．則，同理，則，即．2．選修4-5：不等式選講已知，，均為正實(shí)數(shù)，且．（1）證明：；（2）求證：．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析．【解析】試題分析：運(yùn)用均值不等式，可得，再由兩邊平方即可得證（2）由均值不等式可得，，，相加即可得證（Ⅱ）∵同理：，∴∴∴3．設(shè)均為正數(shù)，且，求證：．【答案】見解析?！窘馕觥吭囶}分析：因?yàn)?，根?jù)三元均值不等式可得結(jié)果試題解析：證明：因?yàn)椋?，因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以4．已知定義在上的函數(shù)，且恒成立．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求證：．【答案】（1）；（2）見解析．【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)借助絕對(duì)值的幾何意義分析求解；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解：解：（1）,要使恒成立，則，解得．又，．5．選修4—5：不等式證明選講設(shè)為正實(shí)數(shù)，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）1．【解析】試題分析：（Ⅰ）由得，進(jìn)而得到的最小值是；（Ⅱ）由得，從而，又，即可求解的值．試題解析：（Ⅰ）由得，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．分故，當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值．6．已知函數(shù)的最大值為．（1）求的值和不等式的解集；（2）若，求的最大值．【答案】（1），．（2）最大值．【解析】試題分析：（1）分類討論，求出函數(shù)的值域，即可求的值；（

2）由（1）知，a2+2b2+c2=4，利用基本不等式求的最大值．試題解析：解：(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，即．當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，由，解得，所以不等式的解集為．(2)因?yàn)?，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值．7．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）對(duì)，，求證：．【答案】（1）．（2）見解析【解析】試題分析：（1）先根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集得原不等式解集，（2）先根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得，再利用均值不等式證不等式．（Ⅱ），又∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），∴．8．選修4-5：不等式選講若不等式對(duì)于任意都成立．（1）求的值；（2）設(shè)，求證：．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）由絕對(duì)值三角不等式可得，，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，（Ⅱ）利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵在于湊：，即得結(jié)論．試題解析：（Ⅰ）解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∵對(duì)任意實(shí)數(shù)b，不等式都成立．∴．第二類恒成立求參1．設(shè)不等式的解集為．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）令，由得，解得，從而可得．（Ⅱ）轉(zhuǎn)化變量可得不等式在恒成立，故得，解得，即為所求．（Ⅱ）由不等式，的，令，要使，則，整理得，∴，解得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍．2．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，，．（1）若，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或．（2）．【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．對(duì)解析分類討論，可求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為，要使，故只需；當(dāng)時(shí)，的最大值為，要使，故只需，由此可求實(shí)數(shù)的取值范圍．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的最大值為，要使，故只需，則，∴；當(dāng)時(shí)，的最大值為，要使，故只需，∴，從而．綜上討論可知：．3．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1);(2)．【解析】試題分析：（1）由題意，可將含絕對(duì)值的函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再逐段進(jìn)行求解，匯總所得解，從而問(wèn)題可得解；（2）由題意，可構(gòu)造函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，并作出其圖象，結(jié)合其圖象，對(duì)參數(shù)的取值范圍，進(jìn)行分段討論，匯總所有解，從而問(wèn)題可得解．（2）由，得．令作出的圖象如圖所示，由題意知的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方．由圖象可知，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，解得或．當(dāng)時(shí)，的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．4．已知關(guān)于的不等式．（1）當(dāng)時(shí)，求該不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，該不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）或．【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式為，利用零點(diǎn)分段法可求得解集為．（2）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為．對(duì)分成兩類，去絕對(duì)值，利用分離常數(shù)法可求得的取值范圍．（2）∵，∴，∴原不等式化為①．當(dāng)，即時(shí)，①式恒成立，所以．當(dāng)，即時(shí)，①式化為，或．化簡(jiǎn)得，或．∵，∴，，∴或．又，，所以當(dāng)時(shí)，，，所以，或．所以，或．綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為或．5．已知，若不等式的解集為．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【解析】試題分析：(1)求解絕對(duì)值不等式，據(jù)此得到關(guān)于實(shí)數(shù)t的方程，解方程可得．（2）由（1）知，，由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由（1）知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．6．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的解集；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）．（2）．【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，利用零點(diǎn)分類討論法解絕對(duì)值不等式．(2)第（2）問(wèn)，先化簡(jiǎn)，再分離參數(shù)得到對(duì)任意的恒成立，再求a的取值范圍．試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，由可得，所以當(dāng)時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為，解得，當(dāng)時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為，解得，綜上可知，不等式的解集為．（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即，故，即對(duì)任意的恒成立，所以．7．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）若對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）先根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得等式成立條件為，再解不等式得的取值范圍；（2）先根據(jù)基本不等式得最小值，再解絕對(duì)值不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍．8．已知且．（1）求的最大值；（2）若不等式對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1);(2)見解析．【解析】試題分析：（1）由基本不等式可得，從而可得最大值．（2）由于時(shí)，故由題意可得對(duì)恒成立，于是或恒成立，解得或，從而可得所求的范圍．試題解析：（1）由，得，當(dāng)且僅當(dāng)取最大值，．9．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）利用絕對(duì)值的定義，去年絕對(duì)值符號(hào)，可化含絕對(duì)值的不等式為一般一元一次不等式，解之可得；（Ⅱ）利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值，然后解不等式可得的取值范圍．試題解析：（Ⅰ）由題知不等式，即，等價(jià)于或或，解得或或，∴原不等式的解集為．………………5分（Ⅱ）由題意知=≥=3，∴的最小值為3，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．………………10分10．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）當(dāng)時(shí),不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）分類討論，去掉絕對(duì)值，分別求解不等式，進(jìn)而得到不等式的解集；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，求出在上的最大值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，恒成立．設(shè)，則在上的最大值為．∴，即，得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．第三類絕對(duì)值三角不等式1．已知．（）將的解析式寫成分段函數(shù)的形式，并作出其圖象．（）若，對(duì)，，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）的取值范圍是．【解析】試題分析：（1）討論的范圍：，去絕對(duì)值，可得的分段函數(shù)的解析式，由分段函數(shù)圖象畫法可得其圖象；（2）運(yùn)用乘1法和基本不等式，可得，的最小值，由題意可得，結(jié)合圖象即可得到所求x的范圍．試題解析：（）由已知，得，函數(shù)的圖象如圖所示：2．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，．（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得和互為相反數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1）．（2）．【解析】試題分析：（1）分，，和三種情況去掉絕對(duì)值，解不等式即可．（2）由題存在，使得成立，即．又，由（1）可知，所以，可解得的取值范圍．試題解析：（1）由題意可得，當(dāng)時(shí)，，得，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，得，即；當(dāng)時(shí)，，得．綜上，的解集為．3．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若對(duì)于任意，有，，求證：．【答案】（1）；（2）見解析．【解析】試題分析：（1）通過(guò)討論x的范圍，解不等式，取并集即可；（2）利用絕對(duì)值三角不等式證明即可．試題解析：（1）解：或，∴解集為．（2）證明：．4．[選修4－5：不等式選講]已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，試比較與的大小，并說(shuō)明理由．【答案】(1)｛x|x＜－3或x＞1｝;(2)見解析．【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最大值，再根據(jù)基本不等式可得最小值，最后根據(jù)兩者關(guān)系確定大小關(guān)系．試題解析：（1）由題知，①當(dāng)時(shí)，－2x－2＞4，解得x＜－3；②當(dāng)時(shí)，2＞4，矛盾，無(wú)解；③當(dāng)時(shí)，2x＋2＞4，x＞1；所以該不等式的解集為｛x|x＜－3或x＞1｝．5．設(shè)．（1）若，解關(guān)于的不等式；（2）求證：．【答案】(1)或；（2）證明見解析．【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，直接利用零點(diǎn)討論法解（2）第（2）問(wèn)，利用三角絕對(duì)值不等式證明．（2）證明：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．6．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．(I)求不等式的解集；(Ⅱ)若正數(shù)滿足求證:．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．【解析】試題分析：（Ⅰ）將不等式轉(zhuǎn)化為．法一：由絕對(duì)值不等式的幾何意義，可得不等式的解集；法二：分類討論，去掉絕對(duì)值號(hào)，分別求解不等式組，進(jìn)而得到不等式的解集；（Ⅱ）由題意，得到，利用絕對(duì)值的三角不等式，即可作出證明．試題解析：（Ⅰ）此不等式等價(jià)于．法一：由絕對(duì)值不等式的幾何意義得不等式的解集為．7．【選修4-5：不等式選講】設(shè)函數(shù)，，其中．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若對(duì)任意，都存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1);(2)．【解析】試題分析：（1）討論x的取值范圍，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組問(wèn)題，分別求解集，最后取并集即可；（2）設(shè)的值域?yàn)?的值域?yàn)椋畬?duì)任意，都存在，使得等價(jià)于：試題解析：（I）不等式，則，解得：或，即所以不等式的解集為．8．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解不等式的解集；(2)當(dāng)時(shí)，有成立，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即可求解；（2）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式即可得解．試題解析：(1)原不等式等價(jià)于解得：(2)由題意可得恒成立．∵∴∴解得9．已知．（1）解不等式；（2）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）．【解析】試題分析：利用分區(qū)間討論法去掉絕對(duì)值符號(hào)，在函數(shù)的每個(gè)區(qū)間上求解不等式，即可得到答案求出的分段函數(shù)的各段的范圍，可得最小值，進(jìn)而得到，解不等式即可得到的取值范圍（2）當(dāng)時(shí)，遞減，取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的范圍是；當(dāng)時(shí)，的范圍是．從而，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，解不等式，得．10．設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）求證：．【答案】(1)[-3,3](2)見解析【解析】試題分析：（1）零點(diǎn)分區(qū)間分段去掉絕對(duì)值，解不等式即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得到．由1的妙用求得最值．（2）∵，∴又∵∴第四類柯西不等式1．【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解不等式；（Ⅱ）設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，其中為函數(shù)的最大值，求證：．【答案】（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，直接利用分類討論解絕對(duì)值不等式．（2）第（2）問(wèn)，利用基本不等式證明．試題解析：（1）時(shí)，，，所以或或，所以解集為．2．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）記的最大值為，證明：對(duì)任意的正數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，有成立．【答案】(1);(2)見解析．【解析】試題分析：（1）對(duì)于函數(shù)，去掉絕對(duì)值，用分段函數(shù)表示出來(lái)，再分情況解不等式，結(jié)果取并集；（2）由絕對(duì)值三角不等式，求出函數(shù)的最大值為3，根據(jù)基本不等式的推廣，證明出結(jié)論。試題解析：（1）由題知，所以，即或或解得．故原不等式的解集為．3．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最小值為，若，，均為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．【答案】（1）．（2）．【解析】試題分析：（1）先去掉絕對(duì)值，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，分類討論求得的解集．（2）根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)的最小值，再利用柯西不等式求得的最小值．試題解析：（1）．∴等價(jià)于或或．解得或．∴原不等式的解集為．4．選修4-5：不等式選講已知．（1）求證：；（2）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)見解析;(2)見解析．【解析】試題分析：由柯西不等式得，再次代入得時(shí)，取等號(hào)由（1）知，時(shí)，，此時(shí)僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)不全相等時(shí)，，此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為解析：（1）由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．（2）對(duì)于二次函數(shù)，由（1）知，時(shí)，，此時(shí)僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)不全相等時(shí)，，此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．5．[選修4-5：不等式選講]已知，，，函數(shù)的最小值為．(1)求的值；(2)證明：．【答案】（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)，即可求得的值；（2）運(yùn)用柯西不等式，結(jié)合（1），即可證明．(2)6．選修4—5:不等式選講已知，．（1）求的最小值（2）證明：．【答案】（1）3；（2）證明見解析．【解析】【試題分析】(1)利用柯西不等式求得最小值為．(2)將不等式的右邊變?yōu)?用基本不等式可求得右邊的最小值為,由此證得不等式成立．【試題解析】（2）．7．已知函數(shù)．（1）求的最大值；（2）設(shè)，且，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】試題分析：（1）法1：零點(diǎn)分段可得函數(shù)的最大值．法2：由三角不等式的性質(zhì)可得函數(shù)的最大值為．