二面角的求法(總結(jié))

二面角的求法(總結(jié))

2021/5/91探究準(zhǔn)備：一、憶一憶：1、二面角的概念，二面角的平面角的概念，二面角的大小范圍；2、三垂線定理、平面的法向量。答：1、二面角是指從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形；平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角。二面角的大小范圍：

[00，1800];2、三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直；平面的法向量：直線L垂直平面α，取直線L的方向向量，則這個方向向量叫做平面α的法向量。（顯然，一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量）2021/5/92探究準(zhǔn)備：二、想一想：

1、怎樣做出二面角的平面角？

答：1、做二面角的平面角主要有3種方法：（1）、定義法：在棱上取一點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的2條射線，這2條所夾的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一個平面，這個平面與2個半平面分別有一條交線，這2條交線所成的角；（3）、三垂線法：過一個半平面內(nèi)一點(diǎn)（記為A）做另一個半平面的一條垂線，過這個垂足（記為B）再做棱的垂線，記垂足為C，連接AC，則∠ACB即為該二面角的平面角。ABCαβαβαβγ2021/5/932、兩個平面的法向量的夾角與這兩個平面所成的二面角的平面角有怎樣的關(guān)系？探究準(zhǔn)備：答：相等或互補(bǔ)αβm互補(bǔ)αβ相等m2021/5/94探究一：試一試：例1、如圖：在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分別交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD2021/5/95分析：1、根據(jù)已知條件提供的數(shù)量關(guān)系通過計算證明有關(guān)線線垂直；2、利用已得的垂直關(guān)系找出二面角的平面角。解：如圖：

∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD;于是SB==a又BC=a，∴SB=BC;∵E為SC的中點(diǎn)，∴BE⊥SC又DE⊥SC故SC⊥平面BDE可得BD⊥SC又BD⊥SA∴BD⊥平面SAC∴∠CDE為平面BDE和平面BDC所成二面角的平面角?！逜B⊥BC，∴AC==

=a在直角三角形SAC中，tan∠SCA==∴∠SCA=300

，∴∠CDE=900--∠SCA=600解畢。議一議：剛才的證明過程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？請各小組討論交流一下。SECABD2021/5/96探究二：試一試?yán)喝鐖D：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F為棱AA1的中點(diǎn)。求：平面BFD1與平面ABCD所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF要求：1、各人思考；2、小組討論；

3、小組交流展示；4、總結(jié)。2021/5/97A1D1C1CB1BDAPF如圖：延長D1F交DA的延長線于點(diǎn)P，連接PB，則直線PB就是平面BFD1與平面ABCD的交線。

∵

F是AA1的中點(diǎn)，∴可得A也是PD的中點(diǎn)，∴AP=AB,

又∵∠

DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴可得正三角形ABD,故∠DBA=600,∵∠P=∠ABP=300,∴∠DBP=900,即PB⊥DB；又因為是直棱柱，∴DD1⊥

PB,∴PB⊥面DD1B,

故∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。顯然BD=AD=DD1,∴∠DBD1=450。即為所求.

解畢。解法一：2021/5/98A1D1C1B1FADCBPE解法二：如圖：延長D1F交DA的延長線于點(diǎn)P，連接PB，則直線PB就是平面BFD1與平面ABCD的交線；因為是直棱柱，所以AA1⊥

底面ABCD,過A做AE⊥PB,垂足為E,連接EF,由三垂線定理可知，EF⊥PB,∴∠AEF即為二面角D1-PB-D的平面角；同解法一可知，等腰△APB,∠P=300，Rt△APB中，可求得AE=1，（設(shè)四棱柱的棱長為2）又AF=1,∴∠AEF=450，即為所求。思考：這種解法同解法一有什么異同？2021/5/99解法三：法向量法：建系如圖：設(shè)這個四棱柱各棱長均為2.則D(0，0，0）D1（0，0，2）B（1，，0）F（-1，，1）∴=（-2，0，1）=（1，，-2）顯然，就是平面ABCD的法向量，再設(shè)平面BDD1的一個法向量為向量=(x0,y0,z0)。則⊥且⊥∴2x0+0y0-z0=0且x0+

y0-2z0=0令x0=1可得z0=2,

y0=

,即=（1，，2）設(shè)所求二面角的平面角為θ，則COSθ==,所以所求二面角大小為450解畢A1D1C1B1ABCDxyzF2021/5/910解法四：A1D1C1B1FCBDA如圖：由題意可知，這是一個直四棱柱，△

BFD1在底面上的射影三角形就是△ABD,故由射影面積關(guān)系可得COSθ=ＳABD／ＳBＦＤ1

（θ是所求二面角的平面角）以下求面積略。點(diǎn)評：這種解法叫做“射影面積法”在選擇和填空題中有時候用起來會很好2021/5/911總一總：求二面角的方法你都學(xué)會了哪些？每一種方法在使用上要注意什么問題？請同學(xué)們先自己思考，然后小組內(nèi)交流學(xué)習(xí)一下。2021/5/912二面角的幾種主要常用的求法：1、垂面法。見例一和例二的解法一；2、三垂線法。見例二的解法二；3、射影面積法。見例二的解法三；4、法向量夾角法。見例二的解法四。

其中垂面法和三垂線法也是直接找平面角的方法，也稱為直接法；射影面積法和法向量法是沒有找出平面角而求之的方法，也稱之為間接法。2021/5/913這幾種方法是現(xiàn)在求二面角的常用的方法，在高考中經(jīng)常被考查；尤其是向量法，更有著廣泛的被考查性，在應(yīng)用的時候主要注意以下兩點(diǎn)：1、合理建系。本著“左右對稱就地取材”的建系原則。2、視圖取角。由于法向量的取定有人為的因素，其夾角不一定正好是二面角的平面交的大小，我們要視原圖形的情況和題意條件進(jìn)行正確的選擇大小，即要么是這個角，要么是它的補(bǔ)角。點(diǎn)評2021/5/914試一試：例1、如圖：在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分別交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD請同學(xué)們將剛才的例一用其他方法試一下：2021/5/915規(guī)范訓(xùn)練一1、（本小題為2007年山東高考試卷理科19題）如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知：DC=DC1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB//DC

（Ⅰ）設(shè)E是DC的中點(diǎn)，求證：D1E//平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1余弦值。2021/5/916規(guī)范訓(xùn)練二：2、（本小題為2008年山東高考理科試卷20題）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD