高數課件第十一章

第六節(jié)高斯公式*通量與散度1一、高斯公式二、通量與散度復習SWPdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy+

+

dv

=

?P

?Q

?R

?x

?y

?z

(

P

cosa

+

Q

cos

b

+

R

cosg)ds+

+

dv

=

?P

?Q

?R

?x

?y

?z

SW或2其中S是取外側，cos

a

,cos

b

,cos

g

是S上點(x

,y,z

)處法向量的方向余弦.一、高斯公式定理設空間閉區(qū)域W

由分片光滑的閉曲面S

所圍成，函數P

(x

,y

,z

),Q

(x

,y

,z

),R

(x

,y

,z

)在W

上具有一階連續(xù)偏導，則3S

1xy例3

I

=

xz

2

dydz

+

(

x

2

y

-

z

3

)dzdx

+

(2

xy

+

y

2

z)dxdyS其中S

是上半球面z

=a2

-x2

-y2

的下側.zS解1添加曲面S

:

z

=

0(

x2

+

y2

￡

a2

),

取上側.S+S1Wdq2p0=

-525p

a2

y

-

z

3

)dzdx

+

(2

xy

+

y2

z)dx

2

+

y2

)

dvp

a0

02

dj

r

2

r

2

sin

j

dr

=

-

xz2dydz+(

x2

y

-

z3

)dzdx+(2xy

+

y2

z)dxdyS1=

2

xydxdy

=

0

S+S1

S1\

I

=5-

=

-

2

p

a

5

xz

2dydz

+(x

注：應用高斯公式，xdy曲面不滿足封閉時，=-

(z

2

+可添加輔助面，構成封閉曲面。一般添加的是有向的平行于相應坐標面的平面。邊界D曲xy

面取外側本題曲面為內側高斯公式要求23pa

5+

x

2

+

y

2

)dv

=

-

a

2

dv

=

-W-

(z

2W即F

=

A

n

dsS=

(

P

cosa

+

Q

cos

b

+

R

cosg)dsS=

Pdydz

+

Qdzdx

+

RdxdyS二、通量與散度設某向量場由A

=P(x,y,z)i

+Q(x,y,z)j

+R(x,y,z)k

給出，其中P

,Q,R具有一階連續(xù)偏導，S是場內的一片有向曲面，n是S上點(

x,

y,

z)處的單位法向量，則

A

n

ds

叫做向量場

A

通過曲S面S向著指定側的通量或流量F

,4稱

?P

+

?Q

+

?R

為向量場

A的散度.

記作div

A?x

?y

?z即div

A

=

?P

+

?Q

+

?R?x

?y

?zSW5顯然，高斯公式可寫成

A

nds

=

div

Adv第七節(jié)

斯托克斯公式6*環(huán)流量與旋度一、斯托克斯公式二、環(huán)流量與旋度一、斯托克斯公式定理-

dydz

+

-

dzdx

+

-

dxdy

?y

?z

?z

?x

?x

?y

?R

?Q

?P

?R

?Q

?P

SG7=

Pdx

+

Qdy

+

Rdz斯托克斯公式(Stokes)設G為分段光滑的空間有向閉曲線，S

是以G為邊界的分片光滑的有向曲面，G的正向與S的側符合右手規(guī)則，函數P

(x,y,z

),

Q

(x,y,z

),

R(x,y,z)在包含曲面S

在內的一個空間區(qū)域內有一階連續(xù)偏導，則右手規(guī)則：右手四指以G

上的方向繞行，大拇指所指方向與S法向量方向相同，此時稱G

是有向曲面S

的正向邊界曲線.S=

Pdx

+

Qdy

+

RdzGdydz

dzdx

dxdy?

?

??x

?y

?zP

Q

R或Sds

=

Pdx

+

Qdy

+

RdzGcosa

cos

b

cosg?

?

??x

?y

?zP

Q

R注斯托克斯公式也可寫成:8n

={cosa

,cos

b

,cosg}為S

上的單位法向量.解xz11

y1G

zdx

+

xdy

+

ydz=

Sdydzdzdxdxdy????x?y?zzxyS=

dydz

+

dzdx

+

dxdyS

:

z

=

1

-

x

-

y3cos

b

=

1

33cosg

=

1

cosa

=

1 SDxy3=

3

dxdy

=

3

dxdy

=

2例1

利用斯托克斯公式計算9Gzdx

+

xdy

+

ydz,其中G為平面x

+y

+z

=1被三個坐標面截成的三角形的整個邊界,其正向與三角形上側的法向量符合右手法則。3例2

計算2(

y2

-

z2

)dx

+(z2

-

x2

)dy

+(

x2

-

y

)dz,I

=G其中是由G面所得的截痕,若從x

軸正向看去,

取逆時針方向.?dsI

=

S?x

?y

?zy

2

-

z

2

z

2

-

x

2

x

2

-

y

21

/

3 1

/

3 1

/

3?

?Sxy3

23

D=-

4

(x

+

y

+

z)ds

=

-

4

3yxo11/2Dxy1/2

13dxdy

=

-6(1-2

1)

=-

98

2z

= -

x

-

y,2由斯托克斯公式解Gy平面x

+y

+z

=3/2截立方體:0

￡

x

￡

1,0

￡

y

￡

1,0

￡

z

￡

1

的表z11o1xS被G

所圍成的部分.cosg

=

cosa

=

cos

b

=

110取S

為平面x

+y

+z

=3/2的上側3取S為平面z

=2的上側被G所圍部分.由斯托克斯公式得G23

ydx-

xzdy+

yz

dzS=dydzdzdxdxdy????x?y?z3

y-

xzyz2=

(z

2

+

x)dydz

+

(-z

-

3)dxdySDxyS=

-

(z

+

3)dxdy

=

-

(2

+

3)dxdy

=

-5s

xy

=

-20p例3

利用斯托克斯公式計算2GG3

ydx

-xzdy

+yz

dz,其中是若從z

軸正向看去,取逆時針方向.圓周x

2

+y

2

=2z,z

=2,解x2

yo2zS

G11另解:

cosa

=

cos

b

=

0, cosg

=

1G2S?=

?xds?y

?z3

y

-

xz yz

213

ydx

-

xzdy

+

yz

dz0

0?

?=(-z

-3)ds

=

-20pSx2

yzo2S

G12解SG?

dSI

=

ydx

+

zdy

+

xdz

=

3

3

3?

??x

?y

?zy

z

x1

1

1nS

:

x

+

y

+

z

=1,

取上側.

S

指定側的法向量為:

=

{1,1,1},3法向量的方向余弦為:cosa

=cosb

=cosg

=1S=

-

3dS

=

-

3S66

322cos

p

=r

=p32

32

=

-

3

6

=

-

3

p

?r例4

計算I

=Gydx

+zdy

+xdz,

其中G為曲線,x

+

y

+

z

=

1x2

+

y2

+

z2

=1其方向是從z

軸的正向看去為逆時針.由stokes公式,得S為曲線G

所圍圓的面積.Oxy1z

11???13二、環(huán)流量與旋度設有向量場A

={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)},stokes公式為：

?x

?y

-

dydz

+

-

dzdx

+

-

dxdy

?y

?z

?z

?x

?R

?Q

?P

?R

?Q

?P

SG=

Pdx

+

Qdy

+

Rdz

?y

?z

?z

?x

?x

?y

為向量場A

的旋度.ijk????x?y?zPQR稱rot

A

=

?R

-

?Q

,

?P

-

?R

,

?Q

-

?P

=14

Pdx

+

Qdy

+

RdzGijk????x?y?z2z

-

3

y3

x

-

zy

-

2

x=

2i

+

4

j

+

6k稱為向量場A沿有向閉曲線G的環(huán)流量。例5

設向量場

A

=

(2z

-

3

y)i

+

(3

x

-

z)

j

+

(

y

-

2

x)k,

求rot

AP2483(1)解

rot

A

=15G解

(-y)dx

+xdy

+2dz?

dS=

S0

0

1