高數(shù)中第八章復(fù)習(xí)小結(jié)

第八章復(fù)習(xí)小結(jié)一、第一型積分

f

(p)dm

的概念(包括二、三重積分，W第一型(類)曲線積分，第一型(類)曲面積分)二、第一型積分的計(jì)算1.二重積分的計(jì)算：直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)(由過原點(diǎn)直線、圓圍成區(qū)域)三重積分的計(jì)算：直角坐標(biāo)系(投影法、截面法)被積函數(shù)為一個(gè)變量，截面積能算出柱面坐標(biāo)系由柱面、拋物面、錐面、球面圍成的區(qū)域球面坐標(biāo)系錐面、球面(球心在原點(diǎn)或坐標(biāo)軸)圍成的區(qū)域第一型曲線積分的計(jì)算(包括平面曲線、空間曲線)第一型曲面積分的計(jì)算三、應(yīng)用幾何應(yīng)用弧長、面積(平面面積、曲面面積)、體積物理應(yīng)用質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力D四、例題例1解計(jì)算2,

x

=

21x=

x,

y

=yx2D圍成．ds

.其中D

由y

Ddxy1xdyy2212x2

x

x2ds

=21=

(-

)dxyx2x1x=21.94(

x3

-

x)dx

=xD

:

1

￡

y

￡

x,

1

￡

x

￡

2.12200dx1-

x21

-

x

-

y

dy.例2

計(jì)算I

=120

0p2dj1

-

r

rdr解I

=p6=例3

計(jì)算I

=|

y

-x2

|

dxdy.D21

11220x2xdx-1-1(

y

-

x

)dy

+

dx(

x

-

y)dy

解I

=124(121115-1=-

x

+

x

)dx

=x2

+

y2例4

計(jì)算I

=(x2

+y2

)zdxdydz,其中W

由錐面z

=W與柱面x2

+y2＝1及平面z

=0圍成的區(qū)域。解法1在柱面坐標(biāo)下W

:0

￡

j

￡

2p

,

0

￡

r

￡

1,

0

￡

z

￡

r2

,20

0

02p

1

rdjdr

r

zrdzI

=

.p6=解法2（截面法）Dz

:

z2

￡

x2

+

y2

￡

1

(0

￡

z

￡

1)01I

=

dz

Dzp6=2001z1dz2pdjzr

rdzz(

x2

+

y2

)dxdy=例5

球心在原點(diǎn)，半徑為R

的球體，在其上任意一點(diǎn)的體密度與這點(diǎn)到球心的距離成正比，求這個(gè)球體的質(zhì)量.解

m

=

k

x2

+

y2

+

z2

dxdydz240

0

0RW2ppdj

dq

rr

sinqdr=

k=

kp

R

2-1f

(z)dxdydz

=

p(1

-

u

)

f

(u)du,

例6

設(shè)f

(u)為連續(xù)函數(shù)，證明：1W其中W

：x2

+y2

+z2

￡

1.W例7

計(jì)算

e

z

dv，

W

:

x2

+

y2

+

z2

￡

1.解z用截面法，D

:x2

+y2

￡

1

-z21[z|z|D(

z

)dxdy]e

dz-1e

dv

=W1-1=p

(1

-

z2

)e|z|dz=

2p.10=

2p

(1

-

z2

)ezdz例8W計(jì)算

(x

+z)dv，其中W

由z

=x2

+y2

與利用球面坐標(biāo)z

=1

-x2

-y2

所圍成的．解

W

關(guān)于yoz

面為對稱，f

(x,y,z)=x

為x

的W

xdv

=

0.奇函數(shù)，有W

W\

(

x

+

z)dv

=

zdv1200p402pdqr

cosqr

sin

qdr=

dj.p8=x2

+

y2

+z2

￡t

2I

=

lim

1f

(

x2

+

y2

+

z2

)dvt

fi

＋0

t

5例9

設(shè)

f

(u)

連續(xù)，且

f

(0)

=

0,

f

￠(0)

=

1,求極限2

2500

0t2pp

tdjdqf

(r

)r

sin

qdrtfi

＋0解

I

=

lim

105tf

(r

2

)r

2drt4p

5=

lim=2p2tfi

＋0例10

設(shè)D由y

=

0,

y

=

x2

,

x

=1圍成的區(qū)域，f

(x,

y)連續(xù)，且f

(x,

y)

=

xy

+

f

(x,

y)dxdyD求f

(x,y)。x2

+

y2

+z2

￡t

2I

=

lim

1f

(

x2

+

y2

+

z2

)dvt

fi

＋0

t

5例9

設(shè)

f

(u)

連續(xù)，且

f

(0)

=

0,

f

￠(0)

=

1,求極限2

2500

0t2pp

tdjdqf

(r

)r

sin

qdrtfi

＋0解

I

=

lim

105tf

(r

2

)r

2drt4p

5=

lim=2p2tfi

＋01

11300[16yxxdxf

(

x)dx]dy f

(

x)

f

(

y)

f

(z)dz

=

例10

設(shè)f

(x)在[0,1]上連續(xù)，證明：02f

(

x,

y)dy.

(a

>

0)2ax2ax-

x2a例12

更換積分次序

I

=

dx解D

:

2ax

-

x

2

￡

y

￡

2ax

,

0

￡

x

￡

2a,如圖，將積分區(qū)域D

分成D1

,D2

及D3

三部分,D2D13Dy2D1:

2a

￡

x

￡

a

-a2

-

y2

,

0

￡

y

￡

a;y2D2

:

2a

￡

x

￡

2a,

a

￡

y

￡

2a;3D

:

a

+a2

-

y2

￡

x

￡

2a,

0

￡

y

￡

a;0002

22

2aa+

a

-

ya2a2ay2aa-

a2

-

y22ayaf

(

x,

y)dx.2

f

(

x,

y)dx

+

dy+

dyf

(

x,

y)dxdy故

I

=例812[020

0

0

xxv

u(

x

-

t

)

f

(t

)dt.(

f

(t

)dt)du]dv

=證明證

思路：從改變積分次序入手．

tv

u

v

v000du f

(t

)dt

=

dt f

(t

)du=v0(v

-

t

)

f

(t

)dt,

\vxv

u

xdv000

0

0(v

-

t

)

f

(t

)dt(

f

(t

)dt)du]dv

=[

=xx

t

0dt

(v

-

t

)

f

(t

)dv1202=x(

x

-

t

)

f

(t

)dt.一、選擇題:1、

dx01 1-

x0(A)10dy1-

xf

(

x,

y)dx

；

(B)

dy1-

x010(C)1010

0dyf

(

x,

y)dx

；

(D)dy1-

y010f

(

x,

y)dx

；f

(

x,

y)dx

.2、設(shè)D

為x

2

+

y

2

￡

a

2

,當(dāng)a

=(

)時(shí),Da2

-

x2

-

y2

dxdy

=

p.(A) 1

；

(B)3；(C)334；

(D)33212.測驗(yàn)題f

(

x,

y)dy

=(

)3、當(dāng)D

是(D)圍成的區(qū)域時(shí),二重積分

dxdy

=1.(A)

x

軸,

y

軸及2

x

+

y

-

2

=

0；(B)

x

=

1

,

y

=

1

；2

3(C)

x

軸,

y

軸及x

=

4,

y

=

3；(D)

x

+

y

=

1,

x

-

y

=

1.4、

xe

xy

dxdy

的值為(D).其中區(qū)域?yàn)镈0

￡

x

￡

1,-1

￡

y

￡

0.(A)1e；(B)

e

；e(C)

-

1；(D) 1

.=a

2

所5、設(shè)I

=

(x

2

+y

2

)dxdy,其中D

由x

2

+y

2D圍成,則I

=(

).(A)02

40a rdr

=

pdq2p

aa

;(B)02012ar rdr

=dq

2ppa4

;(C)320

032ar dr

=dq2ppa

;(D)20

0adq2pa adr

=

2pa4.W6、設(shè)W

是由三個(gè)坐標(biāo)面與平面x

+

2

y

-

z

=1

所圍成的空間區(qū)域,則

xdxdydz=(

).(A)148-

1；(C)24481；

(B)；

(D)24-

1.7、設(shè)W

是錐面c

2z

2

x

2

y

2=

+

(a

>0,b

>0,c

>0)與平面a

2

b

2x

=0,y

=0,z

=c

所圍成的空間區(qū)域在第一卦限的W部分,則

xy

dxdydz

=(

).(A)361

a2b2zc

；

(B)361

a

2b2b

；(C)1

b2c236

361

ca

；

(D)

ab

.8、計(jì)算I

=

zdv

,其中W

為z

2

=

x

2

+

y

2

,

z

=

1圍成的W立體,則正確的解法為(

)和(

).9、曲面z

=x

2

+

y

2

包含在圓柱x

2

+

y

2

=

2

x

內(nèi)部的那部分面積s

=(

).(A)

3p；(C)

5p；(B)

2p；(D)

2

2p.10、由直線x

+y

=2,x

=2,

y

=2所圍成的質(zhì)量分布均勻

(設(shè)面密度為m

)的平面薄板,關(guān)于x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I

x

=(

).(A)

3m

；(C)

4m

；(B)

5m

；(D)

6m

.1012prdrdq=1102p0rrdrdqzdz

；(B)

Izdz

；10102p0dzdq(A)

I

=(C)

I

=

z2p10

r

0

0

0rdr

；

(D)

I

=

dz

dq

zrdr

.二、計(jì)算下列二重積分:1、(x

2

-y

2

)ds

,其中D

是閉區(qū)域:DxD0

￡

y

￡

sin

x,0

￡

x

￡

p

.2、

arctan

y

ds

,其中D

是由直線y

=0及圓周x

2

+y

2

=4,x

2

+y

2

=1,y

=x

所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.3、(y

2

+3

x

-6

y

+9)ds

,其中D

是閉區(qū)D域:x

2

+y

2

￡

R

24、

x

2

+

y

2

-

2

ds

,其中D

:

x

2

+

y

2

￡

3.D三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序:1、

dydy3-

y03101 2

y0f

(

x,

y)dx

+f

(

x,

y)dx

；2、11+

1-

x

2dxf

(

x,

y)dy

；3、xq0

0dq0af

(r

cosq

,

r

sinq

)rdr

.

yxx四、將三次積分

dx

dy1

10f

(x,y,z)dz

改換積分次序?yàn)閃x

fi

y

fi

z

.五、計(jì)算下列三重積分:1、

y

cos(

x

+

z)dxdydz,

W

:拋物柱面y

=

x2及平面y

=o,z

=o,x

+z

=p

所圍成的區(qū)域.W2、(y

2

+z

2

)dv,其中W

是由xoy

平面上曲線y

2=2

x

繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面x

=5所圍成的閉區(qū)域.3、Wx

2

+

y

2

+

z

2

+

1z

ln(

x

2

+

y

2

+

z

2

+

1)dv,其中W

是由球面x

2

+y

2

+z

2

=1所圍成的閉區(qū)域.z六、求平面

x

+

y

+

=

1被三坐標(biāo)面所割出的有限部分a

b

c