基本不等式 均值不等式定理 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.2基本不等式教學(xué)目標(biāo)1.學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；2.能夠簡(jiǎn)單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：均值不等式定理的證明及應(yīng)用.難點(diǎn)：等號(hào)成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧.教學(xué)過(guò)程：一、知識(shí)學(xué)習(xí)：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)重要不等式為了方便同學(xué)們的學(xué)習(xí)，下面將它以定理的形式給出，并給出證明.定理1：如果a、b∈R，那么(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào))證明：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.探究：你能從幾何角度解釋定理1嗎？如果把實(shí)數(shù)a，b作為線段長(zhǎng)度，那么可以這樣來(lái)解釋定理1：以a≥b為例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.那么S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.矩形BCGH和矩形JCDI的長(zhǎng)均為a，寬為b，它們面積的和是S矩形形BCGH+S矩形JCDI=2ab.矩形BCGH和矩形JCDI的公共部分是正方形JCGK，它的邊長(zhǎng)等于b，其面積與正方形CEFG相等.所以，上述兩個(gè)矩形面積的和2ab就等于圖中陰影部分面積，它不大于正方形ABCD與正方形CEFG面積的和，即.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，兩個(gè)矩形成為兩個(gè)正方形，陰影部分面積等于正方形ABCD與正方形CEFG面積的和，即.將定理1作簡(jiǎn)單的恒等變形，就可以得到以下的基本不等式.定理2(基本不等式)如果a，b>0，那么(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào))(老師引導(dǎo)學(xué)生完成證明過(guò)程)說(shuō)明：如果a，b都是正數(shù)，我們稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù).下面我們討論基本不等式的幾何意義.例2CD是Rt△ABC中斜邊AB上的高，OC是斜邊AB上的中線，AD=a，BD=b.于是，當(dāng)a≠b時(shí)，在Rt△OCD中，斜邊CO大于直角邊CD，所以當(dāng)a=b時(shí)，Rt△ABC斜邊AB上的中線CO和高CD重合，所以綜上所述可知，基本不等式的幾何意義是：直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高.定理3如果a,b,c為正數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。證明：由上例知，定理3成立。定理4（一般形式的算術(shù)-幾何平均值不等式）如果a1,a2,···，an為n個(gè)正數(shù)，則并且當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，等號(hào)成立。二、例題講解：例3求證：(1)在所有周長(zhǎng)相同的矩形中，正方形的面積最大；(2)在所有面積相同的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最短.一般地，從基本不等式可以得到下面結(jié)論：對(duì)兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，如果它們的和S是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，它們的積P取最大值；如果它們的積P是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，它們的和S取得最小值.例4某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場(chǎng)所，它的主題造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200平方米的十字形地域.計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為每平方米4200元，在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價(jià)為每平方米210元，再在四個(gè)空角(圖中四個(gè)三角形)上鋪草坪，造價(jià)為每平方米80元.(1)設(shè)總造價(jià)為S元，AD長(zhǎng)為x米，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，S最??？并求出這個(gè)最小值.三、課堂小結(jié)：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)