山東省泰安市東平縣東平鎮(zhèn)中學高三數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析

山東省泰安市東平縣東平鎮(zhèn)中學高三數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.甲乙兩人從1,2,3,……15這15個數(shù)中，依次任取一個數(shù)（不放回），則在已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)的情況下，甲所取的數(shù)大于乙所取的數(shù)的概率是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用條件概率的公式求解或者轉(zhuǎn)化為古典概率求解.【詳解】設(shè)事件A=“甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)”，B=“甲所取的數(shù)大于乙所取的數(shù)”，則，，,故選C.【點睛】本題主要考查條件概率的求解，熟記條件概率的求解公式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng).2.已知，若的必要條件是，則

之間的關(guān)系是（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：A3.已知O為所在平面內(nèi)一點，滿足，則點O是的（

）A.外心

B.內(nèi)心

C.垂心

D.重心參考答案：C略4.因為某種產(chǎn)品的兩種原料相繼提價，所以生產(chǎn)者決定對產(chǎn)品分兩次提價，現(xiàn)在有三種提價方案：方案甲：第一次提價，第二次提價；方案乙：第一次提價，第二次提價；方案丙：第一次提價，第二次提價，其中，比較上述三種方案，提價最多的是A．甲

B．乙

C．丙

D．一樣多參考答案：C略5.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.若點E為邊CD上的動點，則的最小值為

(A)

(B)

(C)

(D)3

參考答案：A分析：由題意建立平面直角坐標系，然后結(jié)合點的坐標得到數(shù)量積的坐標表示，最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，，點在上，則，設(shè)，則：，即，據(jù)此可得：，且：，，由數(shù)量積的坐標運算法則可得：，整理可得：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，取得最小值.本題選擇A選項.

6.設(shè)為隨機變量，若,當時，的值為（

）3

5

7

9參考答案：D7.已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，則=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013參考答案：B【考點】等差數(shù)列的通項公式；導數(shù)的運算．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；導數(shù)的綜合應用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）=2+sinx，可設(shè)f（x）=2x﹣cosx+c，利用f（0）=﹣1，可得：f（x）=2x﹣cosx．由數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，可得an=a2+（n﹣2）×．由f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，化簡可得6a2﹣=．利用單調(diào)性可得a2，即可得出．【解答】解：∵函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）=2+sinx，可設(shè)f（x）=2x﹣cosx+c，∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0．∴f（x）=2x﹣cosx．∵數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，∴an=a1+（n﹣1）×，∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，∴6a2+﹣cosa2﹣﹣=3π，∴6a2﹣=．令g（x）=6x﹣cos﹣，則g′（x）=6+sin在R上單調(diào)遞增，又=0．∴a2=．則==2015．故選：B．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8.函數(shù)f（x）=lnx﹣+1的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】函數(shù)的圖象．【專題】計算題；導數(shù)的綜合應用．【分析】求導f′（x）=﹣=，從而可判斷f（x）在（0，4）上單調(diào)遞增，在（4，+∞）上單調(diào)遞減且f（4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0；從而解得．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣+1，∴f′（x）=﹣=，∴f（x）在（0，4）上單調(diào)遞增，在（4，+∞）上單調(diào)遞減；且f（4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0；故選A．【點評】本題考查了導數(shù)的綜合應用及函數(shù)的圖象的應用．9.已知f（x）=ex﹣x，g（x）=lnx+x+1，命題p：?x∈R，f（x）＞0，命題q：?x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，則下列說法正確的是（）A．p是真命題，￢p：?x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命題，￢p：?x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命題，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命題，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0參考答案：C【考點】全稱命題；特稱命題．【分析】利用導數(shù)和函數(shù)零點存在條件分別判斷命題p，q的真假，結(jié)合含有量詞的命題的否定進行判斷即可．【解答】解：f′（x）=ex﹣1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即當x=0時，函數(shù)f（x）取得極小值，同時也是最小值f（0）=e0﹣0=1﹣0=1＞0，∴?x∈R，f（x）＞0成立，即p是真命題．g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上為增函數(shù)，當x→0時，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，則：?x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0成立，即命題q是真命題．則￢p：?x0∈R，f（x0）≤0，￢q：?x∈（0，+∞），g（x）≠0，綜上只有C成立，故選：C10.若當時，函數(shù)始終滿足，則函數(shù)的圖象大致為（

）參考答案：知識點：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象B6B7B解析：因為當時，函數(shù)始終滿足.，所以0＜a＜1，則當x＞0時，函數(shù),顯然此時單調(diào)函數(shù)單調(diào)遞增，則選B.【思路點撥】判斷函數(shù)的圖象，通常結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、定義域、值域等特征進行判斷.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為________；參考答案：12.（5分）已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z=的實部為．參考答案：【考點】：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】：數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】：利用復數(shù)的運算法則、實部的定義即可得出．解：復數(shù)z===的實部為．故答案為：．【點評】：本題考查了復數(shù)的運算法則、實部的定義，屬于基礎(chǔ)題．13.已知變量x、y滿足條件則的最大值是______.

參考答案：614.在直角三角形ABC中，=

。參考答案：15.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有極大值又有極小值，則的取值范圍是

參考答案：16.（參數(shù)方程與極坐標選做題）在直角坐標系中,圓C的參數(shù)方程為為參數(shù)），若以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓C的極坐標方程為___參考答案：略17.（幾何證明選講選做題）已知⊙O的割線PAB交⊙O于A,B兩點，割線PCD經(jīng)過圓心，若PA=3,AB=4,PO=5，則⊙O的半徑為_______________參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，直平行六面體ADD1A1-BCC1B1中，BC=1,CC1=2,.(Ⅰ)求證：；(Ⅱ）當E為CC1的中點時，求二面角A-EB1-A1的平面角的余弦值.參考答案：(19)解：（Ⅰ）由題意知，底面由余弦定理有故有……4分而,

…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,

以為軸,為坐標原點建立坐標系,

則,

…………8分由題意知,,由勾股定理得,又,,故為的一個法向量,.設(shè)的法向量為.得一個法向量為.故

…………12分

略19.(本小題滿分12分)已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值;(2)用定義證明在上為減函數(shù).(3)若對于任意,不等式恒成立,求的范圍.參考答案：（1）

經(jīng)檢驗符合題意.

(2)任取

則=

(3)

,不等式恒成立,

為奇函數(shù),為減函數(shù),即恒成立,而20.設(shè)f（x）=cosx+﹣1．（Ⅰ）求證：當x≥0時，f（x）≥0；（Ⅱ）若不等式eax≥sinx﹣cosx+2對任意的x≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點：函數(shù)恒成立問題．專題：綜合題；導數(shù)的綜合應用．分析：（Ⅰ）求導數(shù)，證明f'（x）=x﹣sinx為增函數(shù)，從而可得f（x）在x≥0時為增函數(shù)，即可證明當x≥0時，f（x）≥0；（Ⅱ）解法一：證明以，設(shè)，證明G（x）為增函數(shù)，所以G（x）≥G（0）=0，所以ex≥sinx﹣cosx+2對任意的x≥0恒成立，再分類討論，利用不等式eax≥sinx﹣cosx+2對任意的x≥0恒成立，即可求實數(shù)a的取值范圍；解法二：因為eax≥sinx﹣cosx+2等價于ax≥ln（sinx﹣cosx+2），設(shè)g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），分類討論，即可求實數(shù)a的取值范圍．解答：（Ⅰ）證明：（x≥0），則f'（x）=x﹣sinx，設(shè)φ（x）=x﹣sinx，則φ'（x）=1﹣cosx，…（2分）當x≥0時，φ'（x）=1﹣cosx≥0，即f'（x）=x﹣sinx為增函數(shù)，所以f'（x）≥f'（0）=0，即f（x）在x≥0時為增函數(shù)，所以f（x）≥f（0）=0．

…（4分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知x≥0時，sinx≤x，，所以，…（6分）設(shè)，則G'（x）=ex﹣x﹣1，設(shè)g（x）=ex﹣x﹣1，則g'（x）=ex﹣1，當x≥0時g'（x）=ex﹣1≥0，所以g（x）=ex﹣x﹣1為增函數(shù)，所以g（x）≥g（0）=0，所以G（x）為增函數(shù)，所以G（x）≥G（0）=0，所以ex≥sinx﹣cosx+2對任意的x≥0恒成立．…（8分）又x≥0，a≥1時，eax≥ex，所以a≥1時eax≥sinx﹣cosx+2對任意的x≥0恒成立．…（9分）當a＜1時，設(shè)h（x）=eax﹣sinx+cosx﹣2，則h'（x）=aeax﹣cosx﹣sinx，h'（0）=a﹣1＜0，所以存在實數(shù)x0＞0，使得任意x∈（0，x0），均有h'（x）＜0，所以h（x）在（0，x0）為減函數(shù)，所以在x∈（0，x0）時h（x）＜h（0）=0，所以a＜1時不符合題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．…（12分）（Ⅱ）解法二：因為eax≥sinx﹣cosx+2等價于ax≥ln（sinx﹣cosx+2）…（6分）設(shè)g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），則可求，…（8分）所以當a≥1時，g'（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）是增函數(shù)，所以g（x）≥g（0）=0，即ax≥ln（sinx﹣cosx+2），即eax≥sinx﹣cosx+2所以a≥1時，eax≥sinx﹣cosx+2對任意x≥0恒成立．…（9分）當a＜1時，一定存在x0＞0，滿足在（0，x0）時，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）是減函數(shù)，此時一定有g(shù)（x）＜g（0）=0，即ax＜ln（sinx﹣cosx+2），即eax＜sinx﹣cosx+2，不符合題意，故a＜1不能滿足題意，綜上所述，a≥1時，eax≥sinx﹣cosx+2對任意x≥0恒成立．…（12分）點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查導數(shù)知識的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，難度大．21.已知橢圓的離心率e=，左、右焦點分別為F1、F2，定點，P（2，），點F2在線段PF1的中垂線上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M、F2N的傾斜角分別為α、β且α+β=π，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．參考答案：【考點】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率求得a=c，且丨F1F2丨=丨PF2丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；（Ⅱ）將直線代入橢圓方程，利用直線的斜率公式求得=，=，由+=0，結(jié)合韋達定理，即可求得m=﹣2k．則直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）．【解答】解：（Ⅰ）由橢圓C的離心率e==，則a=c，橢圓C的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），又點F2在線段PF1的中垂線上∴丨F1F2丨=丨PF2丨，∴（2c）2=（）2+（2﹣c）2，解得：c=1，則a=，b2=a2﹣c2=1，∴橢圓的方程為；（Ⅱ）證明：由題意，知直線MN存在斜率，設(shè)其方程為y=kx+m由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2），則x1+x2=﹣，x1x2=，且=，=由已知α+β=