2021-2022學(xué)年上海虹口區(qū)教育學(xué)院附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2021-2022學(xué)年上海虹口區(qū)教育學(xué)院附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（2015秋?阿克蘇地區(qū)校級(jí)期末）化簡(jiǎn)得（）A．sin2+cos2 B．cos2﹣sin2 C．sin2﹣cos2 D．±cos2﹣sin2參考答案：C【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【專題】計(jì)算題．【分析】利用誘導(dǎo)公式對(duì)原式化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，整理求得問(wèn)題答案．【解答】解：==|sin（π﹣2）+cos（π﹣2）|=|sin2﹣cos2|∵sin2＞0，cos2＜0，∴sin2﹣cos2＞0，∴=sin2﹣cos2故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)求值和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用．巧妙的利用了同角三角函數(shù)中平方關(guān)系．2.在同一坐標(biāo)系中，表示函數(shù)與的圖象正確的是（

）參考答案：B3.命題p：偶函數(shù)一定沒(méi)有反函數(shù)；命題q：函數(shù)y=x+的單調(diào)遞減區(qū)間是[–1，0)∪(0，1]。則下列四個(gè)判斷中正確的是（

）（A）p真q真

（B）p真q假

（C）p假q真

（D）p假q假參考答案：B4.函數(shù)的部分圖象如同所示，則的值等于（

）A.2

B.2+

C.2+2

D.-2-2參考答案：C5.計(jì)算(

)A.2 B.3 C.4 D.10參考答案：A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算,即可求得答案.【詳解】故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算,解題關(guān)鍵是掌握對(duì)數(shù)運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí),考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)的值域是（

）A．R

B．（-∞，0）

C．（-∞，1）

D．（0，+∞）參考答案：D略7.（3分）若sinα＞0且tanα＜0，則α在第幾象限內(nèi)（） A． 一 B． 二 C． 三 D． 四參考答案：B考點(diǎn)： 三角函數(shù)值的符號(hào)．專題： 三角函數(shù)的求值；集合．分析： 直接由α的正弦值大于0，正切值小于0分別得到α的范圍，取交集得答案．解答： 由sinα＞0，得α為第一、第二、或y軸正半軸上的角；由tanα＜0，得α為第二或第四象限角，取交集得：α為第二象限角．故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角函數(shù)值的符號(hào)，考查了交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．8.已知冪函數(shù)f（x）=xα（α∈Z），具有如下性質(zhì)：f2（1）+f2（﹣1）=2，則f（x）是(

)A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．是非奇非偶函數(shù)參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】欲正確作答，取常量n=2，驗(yàn)證可得結(jié)論．【解答】解：冪函數(shù)f（x）=xα（α∈Z）中，若有f2（1）+f2（﹣1）=2，則可取常量n=2，所以，函數(shù)為f（x）=x2，此函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上，并以y軸為對(duì)稱軸的二次函數(shù)，即定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），所以為偶函數(shù)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．9.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①m⊥α，n∥α，則m⊥n；②若αγ=m，βγ=n，m∥n，則α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．其中正確命題的序號(hào)是

（

）A．①和③

B．②和③

C．③和④

D．①和④參考答案：A10.在△ABC中，若，則AC=（

）A.1 B.2

C.3 D.4參考答案：A余弦定理將各值代入得解得或(舍去)選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（4分）已知函數(shù)f（x）=，則f（0）+f（1）=

．參考答案：1考點(diǎn)： 函數(shù)的值．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 直接利用分段函數(shù)，化簡(jiǎn)求解函數(shù)值即可．解答： 解：函數(shù)f（x）=，則f（0）+f（1）=（0﹣1）+（1+1）=1；故答案為：1．點(diǎn)評(píng)： 本題考查分段函數(shù)以及函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．12.=

參考答案：略13.如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，與的夾角為，且，與的夾角為60°，，若，則的值為

▲

．

參考答案：3建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，直線OC的方程為所以可設(shè)，，因?yàn)?，根?jù)向量表示得所以即，解方程組得所以

14.如果冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，8），則f（3）=．設(shè)g（x）=f（x）+x﹣m，若函數(shù)g（x）在（2，3）上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

．參考答案：27，10＜m＜30

【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】設(shè)冪函數(shù)f（x）=xα，把點(diǎn)（2，8）代入函數(shù)的解析式，求得α的值，即可得到函數(shù)的解析式，從而求出f（3）的值，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)定理得到g（2）＜0且g（3）＞0，解出即可．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=xα，把點(diǎn)（2，8）代入函數(shù)的解析式可得2α=8，解得α=3，故函數(shù)的解析式為f（x）=x3，故f（3）=27，g（x）=f（x）+x﹣m=x3+x﹣m，g′（x）=3x2+1＞0，故g（x）在（2，3）遞增，若函數(shù)g（x）在（2，3）上有零點(diǎn)，只需，解得：10＜m＜30，故答案為：27，10＜m＜30．15.（5分）已知函數(shù)f（x）=|logx|的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇0，t]，用含t的表達(dá)式表示b﹣a的最大值為M（t），最小值為N（t），若設(shè)g（t）=M（t）﹣N（t）．則當(dāng)1≤t≤2時(shí)，g（t）?[g（t）+1]的取值范圍是

．參考答案：[6，72]考點(diǎn)： 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．專題： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 由題意可得M（t）=3t﹣3﹣t，N（t）=1﹣3﹣t；從而求得g（t）?[g（t）+1]=（3t﹣1）3t；從而求值域．解答： 由題意，M（t）=3t﹣3﹣t，N（t）=1﹣3﹣t；g（t）=（3t﹣3﹣t）﹣（1﹣3﹣t）=3t﹣1；g（t）?[g（t）+1]=（3t﹣1）3t；∵1≤t≤2，∴3≤3t≤9；∴6≤（3t﹣1）3t≤72；故答案為：[6，72]．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受能力，屬于中檔題．16.求下列各式的值：（1）（2）參考答案：（1）；（2）917.已知log54=a，log53=b，用a，b表示log2536=．參考答案：+b考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則求解．解答：解：∵log54=a，log53=b，∴l(xiāng)og2536=log56=log52+log53=+log53=．故答案為：+b．點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)、運(yùn)算，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求和：．參考答案：19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．（1）證明：PA∥平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】證明題．【分析】（1）由題意連接AC，AC交BD于O，連接EO，則EO是中位線，證出PA∥EO，由線面平行的判定定理知PA∥平面EDB；（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC證出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形證出DE⊥平面PBC，則有DE⊥PB，再由條件證出PB⊥平面EFD．【解答】解：（1）證明：連接AC，AC交BD于O．連接EO．∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．∴在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO，∵EO?平面EDB，且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．

（2）證明：∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線線、線面平行和垂直的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)中位線證明線線平行，再由線面平行的判定得到線面平行；垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化是由線面垂直的定義和判定定理實(shí)現(xiàn)．20.（本小題滿分12分）已知．（1）求的值；（2）若，求的值．參考答案：（1）由，可得．

…………2分

∵，∴，

…………4分∴.

…………6分（2）由，可得，

…………8分即，

…………9分由（1）及,得，

…………11分解得.

…………12分21.已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x﹣）+sin2x+sinxcosx．（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期；（2）若2f（x）﹣m+1=0在[，]有實(shí)根，求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，由此求出y=f（x）的最小正周期；（2）把2f（x）﹣m+1=0化為f（x）=，根據(jù)函數(shù)f（x）在[，]上的最值列出不等式，即可求出m的取值范圍．【解答】解：（1）f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+sin2x+sinxcosxcosxsinx﹣cos2x+sin2x+sinxcosx=2sinxcosx﹣（cos2x﹣sin2x）=sin2x﹣cos2x=；…所以f（x）的最小正周期為π；

…（2）由2f（x）﹣m+1=0可得：，∵，∴；…當(dāng)時(shí)，即，f（x）的最小值為0，當(dāng)時(shí)，即，f（x）的最大值為2，故f（x）∈[0，2]；…當(dāng)時(shí)，原方程有實(shí)根，故1≤m≤5．…22.已知