局部連通空間

局部連通空間拓?fù)淇臻g01定義道路連通空間與連通空間目錄0302基本信息局部連通空間(locallyconnectedspace)，是一類拓?fù)淇臻g，它由連通子集組成的的鄰域基及連通分支等組成。設(shè)X為拓?fù)淇臻gX，若存在由連通子集組成的x的鄰域基，則稱X在點(diǎn)x是局部連通的。若拓?fù)淇臻gX在每一點(diǎn)都是局部連通的，則稱X是局部連通空間。X是局部連通空間當(dāng)且僅當(dāng)X的開集的連通分支是開集。局部連通空間在連續(xù)開映射下的像是局部連通空間。局部連通空間的積空間是局部連通的。局部連通空間和連通空間是相互獨(dú)立的。定義道路連通空間連通空間定義連通空間定義1：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g。如果X中有兩個(gè)非空的隔離子集A和B，使得X=A∪B，則稱X是一個(gè)不連通空間；否則，則稱X是一個(gè)連通空間。道路連通空間定義3：設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果對(duì)于任何x,y，存在著X中的一條從x到y(tǒng)的道路(或曲線)，我們則稱X是一個(gè)道路連通空間。X中的一個(gè)子集Y稱為X中的一個(gè)道路連通子集，如果它作為X的子空間是一個(gè)道路連通空間。實(shí)數(shù)空間R是道路連通的，這是因?yàn)槿绻鹸,yR，則連續(xù)映射f：[0,1]R定義為對(duì)于任何t[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一條以x為起點(diǎn)以y為終點(diǎn)的道路。也容易驗(yàn)證任何一個(gè)區(qū)間都是道路連通的

。與連通空間與連通空間（1）定理1：拓?fù)淇臻g的兩個(gè)不同的連通分支是不相交的。證明：設(shè)A和B是兩個(gè)連通分支，且A∩B≠，則由熊金誠的結(jié)果

可知，A∪B是連通的，于是，A=A∪B=B。（2）定理2：任何拓?fù)淇臻g都等于它的連通分支的并集。證明：在拓?fù)淇臻gX中，對(duì)于任意x∈X，包含x的連通分支Cx是存在的，所以：（3）定理3：拓?fù)淇臻g為局部連通的充分必要條件是每一開集的每一連通分支是開集。證明：設(shè)X是局部連通空間，U是X的一個(gè)開集，而C是U的一個(gè)連通分支。如果x∈C，由于U是x的一個(gè)鄰域，所以x有一個(gè)連通鄰域V包含于U。又由于V∩C包含著點(diǎn)x，所以不是空集。根據(jù)熊金程的《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》

中的定理4.31，可見：因此C是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域。這證明C是屬于它的任何一個(gè)點(diǎn)x的鄰域，因此C是開集。反過來，如果每一個(gè)開集的連通分支都是開集，則每一點(diǎn)的每一開鄰域都包含連通的開鄰域，這就是此開鄰域的連通區(qū)。因此空間是局部連通的連通空間不一定是局部連通的空間

。道路連通空間道路連通空間局部連通空間不一定是道路連通的。反例：實(shí)直線R上的點(diǎn)集E=(-1,