10-11學年第一學期期末高代試卷(A卷)

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦10-11學年第一學期期末高代試卷(A卷)

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2022年秋學期《高等代數》試題適用班級：數學系09-3班

系班姓名學號

（說明：本試卷共四大題，共2頁，滿分100分，答題時光100分鐘，請將答案寫在答題紙上。）

一、填空題（本題共10小題，每小題3分，共30分）

1.數域P上的空間n

nP?的維數是。

2.在實二次型)(1nxxf的規(guī)范型中，正平方項的個數稱為)(1nxxf的_____慣性指數，

負平方項的個數稱為)(1nxxf的_____慣性指數，符號差等于_______________。3.n元實二次型)(1nxxf是正定的充要條件是____________________________。

4.在3

R中，)1,1,1(=α

，)1,2,1(=β

，則>=A則)(1nxxf為正定

二次型。（）

3.兩個有限集間存在雙射，則它們所含的元素個數相同。（）

4.設σ是集合M到M'的一個雙射，則σ一定可逆。（）

5.設W是線性空間V的子空間，則W的維數小于V的維數。（）

6.設21,VV是線性空間V的子空間，且維（21VV+）＝維（1V）+維（2V），則φ=?21VV。

（）

7.線性變換把線性相關的向量組變成線性相關的向量組。（）

8.全體n階實上三角矩陣，對于矩陣的加法和數量乘法構成實數域上的線性空間。（）9.數域P上的隨意兩個n維線性空間都是同構的。（）

10.設σ是數域P上線性空間V的一個數乘變換，則它在隨意一組基下的矩陣都相同，且是

一個數量矩陣。（）

三、計算題（本題共3小題，每小題8分，共24分）

1.推斷二次型3231212

32221321425),,(xxxxxxxxxxxxf+--++=是否正定。

2.在3P中，已知),,2(),,(13221321xxxxxxxx+-=σ，求σ在基)0,0,1(1=ε

，

)0,1,0(2=ε，)1,0,0(3=ε

下的矩陣。

3.在4P中，求齊次方程組??

?

??=+-+=-+-=+-+0

26033304523432143214321xxxxxxxxxxxx解空間的基與維數。

四、證實題（本題共2小題，每小題8分，共16分）

1.證實：若21VVV⊕=，22111VVV⊕=，則22211VVVV⊕⊕=

2.若A～B，C～D，證實??????CA0

0～??

?

???DB

……‥裝………訂……線……………

共6頁,第3頁共6頁,第4頁

2022年秋學期《高等代數》試題答題卡適用班級：數學系09-3班

系班姓名學號

一、填空題（本題共10小題，每小題3分，共30分）

1.n

2.正負正慣性指數與負慣性指數的差

3.正慣性指數等于n

4.

3

22

5.1410

14

73

6.1±

7.66，

01

2

121

1>-

-

，05

2

1

212

1

1

2

11>

（8分）),,(321xxxf∴是正定的。

2、解：3112)1,0,2()(εεεσ

+==（1分）

212)0,1,1()(εεεσ

+-=-=（2分）

23)0,1,0()(εεσ

==（3分）

∴線性變換σ在基)0,0,1(1=ε，)0,1,0(2=ε

，)1,0,0(3=ε下的矩陣為

???

?

??

?-=00

1110

012A（8分）

3、解：求齊次線性方程組??

?

??=+-+=-+-=+-+0

2603330

4523

432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎解系為：

……‥裝………訂……線……………

共6頁,第5頁共6頁,第6頁

)0,1,38,91(1-

=ξ

；)1,0,3

7

,926(2-=ξ（6分）而線性方程組的解空間),(21ξξ

LV=（7分）

所以解空間的基為21,ξξ

，解空間的維數為2（8分）

四、證實題（本題共2小題，每小題8分，共16分）

1、證實：若21VVV⊕=，22111VVV⊕=，則22211VVVV⊕⊕=

證實：21VVV⊕=，∴維（V）＝維（1V）+維（2V）（2分）有22111VVV⊕=，維（1V）＝維（11V）+維（22V）（4分）

∴維（V）＝維（11V）+維（22V）+維（2V）（6分）

按照維數公式：

∴22211VVVV⊕⊕=（8分）

2、證實：A～B，∴?可逆的矩陣1P使11

1APPB-=（2分）又C～D，∴?可逆的矩陣2P使21

2CPPD-=（4分）取?????

?=21

0PPP則P可逆，且???

?

?

?=121

1

100PPP（6分）∴??????DB00＝?????

?--21211100

CPPAPP＝??????--12