線性系統(tǒng)的根軌跡分析法

線性系統(tǒng)的根軌跡分析法第一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三回顧與展望線性系統(tǒng)分析的三種方法：時(shí)間域法根軌跡法頻域法時(shí)間域法：特點(diǎn)：直觀、準(zhǔn)確，能提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。內(nèi)容：穩(wěn)定性分析－充要條件（閉環(huán)系統(tǒng)特征根均具有負(fù) 實(shí)部） 勞斯穩(wěn)定判據(jù)（勞斯表首列各值為正）－用閉環(huán)特 征方程構(gòu)造勞斯表赫爾維茨判據(jù)（行列式法）－用閉環(huán)特征方程構(gòu)造 行列式第二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三準(zhǔn)確性分析－穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算動(dòng)態(tài)性能分析－系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能隨系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)位置變化的規(guī)律；附加開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響；附加閉環(huán)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。2、根軌跡法－分析和設(shè)計(jì)LTI系統(tǒng)的圖解方法，使用十分簡(jiǎn)便， 特別在進(jìn)行多回路系統(tǒng)分析時(shí)，應(yīng)用根軌跡法比用 其它方法更為方便，因此在工程實(shí)踐中獲得了廣泛 應(yīng)用。第三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三學(xué)習(xí)目的及要求：

掌握根軌跡的基本概念掌握控制系統(tǒng)根軌跡的繪制方法能夠運(yùn)用根軌跡法對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析明確等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，能正確繪制出不同參量變化對(duì)系統(tǒng)根軌跡圖第四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：根軌跡的繪制

利用根軌跡分析控制系統(tǒng)關(guān)鍵點(diǎn)：特征方程幅值條件，相角條件第五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三學(xué)習(xí)方法通過具體習(xí)題練習(xí)

掌握根軌跡繪制方法，不要死記硬背各種繪制法則，要多總結(jié)歸納典型極、零點(diǎn)分布對(duì)根軌跡的大致圖形。學(xué)會(huì)利用MATLAB軟件繪制系統(tǒng)根軌跡的方法。用學(xué)習(xí)第六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三一、根軌跡的概念根軌跡：開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根（閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)）在S平面上變化的軌跡。ks(0.5s+1)例試分析右圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式的根隨系統(tǒng)開環(huán)增益K的變化在S平面的分布情況?！?－1根軌跡法的基本概念第七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三K=0時(shí)，s1=0,s2=－20＜k＜0.5時(shí)，兩個(gè)負(fù)實(shí)根；若s1=－0.25,s2=?K=0.5時(shí)，s1=s2=－10.5＜k＜∞時(shí)，s1,，2=－1±j√2k－1特征根：s1,2=－1±√1－2k特征方程：S2+2s+2k=0第八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三-2-10j-1-221K=0K=0K=0.5K=1K=1K=2.5K=2.5KK注意：K一變，一組根變；K一停，一組根停；一組根對(duì)應(yīng)同一個(gè)K；根軌跡與系統(tǒng)的性能1、穩(wěn)定性2、穩(wěn)態(tài)性3、動(dòng)態(tài)性能第九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、閉環(huán)零極點(diǎn)與開環(huán)零極點(diǎn)之間的關(guān)系通常系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)是已知的，因此建立開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系，有助于閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的繪制。R(s)C(s)G(s)H(s)第十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益＝開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。當(dāng)H(S)=1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益＝開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。2)閉環(huán)零點(diǎn)的組成：開環(huán)前向通路的零點(diǎn)、反饋通路的極點(diǎn)。當(dāng)H(S)=1時(shí)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。3)閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益K*有關(guān)。第十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三根軌跡法的基本任務(wù)：如何由已知的開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)，并根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析。一旦確定閉環(huán)極點(diǎn)后，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定，可直接由下式求得：在已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可利用拉氏反變換的方法求出，或利用計(jì)算機(jī)直接求解。第十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、根軌跡方程系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)即為特征方程的解：根軌跡方程只要系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可以化為此形式，都可以繪制根軌跡，其中處于變動(dòng)地位的實(shí)參數(shù)，不限定是根軌跡增益K*，也可以是其它變動(dòng)參數(shù)。但是開環(huán)零極點(diǎn)的在S平面的位置必須是確定的，否則無(wú)法繪制根軌跡。第十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三模值條件相角條件第十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

綜上分析，可以得到如下結(jié)論：⑴繪制根軌跡的相角條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的大小無(wú)關(guān)。即在s平面上，所有滿足相角條件點(diǎn)的集合構(gòu)成系統(tǒng)的根軌跡圖。即相角條件是繪制根軌跡的充要條件。⑵繪制根軌跡的幅值條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值的大小有關(guān)。即值的變化會(huì)改變系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的位置。⑶在系數(shù)參數(shù)全部確定的情況下，凡能滿足相角條件和幅值條件的s值，就是對(duì)應(yīng)給定參數(shù)的特征根，或系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。⑷由于相角條件和幅值條件只與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)，因此，已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)便可繪制出根軌跡圖。第十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三§4－2常規(guī)根軌跡的繪制法則

通常，我們把以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做普通根軌跡（或一般根軌跡）。繪制普通根軌跡的基本法則主要有8條：根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)；根軌跡的分支數(shù)、對(duì)成性和連續(xù)性；實(shí)軸上的根軌跡；根軌跡的漸近線；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)；根軌跡的起始角和終止角；根軌跡與虛軸的交點(diǎn);根之和。第十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三法則一根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)幅值條件可寫成

當(dāng)，必須有此時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)相同(重合)，我們把開環(huán)極點(diǎn)稱為根軌跡的起點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益。當(dāng)時(shí)，必須有，此時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)相同(重合)，我們把開環(huán)零點(diǎn)稱為根軌跡的終點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益。第十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三下面分三種情況討淪。1．當(dāng)m=n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。2．當(dāng)m<n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)(稱為有限零點(diǎn))外，還有n-m條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無(wú)限零點(diǎn))。3．當(dāng)m>n時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)(稱為有限極點(diǎn))外，還有m-n條根軌跡起始于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無(wú)限極點(diǎn))。這種情況在實(shí)際的物理系統(tǒng)中雖不會(huì)出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中。第十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)（)；如果開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則有n-m條根軌跡終止于s平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處(無(wú)限零點(diǎn))，如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于s平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處(無(wú)限極點(diǎn))。第十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三法則二根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱性根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在S平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益(實(shí)變量）與復(fù)變量s有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，當(dāng)由零到無(wú)窮大連續(xù)變化時(shí)，描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量s在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，根軌跡是n條連續(xù)的曲線。由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，若它的特征方程有復(fù)數(shù)根，一定是對(duì)稱于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是對(duì)稱于實(shí)軸的。結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的曲線。第二十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三法則三實(shí)軸上的根軌跡若實(shí)軸上某線段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段是實(shí)軸上的根軌跡。例設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中、、、、為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，為共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)，它們?cè)趕平面上的分布如圖4-4所示，試分析實(shí)軸上的根軌跡與開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系。第二十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三解：實(shí)軸上的根軌跡必須滿足繪制根軌跡的相角條件，即在確定實(shí)軸上的根軌跡上時(shí)，可以不考慮復(fù)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)相角的影響。選擇so作為試驗(yàn)點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)到s0點(diǎn)的向量的相角為θi開環(huán)零點(diǎn)到s0點(diǎn)的向量的相角為Φi實(shí)軸上，s0點(diǎn)左側(cè)的開環(huán)極點(diǎn)P4和開環(huán)零點(diǎn)z3構(gòu)成的向量的夾角均為零度，而s0點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)零點(diǎn)z1

、z2和開環(huán)零點(diǎn)p1構(gòu)成的向量的夾角均為180o。若s0為根軌跡上的點(diǎn)，必滿足p1p2p3p4z1s0j0θ1=Φ2=θ2Φ3=0z3θ3Φ1=θ4=0z2結(jié)論：只有s0點(diǎn)右側(cè)實(shí)軸上的開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足相角條件。第二十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三法則四根軌跡的漸近線當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此，浙近線也有n-m條，且它們交于實(shí)軸上的一點(diǎn)。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)位置和與實(shí)軸正方向的交角分別為第二十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為

開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=2,開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m=0,n-m=2,兩條漸近線在實(shí)軸上的交點(diǎn)位置為

它們與實(shí)軸正方向的交角分別為第二十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。解對(duì)于該系統(tǒng)有n=4，m=1，n-m=3；三條漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)位置為

它們與實(shí)軸正方向的交角分別是

swj-4-3-2-10BCAas60o60o300oas180o第二十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三法則五根軌跡的分離點(diǎn)和分離角分離點(diǎn)：兩條或兩條以上的根軌跡分支在S平面上相遇又立即分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)。若根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間（其中一個(gè)可以是無(wú)限極點(diǎn)），則在這兩個(gè)極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)分離點(diǎn)；若根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間（其中一個(gè)可以是無(wú)限零點(diǎn)），則在這兩個(gè)零點(diǎn)之間也至少有一個(gè)分離點(diǎn)。如圖4-5上的分離點(diǎn)d1和d2。分離點(diǎn)也可能以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上，如圖4-6中的分離點(diǎn)A和B。顯然，復(fù)平面上的分離點(diǎn)表明系統(tǒng)特征方程的根中至少有兩對(duì)相等的共軛復(fù)根存在。d1d2圖4-5實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)圖4-6復(fù)平面上的分離點(diǎn)AB第二十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三根軌跡的分離點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的等實(shí)根（實(shí)軸上的分離點(diǎn)）或等共軛復(fù)根（復(fù)平面上的分離點(diǎn)）系統(tǒng)的特征方程可寫成分離點(diǎn)方程分離點(diǎn)方程的另一種形式當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)無(wú)有限零點(diǎn)時(shí)，則上式應(yīng)寫為：分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向與分離點(diǎn)的切線方向之間的夾角。第二十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點(diǎn)。若在這些根中有共軛復(fù)根，如何判斷是否在根軌跡上，是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，由于只有當(dāng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布非常對(duì)稱時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)復(fù)平面上的分離點(diǎn)（如圖4-6所示）.因此，用觀察法可大體上判斷，然后將其代入特征方程中驗(yàn)算，即可確定。例如：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為時(shí)，系統(tǒng)根軌跡分離點(diǎn)方程為：解方程得：d＝－1，由于實(shí)軸上的根軌跡為（－2，0）段，由此可見d=－1位于根軌跡上，故，根軌跡分離點(diǎn)為：d＝－1第三十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例4－1設(shè)某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制其概略根軌跡。解：1）由規(guī)則1)、2)可知：共有3條根軌跡，分別始于S=0、S＝－2、S＝－3其中一條止于S＝－1處，兩條趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。2）實(shí)軸上的根軌跡：(-1,0)、（－3，－2）。3）漸近線：4）分離點(diǎn)：swj0-3-2-1第三十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求出系統(tǒng)根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)。解本系統(tǒng)無(wú)有限開環(huán)零點(diǎn)，其根軌跡分離點(diǎn)坐標(biāo)滿足：

解方程得：

由規(guī)則五知，實(shí)軸上的根軌跡為-1到-2線段和-3到-∞線段。不在上述兩線段上，應(yīng)舍去。是實(shí)軸根軌跡上的點(diǎn)，所以是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。運(yùn)用前面的六條規(guī)則，可繪制如圖4-7所示的根軌跡圖。第三十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三法則六根軌跡的起始角和終止角當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點(diǎn)或零點(diǎn)時(shí)，根軌跡是沿著什么方向離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的呢？這就是所謂的起始角和終止角問題,先給出定義如下：⑴起始角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。⑵終止角：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。第三十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三法則七根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。這時(shí)，用s=j代入特征方程可得:由此可得虛部方程和實(shí)部方程：解虛部方程可得角頻率c，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)值；用c代入實(shí)部方程，可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值Kc。Kc的物理含義是使系統(tǒng)由穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）變?yōu)椴环€(wěn)定（或穩(wěn)定）的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值。它對(duì)如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。第三十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。1-1-1-20swj-3解：1）確定實(shí)軸上的根軌跡：2）確定根軌跡的漸近線：3）確定根軌跡的分離點(diǎn)：第三十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三1-1-1-20swj-34）確定根軌跡的起始角：量測(cè)各向量相角，得：5）確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：第三十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三以上七條規(guī)則是繪制根軌跡圖所必須遵循的基本規(guī)則。此外，尚須注意以下幾點(diǎn)規(guī)范畫法。⑴根軌跡的起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn)Pi)用符號(hào)“X”標(biāo)示；根軌跡的終點(diǎn)(開環(huán)零點(diǎn)Zi)用符號(hào)“o”標(biāo)示。⑵根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益K*值的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。⑶要標(biāo)出一些特殊點(diǎn)的K*值，如起點(diǎn)（K*=0)，終點(diǎn)（K*

)；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)d(K*=K*d)；與虛軸的交點(diǎn)c（K*=Kc）。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn)S1及其對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益K1，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合。第三十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三繪制根軌跡圖示例例4－7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。解（1）該系統(tǒng)的特征方程為

這是一個(gè)三階系統(tǒng)，由規(guī)則一知，該系統(tǒng)有三條根軌跡在s平面上。⑵由規(guī)則二知，三條根軌跡連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。⑶根軌跡的起點(diǎn)是該系統(tǒng)的三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，即 P1=0P2=-1P3=-2由于沒有開環(huán)零點(diǎn)（m=0）,三條根軌跡的終點(diǎn)均在無(wú)窮遠(yuǎn)處。第四十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)k=0時(shí)

當(dāng)k=1時(shí)

當(dāng)k=2時(shí)⑷由規(guī)則四知，可求出根軌跡三條漸近線的交點(diǎn)位置和它們與實(shí)軸正方向的交角。第四十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三⑸由規(guī)則五知，實(shí)軸上的根軌跡為實(shí)軸上P1到P2的線段和由P3至實(shí)軸上負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)線段。⑹由規(guī)則六知，根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）是方程

解的合理值，解得

不在實(shí)軸的根軌跡上，舍去；實(shí)際的分離點(diǎn)應(yīng)為⑺無(wú)復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，不存在起始角和終止角。第四十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三解虛部方程得其中1=0是開環(huán)極點(diǎn)P1對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值，它是根軌跡的起點(diǎn)之一。合理的交點(diǎn)應(yīng)為將代入實(shí)部方程得到對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值Krc=6。繪制出該系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-11所示。⑻由規(guī)則八，可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)c及對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值Krc。用s=j代入特征方程得第四十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三swj-1-20()01=rKP()03=rKP)(02=rKPrK1d+60o-60o第四十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三解(1)是一個(gè)二階系統(tǒng)，在S平面上有兩條連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的根軌跡。(2)由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)有一個(gè)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)z1=-2和一對(duì)開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)P1,2=-1±j,根軌跡的起點(diǎn)為P1(Kr=0)和P2(Kr=0)，其終點(diǎn)為Z1(Kr)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。(3)由規(guī)則五知，實(shí)軸上由-2至-∞的線段為實(shí)軸上的根軌跡。(4)由規(guī)則六，可求出根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）。分離點(diǎn)方程是例4-8已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

第四十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三即解方程可得d2=-0.586不在實(shí)軸上的根軌跡上，舍去，實(shí)際的分離點(diǎn)為d1。⑸由規(guī)則七，可求出開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)（根軌跡的起點(diǎn)）的起始角。第四十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三證明已知系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為，，令s=u+jv為根軌跡的任一點(diǎn)，由相角條件可得

將s、、和代入得即應(yīng)用三角公式（6）為準(zhǔn)確地畫出S平面上根軌跡的圖形，運(yùn)用相角條件可證明本系統(tǒng)在S平面上的根軌跡是一個(gè)半徑為，圓心位于點(diǎn)（－2，j0)的圓弧。第四十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三將上式等號(hào)左邊合并可得到

將上式等號(hào)兩邊取正切，則有方程表示在S平面上的根軌跡是一個(gè)圓心位于點(diǎn)（－2，j0)、半徑為的圓弧。由此，可畫出根軌跡的準(zhǔn)確圖形如圖4-12所示。第四十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三由本例不難發(fā)現(xiàn)，由兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)組成的二階系統(tǒng)，只要實(shí)零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)之間，當(dāng)開環(huán)根軌跡增益由零變到無(wú)窮大時(shí)，復(fù)平面上的閉環(huán)根軌跡，是以實(shí)零點(diǎn)為圓心，以實(shí)零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓（當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)時(shí)）或圓的一部分（當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)）。這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格證明可參照本例進(jìn)行。第四十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三前面介紹的普通根軌跡或一般根軌跡的繪制規(guī)則是以開環(huán)根軌跡增益K*為可變參數(shù)的，大多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況。但有時(shí)候，為了分析系統(tǒng)方便起見，或著重研究某個(gè)系統(tǒng)參數(shù)(如時(shí)間常數(shù)、反饋系數(shù)等)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，也常常以這些參數(shù)作為可變參數(shù)繪制根軌跡，我們把以非開環(huán)根軌增益作為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做參數(shù)根軌跡(或廣義根軌跡)。一.參數(shù)根軌跡§4－3廣義根軌跡第五十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例4-10已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制以時(shí)間常數(shù)T為可變參數(shù)的根軌跡。解⑴系統(tǒng)的特征方程或

第五十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三令

則有：

為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中，除時(shí)間常數(shù)T取代了普通根軌跡中開環(huán)根軌跡增益的位置外，其形式與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)完全一致，這樣便可根據(jù)繪制普通根軌跡的七條基本規(guī)則來繪制參數(shù)根軌跡。

(2)系統(tǒng)特征方程的最高階次是3，由規(guī)則一和規(guī)則二知，該系統(tǒng)有三條連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的根軌跡，根軌跡的終點(diǎn)(T=∞)是等效開環(huán)傳遞函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，即Z1=Z2=0，Z3=-1；本例中，系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)m=3,極點(diǎn)數(shù)n=2，即m＞n。第五十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三與n＞m情況類似，這時(shí)可認(rèn)為有m-n條根軌跡起始于S平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處（無(wú)限極點(diǎn)）。因此，本例的三條根軌跡的起點(diǎn)(T=0)分別為P1=-0.5+j0.866，P2=-0.5-j0.866，和無(wú)窮遠(yuǎn)處（無(wú)限極點(diǎn)）。

由規(guī)則六可求出兩個(gè)起始角分別為由規(guī)則三知，實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上-1至-∞線段。第五十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三由規(guī)則七可求出根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用s=j代入特征方程得由此得到虛部方程和實(shí)部方程分別為解虛部方程得的合理值為，

代入實(shí)部方程求Tc=1秒，所以c=1為根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)。第五十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖4-14例4-10系統(tǒng)的根軌跡圖第五十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三由根軌跡圖可知，時(shí)間常數(shù)T=Tc=1秒時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，T>1秒時(shí)，根軌跡在S平面右半部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可知，參數(shù)根軌跡在研究非開環(huán)根軌跡增益對(duì)系統(tǒng)性能的影響是很方便的。由上面的例子，可將繪制參數(shù)根軌跡的方法歸納為下述兩個(gè)步驟：(1)先根據(jù)系統(tǒng)的特征方程1+G(s)H(s)=0求出系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)G’(s)H’(s)，使G’(s)H’(s)與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)有相同的形式，即第五十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三其中為除開環(huán)根軌跡增益以外的任何參數(shù),它是繪制參數(shù)根軌跡的可變參數(shù)。⑵根據(jù)繪制普通根軌跡的七條基本規(guī)則和等效開環(huán)傳遞函數(shù)繪制出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。（注：此處的零極點(diǎn)是等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)）第五十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二正反饋系統(tǒng)的根軌跡正反饋系統(tǒng)的特征方程是即由此可得到繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件分別為

與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件相比知，正反饋系統(tǒng)和負(fù)反饋系統(tǒng)的幅值條件相同；第五十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡遵循180°相角條件，而正反饋系統(tǒng)的根軌跡遵循0°相角條件。故正反饋系統(tǒng)根軌跡又稱為零度根軌跡。由于相角條件不同，在繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡時(shí)，須對(duì)前面介紹的繪制負(fù)反饋系統(tǒng)普通根軌跡的七條基本規(guī)則中與相角條件有關(guān)的三條規(guī)則作相應(yīng)修改，這些規(guī)則是:(1)正反饋系統(tǒng)根軌跡的漸近線與實(shí)軸正方向的夾角應(yīng)為

第五十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三⑵正反饋系統(tǒng)在實(shí)軸上的根軌跡是那些在其右側(cè)的開環(huán)實(shí)零點(diǎn)和開環(huán)實(shí)極點(diǎn)的總數(shù)為偶數(shù)或零的線段。⑶正反饋系統(tǒng)的起始角和終止角應(yīng)為

下面通過示例進(jìn)一步說明正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法。第六十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例4-11已知正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

解：由修改后的規(guī)則三知，實(shí)軸上的根軌跡是由0至+∞線段和由-1至-2線段。由修改后的規(guī)則四知，漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別是0°（k=0）、120°（k=1）和-120°（k=2）。第六十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

在例4-7中，由規(guī)則五求出的極值方程的解有兩個(gè)，即d1=-0.42和d2=-1.58，對(duì)于例4-7的負(fù)反饋系統(tǒng)，d1是根軌跡與實(shí)軸交點(diǎn)的合理值，因?yàn)樗菍?shí)軸上根軌跡上的一點(diǎn)；d2不在實(shí)軸的根軌跡上，故在例4-7中被舍去。這種情況在本例中正好相反，由于是正反饋系統(tǒng)，實(shí)軸上的根軌跡改變了，d2=-1.58在實(shí)軸的根軌跡上，它是根軌跡與實(shí)軸交點(diǎn)（分離點(diǎn)）的合理值，而d1=-0.42不在實(shí)軸的根軌跡上，應(yīng)舍去。由此可見，雖然規(guī)則五沒有改變，但在確定分離點(diǎn)時(shí)，應(yīng)考慮規(guī)則三變化的影響。第六十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

本例無(wú)共軛復(fù)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)，不存在起始角和終止角問題，根軌跡與虛軸也無(wú)交點(diǎn)。本例的根軌跡如圖4-16所示。由圖4-16可看出，三條根軌跡中，有一條從起點(diǎn)到終點(diǎn)全部位于S平面右半部，這就意味著無(wú)論Kr為何值，系統(tǒng)都存在S平面右半部的閉環(huán)極點(diǎn)，該正反饋系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。而有相同開環(huán)傳遞函數(shù)的負(fù)反饋系統(tǒng)(例4-7，圖4-1l)，它的臨界根軌跡增益Krc=6，即當(dāng)Krc>6時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，當(dāng)Krc<6時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第六十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖4-16正反饋系統(tǒng)的根軌跡第六十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三三非最小相位系統(tǒng)的根軌跡

所謂非最小相位系統(tǒng)，是指那些在S平面右半部有開環(huán)極點(diǎn)和（或)開環(huán)零點(diǎn)的控制系統(tǒng)。所有開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)都位于S平面左半部的系統(tǒng)叫最小相位系統(tǒng)。本章前面介紹的示例都是最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)一詞源于對(duì)系統(tǒng)頻率特性的描述，即在正弦信號(hào)的作用下，具有相同幅頻特性的系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)），最小相位系統(tǒng)的相位移最小，而非最小相位系統(tǒng)的相位移大于最小相位系統(tǒng)的相位移。該非最小相位系統(tǒng)除了有位于s平面右半部的開環(huán)零、極點(diǎn)外，其繪制根軌跡的規(guī)則和步驟與最小相位系統(tǒng)完全相同。需要指出的是，如果非最小相位系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)，在繪制根軌跡時(shí)應(yīng)遵循前面介紹的0°相角條件第六十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖4-17非最小相位系統(tǒng)的根軌跡第六十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.4線性系統(tǒng)的根軌跡分析法

自動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由它的閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定，其動(dòng)態(tài)性能與系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在S平面上的分布有關(guān)。因此確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在S平面上的分布，特別是從已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布確定閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布，是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析必須首先要解決的問題。解決的方法之一，是第三章介紹的解析法，即求出系統(tǒng)特征方程的根。解析法雖然比較精確，但對(duì)四階以上的高階系統(tǒng)是很困難的。第六十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

根軌跡法是解決上述問題的另一途徑，它是在已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，研究某—個(gè)和某些參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響的一種圖解方法。由于根軌跡圖直觀、完整地反映系統(tǒng)特征方程的根在S平面上分布的大致情況，通過一些簡(jiǎn)單的作圖和計(jì)算，就可以看到系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的影響趨勢(shì)。這對(duì)分析研究控制系統(tǒng)的性能和提出改善系統(tǒng)性能的合理途徑都具有重要意義。下面通過示例簡(jiǎn)要介紹用根軌跡分析控制系統(tǒng)的方法。

第六十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例4-13已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比=0.5時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。

解⑴先根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。系統(tǒng)的特征方程是或第六十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三由規(guī)則一、二知該系統(tǒng)有四條連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的根軌跡，起點(diǎn)分別是系統(tǒng)的四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，即P1=0，P2=－1，P3=－2，P4=－3；且四條根軌跡都趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。由規(guī)則三知實(shí)軸上的根軌跡是由0至-1線段和由-2至-3線段。由規(guī)則四可求出四條漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為-1.5，它們與實(shí)軸正方向的夾角分別是45o和135o。由規(guī)則六可求出根軌跡與實(shí)軸的兩個(gè)交點(diǎn)（分離點(diǎn)）分別為d1=-0.38，d2=－2.62。第七十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

由勞斯判據(jù)求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，先根據(jù)特征方程列出勞斯表S4111KrS3660S210Kr0S1(60-6Kr)/100S0Kr

由S1行的首項(xiàng)系數(shù)求得Krc=10，用S=j和Krc=10

代入S2行輔助方程得到根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為c=1。繪制出根軌跡的大致圖形如圖4-18所示。第七十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖4-18例4-13的根軌跡圖第七十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三⑵系統(tǒng)穩(wěn)定性分析由根軌跡圖知，有兩條從S平面左半部穿過虛軸進(jìn)入S平面右半部，它們與虛軸的交點(diǎn)c=1，且交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的臨界開環(huán)根軌跡增益Krc=10。由開環(huán)根軌跡增益Krc與系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K之間的關(guān)系可求出系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界開環(huán)放大系數(shù)Kc=10/6=1.67秒－1。⑶系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)首先求出滿足阻尼比=0.5時(shí)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)S1、S2的位置（假定S1、S2滿足主導(dǎo)極點(diǎn)的條件）。方法是作等阻尼比線oA，使oA與實(shí)軸負(fù)方向的夾角第七十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三等阻尼比線oA與根軌跡的交點(diǎn)S1即為滿足阻尼比=0.5系統(tǒng)的一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)（即系統(tǒng)特征方程的一個(gè)根）。測(cè)得S1在s平面上的坐標(biāo)位置為S1=-0.3+j0.52,由根軌跡的對(duì)稱性得到另一共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為S2=-0.3-j0.52。由幅值條件可求出閉環(huán)極點(diǎn)S1所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益K為K=|S1||S1+1||S1+2||S1+3|=6.35將S1、S2和K代入特征方程，由根和系數(shù)之間關(guān)系很容易得到另外兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)S3、S4，它們也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)S3,4=-2.7j3.37

由此可計(jì)算出第七十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)S3,4與虛軸的距離是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)S1,2與虛軸的距離的九倍，且閉環(huán)極點(diǎn)S1,2附近無(wú)閉環(huán)零點(diǎn)，這說明S1、S2滿足主導(dǎo)極點(diǎn)的條件。該系統(tǒng)可近似成由閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)二階系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為此時(shí)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)第七十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三過渡過程時(shí)間

超調(diào)量

峰值時(shí)間

由此可求出系統(tǒng)的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)如下：第七十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三⑴根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。⑵由根軌跡在s平面上的分布情況分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果全部根軌跡都位于s平面左半部，則說明無(wú)論開環(huán)根軌跡增益為何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的；如根軌跡有一條（或一條以上）的分支全部位于s平面的右半部，則說明無(wú)論開環(huán)根軌跡增益如何改變，系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的；如果有一條（或一條以上）的根軌跡從s平面的左半部穿過虛軸進(jìn)入s面的右半部（或反之），而其余的根軌跡分支位于s平面的左半部，則說明系統(tǒng)是有條件的穩(wěn)定系統(tǒng)，即當(dāng)開環(huán)根軌跡增益大于臨界值Krc時(shí)系統(tǒng)便由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定（或反之）。此時(shí)，關(guān)鍵是求出開環(huán)根軌跡增益的臨界值Krc。這為分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了選擇合適系統(tǒng)參數(shù)的依據(jù)和途徑。通過上面的示例可以將用根軌跡分析自動(dòng)控制系統(tǒng)的方法和步驟歸納如下：第七十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三⑶根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的要求和系統(tǒng)的根軌跡圖分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。對(duì)于一階、二階系統(tǒng)，很容易在它的根軌跡上確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的閉環(huán)極點(diǎn)，對(duì)于三階以上的高階系統(tǒng)，通常用簡(jiǎn)單的作圖法（如作等阻尼比線等）求出系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)（如果存在的話），將高階系統(tǒng)近似地簡(jiǎn)化成由主導(dǎo)極點(diǎn)（通常是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）構(gòu)成的二階系統(tǒng)，最后求出其各項(xiàng)性能指標(biāo)。這種分析方法簡(jiǎn)單、方便、直觀，在滿足主導(dǎo)極點(diǎn)條件時(shí)，分析結(jié)果的誤差很小。如果求出離虛軸較近的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)不滿足主導(dǎo)極點(diǎn)的條件，如它到虛軸的距離不小于其余極點(diǎn)到虛軸距離的五分之一或在它的附近有閉環(huán)零點(diǎn)存在等，這時(shí)還必須進(jìn)一步考慮和分析這些閉環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)的影響。第七十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二.附加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響

1.附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響例4-14已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

（a＞0）試用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果給該系統(tǒng)增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，試分析附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響。第七十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖4-19原系統(tǒng)的根軌跡wjs[s]3aa-)0(2=rKP)0(1=rKP)0(3=rKP0解⑴原系統(tǒng)的根軌跡如圖4-19所示。由于根軌跡的兩條分支全部位于s平面的右半部，故該系統(tǒng)無(wú)論Kr為何值都是不穩(wěn)定的。第八十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三⑵若給原系統(tǒng)增加一個(gè)負(fù)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)Z1=-b（b＞0），則開環(huán)傳遞函數(shù)為

圖4-20(a)附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響b＜a（a）swj[s]1P2P3P1Z)0(=rK)0(=rK)0(=rK)(=rK2ba--b-a-0當(dāng)b＜a時(shí)，根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為，它們與實(shí)軸正方向的夾角分別為90°和-90°，三條根軌跡均在s平面左半部（如圖4-20（a）所示）。這時(shí)，無(wú)論根軌跡增益Kr為何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。第八十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖4-20(b)附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響swj[s]1P2P3P1Z)0(=rK2a-b-a-b＞a0當(dāng)b＞a時(shí)，根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為，根軌跡如圖4-20（b）所示，與原系統(tǒng)比較，雖然根軌跡的形狀發(fā)生了變化，但仍有兩條根軌跡全部位于s平面右半部，系統(tǒng)仍然是不穩(wěn)定的。第八十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三由上面的分析可以看出，附加開環(huán)零點(diǎn)可使原來不穩(wěn)定的系統(tǒng)變成穩(wěn)定系統(tǒng)，但附加零點(diǎn)的取值要適當(dāng)，否則便達(dá)不到預(yù)期的目的。例4-15已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試分析附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。第八十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖4-21例4-15原系統(tǒng)根軌跡wjs1P2P3P0rcKrcK[s]解⑴原系統(tǒng)的根軌跡如圖4-21所示，由圖4-21可看出，當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益Kr>Krc時(shí)，該系統(tǒng)有兩條根軌跡進(jìn)入S平面右半部成為不穩(wěn)定系統(tǒng)。第八十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

⑵給原系統(tǒng)增加一附加負(fù)實(shí)零點(diǎn)Z1（Z1<0），系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為此時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)分子與分母的最高階次分別為n=3，m=1；n-m=2。因此根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別為90°和-90°，兩條漸近線垂直于實(shí)軸，它們與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)位置視附加零點(diǎn)的取值而改變，分別討論如下。第八十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

（?。┊?dāng)時(shí)，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)

漸近線位于S平面右半部，根軌跡如圖4-22（a）所示。比較原系統(tǒng)的根軌跡（圖4-21），雖然右邊兩條根軌跡形狀發(fā)生了變化，但它們?nèi)赃M(jìn)入了平面右半部，當(dāng) 時(shí)(為增加了開環(huán)零點(diǎn)后的開環(huán)根軌跡與虛軸交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的臨界值)，系統(tǒng)仍是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。1z1p2p3prcKrcK0wjs[s]圖4-22(a)例4-15中不同附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響第八十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三（ⅱ）當(dāng)P3<Z1<P2<0時(shí)，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)

漸近線位于S平面左半部，根軌跡如圖4-22（b）所示。此時(shí)系統(tǒng)的三條根軌跡全部位于S平面左半部，無(wú)論Kr為何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的系統(tǒng)。

1z1p2p3p1rK0wjs[s]1rK1s2snxwnw圖4-22(b)例4-15中不同附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響第八十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三1z1p2p3prK’rK’0wjs[s]rK’1s2s3s（ⅲ）當(dāng)P3<P2<Z1<0時(shí)，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)也小于零，根軌跡如圖4-22（c）所示。圖4-22(c)例4-15中不同附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響第八十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三比較圖4-22（b）和4-22（c）會(huì)發(fā)現(xiàn)，前者的漸近線離虛軸的距離較后者近。因此，雖然從系統(tǒng)的穩(wěn)定性角度看，二者是一樣的，即無(wú)論Kr為何值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。但從簡(jiǎn)化系統(tǒng)以便于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能的角度看，條件（ⅱ）所對(duì)應(yīng)的圖4-22（b）則優(yōu)于條件（ⅲ）所對(duì)應(yīng)的圖4-22（c）。這是因?yàn)閳D4-22（b）右邊兩條進(jìn)入復(fù)平面的根軌跡離虛軸較近，容易在其上面找到一對(duì)滿足主導(dǎo)極點(diǎn)條件的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)S1,2（對(duì)應(yīng)K’r），這時(shí)便可將系統(tǒng)簡(jiǎn)化成閉環(huán)傳遞函數(shù)為的二階系統(tǒng)，而圖4-22（c）所示系統(tǒng)不能滿足這樣的簡(jiǎn)化條件。1z1p2p3prK’rK’0wjs[s]rK’1s2s3s1z1p2p3p1rK0wjs[s]1rK1s2snxwnw1z1p2p3prcKrcK0wjs[s]第八十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三如圖4-22（c）所示，如果S1、S2、S3分別為對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)K’r的三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，由于Re[S1,2]＞Re[S3]，共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)S1、S2不滿足主導(dǎo)極點(diǎn)條件，系統(tǒng)不能簡(jiǎn)化成二階系統(tǒng)。但如果在圖4-22（c）中，閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)S3到虛軸的距離比閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)S1、S2到虛軸的距離小五倍以上，也可將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為由閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)S3決定的一階系統(tǒng)。綜上分析，我們可以得到如下兩點(diǎn)結(jié)論：1z1p2p3prK’rK’0wjs[s]rK’1s2s3s第九十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

⑴附加負(fù)實(shí)零點(diǎn)具有將S平面上的根軌跡向左“拉”的作用，且附加零點(diǎn)愈靠近虛