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2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1若,則()A. B. C. D.2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果,隨機抽取10位社區(qū)居民,讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖:則()A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準差小于講座后正確率的標(biāo)準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3.設(shè)全集,集合,則()A. B. C. D.4.如圖,網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖,網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的體積為()A.8 B.12 C.16 D.205.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為()A. B.C. D.6.當(dāng)時,函數(shù)取得最大值,則()A. B. C. D.17.在長方體中,已知與平面和平面所成的角均為,則()A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作,其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”,如圖,是以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓弧,C是的AB中點,D在上,.“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式:.當(dāng)時,()A. B. C. D.9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等,側(cè)面展開圖的圓心角之和為,側(cè)面積分別為和,體積分別為和.若,則()A. B. C. D.10.橢圓的左頂點為A,點P,Q均在C上,且關(guān)于y軸對稱.若直線的斜率之積為,則C的離心率為()A B. C. D.11.設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.設(shè)向量,的夾角的余弦值為,且,,則_________.14.若雙曲線的漸近線與圓相切,則_________.15.從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在同一個平面的概率為________.16.已知中,點D在邊BC上,.當(dāng)取得最小值時,________.三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.記為數(shù)列的前n項和.已知.(1)證明:等差數(shù)列;(2)若成等比數(shù)列,求的最小值.18.在四棱錐中,底面.(1)證明:;(2)求PD與平面所成的角的正弦值.19.甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽,比賽共設(shè)三個項目,每個項目勝方得10分,負方得0分,沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.20.設(shè)拋物線的焦點為F,點,過F的直線交C于M,N兩點.當(dāng)直線MD垂直于x軸時,.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A,B,記直線的傾斜角分別為.當(dāng)取得最大值時,求直線AB的方程.21.已知函數(shù).(1)若,求a取值范圍;(2)證明:若有兩個零點,則環(huán).(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).(1)寫出的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線極坐標(biāo)方程為,求與交點的直角坐標(biāo),及與交點的直角坐標(biāo).[選修4-5:不等式選講]23.已知a,b,c均為正數(shù),且,證明:(1);(2)若,則.2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國甲卷)數(shù)學(xué)(文科)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)集合,則()A.B.C.D.2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果,隨機抽取10位社區(qū)居民,讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖:則()A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準差小于講座后正確率的標(biāo)準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3.若.則()A.B.C.D.4.如圖,網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖,網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的體積為()A.8B.12C.16D.205.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C,若C關(guān)于y軸對稱,則的最小值是()A.B.C.D.6,從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張,則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A.B.C.D.7.函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為()A.B.C.D.8.當(dāng)時,函數(shù)取得最大值,則()A.B.C.D.19.在長方體中,已知與平面和平面所成的角均為,則()A.B.AB與平面所成的角為C.D.與平面所成的角為10.甲、乙兩個圓錐的母線長相等,側(cè)面展開圖的圓心角之和為,側(cè)面積分別為和,體積分別為和.若,則()A.B.C.D.11.已知橢圓的離心率為,分別為C的左、右頂點,B為C的上頂點.若,則C的方程為()A.B.C.D.12.已知,則()A.B.C.D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量.若,則______________.14.設(shè)點M在直線上,點和均在上,則的方程為______________.15.記雙曲線的離心率為e,寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值______________.16.已知中,點D在邊BC上,.當(dāng)取得最小值時,______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17.(12分)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營,為了解這兩家公司長途客車的運行情況,隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到下面列聯(lián)表:準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表,分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率;(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)?附:,0.1000.0500.0102.7063.8416.63518.(12分)記為數(shù)列的前n項和.已知.(1)證明:是等差數(shù)列;(2)若成等比數(shù)列,求的最小值.19.(12分)小明同學(xué)參加綜合實踐活動,設(shè)計了一個封閉的包裝盒,包裝盒如圖所示:底面是邊長為8(單位:)的正方形,均為正三角形,且它們所在的平面都與平面垂直.(1)證明:平面;(2)求該包裝盒的容積(不計包裝盒材料的厚度).20.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線也是曲線的切線.(1)若,求a:(2)求a的取值范圍.21.(12分)設(shè)拋物線的焦點為F,點,過的直線交C于M,N兩點.當(dāng)直線MD垂直于x軸時,.(1)求C的方程:(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A,B,記直線的傾斜角分別為.當(dāng)取得最大值時,求直線AB的方程.(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多
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