邏輯代數(shù)基礎(chǔ)演示

（優(yōu)選）邏輯代數(shù)基礎(chǔ)ppt講解當前第1頁\共有91頁\編于星期一\15點邏輯代數(shù)的產(chǎn)生：

1849年英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾(GeorgeBoole)首先提出，用來描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法——稱為布爾代數(shù)。

后來被廣泛用于開關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計，所以也稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)。

邏輯代數(shù)中用字母表示變量——邏輯變量，每個邏輯變量的取值只有兩種可能——0和1。它們也是邏輯代數(shù)中僅有的兩個常數(shù)。0和1只表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，不表示數(shù)量大小?！?.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算“0”和“1”表示兩種不同的邏輯狀態(tài)：是和非、真和假、高電位和低電位、有和無、開和關(guān)等等。

當前第2頁\共有91頁\編于星期一\15點一、與邏輯（與運算）與邏輯：僅當決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，…）均滿足時，事件（Y）才能發(fā)生。表達式為：Ｙ＝ＡＢＣ…例：開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡YA、B都斷開，燈不亮。A斷開、B接通，燈不亮。A接通、B斷開，燈不亮?！?.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算A、B都接通，燈亮。當前第3頁\共有91頁\編于星期一\15點功能表

將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚砻枋雠c邏輯關(guān)系：真值表Ｙ＝Ａ?Ｂ或Y=AB在函數(shù)式中，用?表示與運算，記做當前第4頁\共有91頁\編于星期一\15點實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。

與門的邏輯符號：Ｙ＝Ａ?Ｂ當前第5頁\共有91頁\編于星期一\15點二、或邏輯（或運算）或邏輯：當決定事件（Y）發(fā)生的各種條件A，B，C，…)中，只要有一個或多個條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達式為：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…在函數(shù)式中，用＋表示或運算，記做：功能表真值表Ｙ＝Ａ+Ｂ當前第6頁\共有91頁\編于星期一\15點實現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號：Y=A+B當前第7頁\共有91頁\編于星期一\15點三、非邏輯（非運算）非邏輯：指的是邏輯的否定。當決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達式為：Y＝A′=A功能表真值表當前第8頁\共有91頁\編于星期一\15點實現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。

非門的邏輯符號：Y＝A′=A當前第9頁\共有91頁\編于星期一\15點常用的復(fù)合邏輯運算1、與非運算：邏輯表達式為：當前第10頁\共有91頁\編于星期一\15點2、或非運算：邏輯表達式為：當前第11頁\共有91頁\編于星期一\15點3、異或運算：邏輯表達式為：當前第12頁\共有91頁\編于星期一\15點異或邏輯的運算規(guī)則：A⊕0=A⊕1=A⊕A′=A⊕A=AA′10當前第13頁\共有91頁\編于星期一\15點4、同或運算：邏輯表達式為：＝A⊙B異或和同或互為反運算當前第14頁\共有91頁\編于星期一\15點同或邏輯的運算規(guī)則：A⊙

0=A⊙

1=A⊙

A′=A⊙

A=AA′10當前第15頁\共有91頁\編于星期一\15點5、與或非運算：邏輯表達式為：當前第16頁\共有91頁\編于星期一\15點§2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式一、基本公式請?zhí)貏e注意與普通代數(shù)不同之處1.常量之間的關(guān)系當前第17頁\共有91頁\編于星期一\15點2.基本公式分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。當前第18頁\共有91頁\編于星期一\15點利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：當前第19頁\共有91頁\編于星期一\15點二、常用公式1.A+AB

=2.A+A′B=A′+AB=AA+BA′+B當前第20頁\共有91頁\編于星期一\15點證明:A+A′B=(A+A′)

?(A+B);分配律

=1?(A+B)=A+BA+BC=(A+B)(A+C)當前第21頁\共有91頁\編于星期一\15點3.AB+AB′=4.A(A+B

)=證明:A(A+B)=A·A+A·B=A+A·B=A(1+B)=A注:紅色變量被吸收掉！也稱吸收律AA當前第22頁\共有91頁\編于星期一\15點5.AB+A′C+BC=證明:AB+A′C+BC=AB+A′C+(A+A′)BC=AB+A′C+ABC+A′BC=AB(1+C)+A′C(1+B)=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′CAB+A′C當前第23頁\共有91頁\編于星期一\15點常用公式需記憶6/12/202324當前第24頁\共有91頁\編于星期一\15點一、代入定理任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入定理。例如，已知等式，用函數(shù)Y=BC代替等式中的B，根據(jù)代入定理，等式仍然成立，即有：§2.4邏輯代數(shù)的基本定理當前第25頁\共有91頁\編于星期一\15點

二、反演定理反演變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”

“0”

→

“1”“1”

→“0”，原變量→反變量反變量→原變量對任何一個邏輯表達式Y(jié)作反演變換，可得Y的反函數(shù)Y′

。這個規(guī)則叫做反演規(guī)則。

當前第26頁\共有91頁\編于星期一\15點

應(yīng)用反演定理應(yīng)注意兩點：1、仍需遵守“先括號、然后乘、最后加”的運算優(yōu)先次序。2、不屬于單個變量上的反號應(yīng)保留不變。當前第27頁\共有91頁\編于星期一\15點當前第28頁\共有91頁\編于星期一\15點

三、對偶定理對任何一個邏輯表達式Y(jié)作對偶變換，可得Y的對偶式Y(jié)D,YD稱為Y的對偶式。對偶定理：如果兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。

利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。對偶變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”當前第29頁\共有91頁\編于星期一\15點當前第30頁\共有91頁\編于星期一\15點（2）式（12）式當前第31頁\共有91頁\編于星期一\15點輸入邏輯變量和輸出邏輯變量之間的函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)，寫作

Y=F(A、B、C、D……)

A、B、C、D為有限個輸入邏輯變量；

F為有限次邏輯運算（與、或、非）的組合。

§2.5邏輯函數(shù)及其表示方法一、邏輯函數(shù)當前第32頁\共有91頁\編于星期一\15點二、邏輯函數(shù)表示方法

常用邏輯函數(shù)的表示方法有：邏輯真值表（真值表）、邏輯函數(shù)式（邏輯式或函數(shù)式）、邏輯圖、波形圖、卡諾圖及硬件描述語言。它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。例：一舉重裁判電路當前第33頁\共有91頁\編于星期一\15點

真值表是將輸入邏輯變量的所有可能取值與相應(yīng)的輸出變量函數(shù)值排列在一起而組成的表格。

1個輸入變量有0和1兩種取值，

n個輸入變量就有2n個不同的取值組合。

三個輸入變量，八種取值組合1.真值表二、邏輯函數(shù)的表示方法當前第34頁\共有91頁\編于星期一\15點設(shè)A、B、C為1表示開關(guān)閉合，0表示開關(guān)斷開；Y為1表示燈亮，為0表示燈暗。真值表真值表的特點：①唯一性;②按自然二進制遞增順序排列（既不易遺漏，也不會重復(fù)）。③n個輸入變量就有2n個不同的取值組合。

當前第35頁\共有91頁\編于星期一\15點2.邏輯函數(shù)式如：舉重裁判的函數(shù)式：Y=A(B+C)

把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式，即邏輯代數(shù)式，又稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。當前第36頁\共有91頁\編于星期一\15點3.邏輯圖舉重裁判函數(shù)的邏輯圖：&AYBCY=A(B+C)

把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號和連線表示出來。當前第37頁\共有91頁\編于星期一\15點4.波形圖ABCYtttt當前第38頁\共有91頁\編于星期一\15點5.各種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換1、真值表→邏輯函數(shù)式方法:①找出使輸出為1的輸入變量取值組合；②每組輸入變量取值的組合對應(yīng)一個乘積項，其中取值為1用原變量表示，取值為0的用反變量表示；③將乘積項相加即得。

ABCY00000010010001111000101111011110例2.5.1當前第39頁\共有91頁\編于星期一\15點2、邏輯式→真值表方法:將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一帶入邏輯式求函數(shù)值,列成表即得真值表。例1.5.2ABCY00000101001110010111011101111110當前第40頁\共有91頁\編于星期一\15點3、邏輯式→邏輯圖方法:用圖形符號代替邏輯式中的運算符號,就可以畫出邏輯圖.例2.5.3當前第41頁\共有91頁\編于星期一\15點4、邏輯圖→邏輯式方法:從輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號對應(yīng)的邏輯式，即得到對應(yīng)的邏輯函數(shù)式.例當前第42頁\共有91頁\編于星期一\15點5、波形圖→真值表ABCYtttt00000011010101101000101111001111ABCY00000101001110010111011101100101當前第43頁\共有91頁\編于星期一\15點最小項:

在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這n個變量都以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項m稱為該組變量的最小項。3個變量A、B、C可組成8(23)個最小項：4個變量可組成16(24)個最小項,記作m0～m15。三、邏輯函數(shù)的兩種標準形式當前第44頁\共有91頁\編于星期一\15點當前第45頁\共有91頁\編于星期一\15點最小項的性質(zhì):①在輸入變量的任何取值下必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1。(任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1)。②任意兩個不同的最小項的乘積必為0。③全部最小項的和必為1。當前第46頁\共有91頁\編于星期一\15點④具有相鄰性的兩個最小項可以合并，并消去一對因子。例：和，這兩個最小項相加時能合并，并可消去1個因子。

若兩個最小項只有一個因子不同。則稱這兩個最小項具有相鄰性。當前第47頁\共有91頁\編于星期一\15點

任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標準與或表達式，也稱為最小項表達式。二、邏輯函數(shù)的最小項表達式（與或式）

對于不是最小項表達式的與或表達式，可利用公式A＋A＝1

和A(B+C)＝AB＋AC來配項展開成最小項表達式。當前第48頁\共有91頁\編于星期一\15點例當前第49頁\共有91頁\編于星期一\15點如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達式。當前第50頁\共有91頁\編于星期一\15點四、邏輯函數(shù)形式的變換

根據(jù)邏輯表達式，可以畫出相應(yīng)的邏輯圖，表達式的形式?jīng)Q定門電路的個數(shù)和種類。在用電子器件組成實際的邏輯電路時，由于選擇不同邏輯功能類型的器件，因此需要將邏輯函數(shù)式變換成相應(yīng)的形式。當前第51頁\共有91頁\編于星期一\15點1、最簡與或表達式最簡與或表達式首先是式中乘積項最少

乘積項中含的變量最少

實現(xiàn)電路的與門少下級或門輸入端個數(shù)少與門的輸入端個數(shù)少當前第52頁\共有91頁\編于星期一\15點2、最簡與非-與非表達式①在最簡與或表達式的基礎(chǔ)上兩次取反②用摩根定律去掉內(nèi)層的非號當前第53頁\共有91頁\編于星期一\15點3、最簡或與表達式①求出反函數(shù)的最簡與或表達式②利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡或與表達式當前第54頁\共有91頁\編于星期一\15點4、最簡或非-或非表達式①求最簡或與表達式②兩次取反③用摩根定律去掉內(nèi)部的非號當前第55頁\共有91頁\編于星期一\15點５、最簡與或非表達式①求最簡或非-或非表達式②用摩根定律去掉內(nèi)部非號。方法一：當前第56頁\共有91頁\編于星期一\15點①求出反函數(shù)的最簡與或表達式②求反，得到最簡與或非表達式方法二：當前第57頁\共有91頁\編于星期一\15點§2.6邏輯函數(shù)的化簡方法一、公式化簡法并項法：吸收法：A+AB

=A消項法：消因子法：配項法：AB+AB=A′AB+AC+BC=AB+AC′′A+AB=A+B′A+A

=AA+A

=1′當前第58頁\共有91頁\編于星期一\15點例

試用并項法化簡下列函數(shù)=B當前第59頁\共有91頁\編于星期一\15點例

試用吸收法化簡下列函數(shù)=A+BC當前第60頁\共有91頁\編于星期一\15點例

用消項法化簡下列函數(shù)當前第61頁\共有91頁\編于星期一\15點例

用消因子法化簡下列函數(shù)當前第62頁\共有91頁\編于星期一\15點例

化簡函數(shù)解：;A+A＝A例2.6.6

化簡函數(shù)解：;A+A′＝1當前第63頁\共有91頁\編于星期一\15點例

化簡函數(shù)解二：②③④①⑤;②⑤消去③，④⑤消去①解三：②③④①⑤;①⑤消去④,③⑤消去②;增加冗余項;增加冗余項答案都正確!最簡結(jié)果的形式是一樣的，都為三個與項，每個與項都為兩個變量。表達式不唯一！當前第64頁\共有91頁\編于星期一\15點例

化簡邏輯函數(shù)解：吸收法消因子法吸收法消項法當前第65頁\共有91頁\編于星期一\15點

公式化簡法評價：特點：目前尚無一套完整的方法，能否以最快的速度進行化簡，與我們的經(jīng)驗和對公式掌握及運用的熟練程度有關(guān)。優(yōu)點：變量個數(shù)不受限制。缺點：結(jié)果是否最簡有時不易判斷。

本次課將介紹與公式化簡法優(yōu)缺點正好互補的卡諾圖化簡法。當變量個數(shù)超過4時人工進行卡諾圖化簡較困難，但它是一套完整的方法，只要按照相應(yīng)的方法就能以最快的速度得到最簡結(jié)果。當前第66頁\共有91頁\編于星期一\15點作業(yè)題1、P60—2.7(b)2、P61—2.93、P61—2.12(1)(3)4、P62--2.15（2)(4)(6)(8)(10)當前第67頁\共有91頁\編于星期一\15點1、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

卡諾圖是把最小項按照一定規(guī)則排列而構(gòu)成的方框圖。構(gòu)成卡諾圖的原則是：①N變量的卡諾圖有2N

個小方塊（最小項）；②最小項排列規(guī)則：幾何相鄰的必須邏輯相鄰?？ㄖZ圖及其構(gòu)成原則二、卡諾圖化簡法當前第68頁\共有91頁\編于星期一\15點

邏輯相鄰：兩個最小項,只有一個變量的形式不同,其余的都相同。邏輯相鄰的最小項可以合并。

幾何相鄰的含義：一是相鄰——緊挨的；二是相對——任一行或一列的兩頭；三是相重——對折起來后位置相重。在五變量和六變量的卡諾圖中，用相重來判斷某些最小項的幾何相鄰性，其優(yōu)點是十分突出的。當前第69頁\共有91頁\編于星期一\15點卡諾圖的表示：（1）一變量全部最小項的卡諾圖一變量Y=F（A），YA01AYA01m0m1全部最小項：A，A′卡諾圖：

下面我們根據(jù)邏輯函數(shù)變量數(shù)目的不同分別介紹一下：A′當前第70頁\共有91頁\編于星期一\15點ABY0101m0m1m2m3YABC0100011110m0m1m4m5m3m2m7m6（2）二變量全部最小項的卡諾圖Y=F（A、B）（3）三變量全部最小項的卡諾圖Y=F（A、B、C）當前第71頁\共有91頁\編于星期一\15點相鄰相鄰不相鄰正確認識卡諾圖的“邏輯相鄰”：上下相鄰，左右相鄰，并呈現(xiàn)“循環(huán)相鄰”的特性，它類似于一個封閉的球面，如同展開了的世界地圖一樣。對角線上不相鄰。（4）四變量全部最小項的卡諾圖當前第72頁\共有91頁\編于星期一\15點五變量的卡諾圖當前第73頁\共有91頁\編于星期一\15點Y=AC′+A′C+BC′+B′C卡諾圖：YABC010001111011111100A′(B+B′)C+(A+A′)B′CY=A(B+B′)C′+(A+A′)BC′+=∑(m1,m2,m3,m4,m5,m6)1、把已知邏輯函數(shù)式化為最小項之和形式。2、將函數(shù)式中包含的最小項在卡諾圖對應(yīng)的方格中填1，其余方格中填0。方法一：解：對于AC′有：對于A′C有：對于BC′有：對于B′C有：根據(jù)函數(shù)式直接填卡諾圖方法二：YABC0100011110111110011例：

用卡諾圖表示之。12、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：當前第74頁\共有91頁\編于星期一\15點例

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：將Y化為最小項之和的形式＝m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m1511111111當前第75頁\共有91頁\編于星期一\15點例

已知邏輯函數(shù)的卡諾圖,試寫出該函數(shù)的邏輯式當前第76頁\共有91頁\編于星期一\15點化簡依據(jù)：邏輯相鄰性的最小項可以合并，并消去因子?；喴?guī)則：能夠合并在一起的最小項是2n

個如何最簡：圈的數(shù)目越少越簡；圈內(nèi)的最小項越多越簡。特別注意：卡諾圖中所有的1都必須圈到，不能合并的1必須單獨畫圈。（畫矩形圈）。3、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

（1）卡諾圖中最小項合并的規(guī)律合并相鄰最小項，可消去變量。合并兩個最小項，可消去一個變量；合并四個最小項，可消去兩個變量；合并八個最小項，可消去三個變量。合并2N個最小項，可消去N個變量。當前第77頁\共有91頁\編于星期一\15點圖2-5兩個最小項合并

m3m11BCD當前第78頁\共有91頁\編于星期一\15點圖2-6四個最小項合并

當前第79頁\共有91頁\編于星期一\15點圖2-7八個最小項合并當前第80頁\共有91頁\編于星期一\15點卡諾圖化簡法的步驟★

作出函數(shù)的卡諾圖;★畫圈;★寫出最簡與或表達式。畫圈的原則◆

合并個數(shù)為2n；◆圈盡可能大---乘積項中含因子數(shù)最少；◆圈盡可能少---乘積項個數(shù)最少；◆每個圈中至少有一個最小項僅被圈過一次，以免出現(xiàn)多余項。當前第81頁\共有91頁\編于星期一\15點

①將每個圈用一個與項表示