2022-2023學(xué)年山東省臨沂市南鄉(xiāng)中心中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年山東省臨沂市南鄉(xiāng)中心中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+=1的離心率為，則m的值為（）A． B．C． D．以上答案均不對參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得a2=2，b2=m，由橢圓的幾何性質(zhì)計(jì)算可得c的值，進(jìn)而由離心率公式可得有e===，計(jì)算可得m的值，即可得答案．【解答】解：由題意，橢圓的方程為+=1，其焦點(diǎn)在y軸上，其中a2=2，b2=m，則c2=2﹣m，又由其離心率為，則有e===，解可得m=；故選：C．2.下列各數(shù)中最小的是

（

）A.

B.

C.

D.

81參考答案：A3.從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè),其個(gè)位數(shù)為0的概率是 （）A． B． C． D．參考答案：D4.以雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐標(biāo)原點(diǎn)）為圓心，焦矩為直徑的圓與雙曲線交于M點(diǎn)（第一象限），F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸垂線，垂足恰為OF2的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A．﹣1 B． C．+1 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意M的坐標(biāo)為M（），代入雙曲線方程可得e的方程，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意M的坐標(biāo)為M（），代入雙曲線方程可得∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線與圓的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．5.已知直線a、b和平面α、β，且b⊥α，那么(

)A．b⊥a?a∥α B．b不在β內(nèi)?α∩β=?C．a(chǎn)∥α?b⊥a D．α⊥β?b∥β參考答案：C【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)一條直線與平面平行，另一條直線與平面垂直，則這兩條直線的位置關(guān)系一定是垂直．【解答】解：∵直線a、b和平面α、β，且b⊥α，當(dāng)直線a與α平行時(shí)，b⊥a，故選C．【點(diǎn)評】本題考查直線和平面的位置關(guān)系，是一個(gè)基礎(chǔ)題，本題解題的關(guān)鍵是看清題目中各個(gè)量的關(guān)系，不要漏掉某種情況．6.函數(shù)的圖象一部分如右圖所示，則、的值分別是（

）（A）1,

（B）1，

（C）2,

（D）2,參考答案：C7.如右圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度隨時(shí)間變化的可能圖（

）

A

B

C

D

參考答案：略8.函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.若函數(shù)在[5,8]上是單調(diào)函數(shù)，則k的取值范圍是（）A.(－∞,40] B.[40,64]C.(－∞,40]∪[64,+∞) D.[64,+∞)參考答案：C試題分析：二次函數(shù)對稱軸為，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以或或考點(diǎn)：二次函數(shù)單調(diào)性10.數(shù)列，，，，…的第10項(xiàng)是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡單表示法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由數(shù)列，，，，…可得其通項(xiàng)公式an=．即可得出．【解答】解：由數(shù)列，，，，…可得其通項(xiàng)公式an=．∴=．故選C．【點(diǎn)評】得出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{)中,,則公比q的值為

參考答案：212.在中,則

___________________.參考答案：12略13.函數(shù)在上取得最

值時(shí)，此時(shí)的值為

．參考答案：大，略14.已知數(shù)列{an}中，a1=1且=+1（n∈N*），則an=．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由數(shù)列遞推式可知數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由此求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，則答案可求．【解答】解：由=+1（n∈N*），得﹣=1（n∈N*），因?yàn)閍1=1，所以=1，所以數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以=1+（n﹣1）×1=n，所以an=．故答案是：．【點(diǎn)評】本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．15.已知點(diǎn)及橢圓上任意一點(diǎn)，則最大值為

。參考答案：略16.設(shè)點(diǎn)為函數(shù)與圖象的公共點(diǎn)，以為切點(diǎn)可作直線與兩曲線都相切，則實(shí)數(shù)的最大值為

．參考答案：17.與的等比中項(xiàng)是_________.參考答案：±1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2+（1﹣x）ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=x﹣（1+a）lnx﹣，a＜1．（1）求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（2）討論函數(shù)g（x）的極小值；（3）若對任意的x1∈[﹣1，0]，總存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可；（3）問題等價(jià)于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函數(shù)g（x）在[e，3]上的最小值，分別求出f（x），g（x）的極小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=x（1﹣ex），∴f′（1）=1﹣e，即切線的斜率是1﹣e，又f（1）=，則切點(diǎn)坐標(biāo)是（1，），故f（x）在x=1處的切線方程是y﹣=（1﹣e）（x﹣1），即2（e﹣1）x+2y﹣2e+1=0；（2）∵g′（x）==，a＜1，函數(shù)g（x）的定義域是{x|x＞0}，∴0＜a＜1時(shí)，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a或x＞1，令g′（x）＜0，解得：a＜x＜1，∴g（x）在（0，a）遞增，在（a，1）遞減，在（1，+∞）遞增，∴g（x）的極小值為g（1）=1﹣a，a≤0時(shí)，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴g（x）的極小值是g（1）=1﹣a，綜上，函數(shù)g（x）的極小值是1﹣a；（3）若對任意的x1∈[﹣1，0]，總存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，等價(jià)于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函數(shù)g（x）在[e，3]上的最小值，x∈[﹣1，0]時(shí)，f′（x）=x（1﹣ex）≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)不等式取“=”，∴f（x）在[﹣1，0]上單調(diào)遞減，∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是f（0）=1，由（2）得，g（x）在[e，3]遞減，∴g（x）在[e，3]的最小值是g（e）=e﹣（a+1）﹣，故1＞e﹣（a+1）﹣，解得：a＞，又a＜1，故a∈（，1）．19.已知函數(shù)滿足，其中，且.（1）求函數(shù)的解析式，并證明其單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，化簡.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）先令，得到，根據(jù)函數(shù)相等，可求出的解析式；再分別討論，兩種情況，用導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得出的單調(diào)性；（2）先由（1）得到，求出的范圍，即可化簡原式.【詳解】（1）令，則，則，；①時(shí)，，；所以在上單調(diào)遞增；因此在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，，，所以在上單調(diào)遞減；因此在上單調(diào)遞增；綜上，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，只需；即，整理得，解得，因，所以；所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)解析式，函數(shù)單調(diào)性的判定，以及多項(xiàng)式的化簡，熟記求函數(shù)解析式的方法，判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及對數(shù)運(yùn)算公式即可，屬于常考題型.

20.設(shè)函數(shù)f（x）=2lnx﹣x2．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0在區(qū)間[1，3]內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的零點(diǎn)．【分析】求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解f′（x）＞0便得增區(qū)間．要使關(guān)于x的方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0在區(qū)間[1，3]內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根，也就是讓函數(shù)f（x）+x2﹣x﹣2﹣a在[1，3]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，令g（x）=f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=2lnx﹣x﹣2﹣a，下面要做的就是考查g（x）在區(qū)間[1，3]內(nèi)最值情況，若有最大值，則限制最大值大于0，然后兩個(gè)端點(diǎn)值都小于0，若有最小值，情況恰好相反．【解答】解：（1）f′（x）=，∵x＞0，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1]．（2）將f（x）代人方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0得2lnx﹣x﹣2﹣a=0，令g（x）=2lnx﹣x﹣2﹣a則g′（x）=；∴x∈[1，2）時(shí)，g′（x）＞0；x∈（2，3]時(shí)，g′（x）＜0；∴g（2）是g（x）的極大值，也是g（x）在[1，3]上的最大值；∵關(guān)于x的方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0在區(qū)間[1，3]內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根；∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，3]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；則有：g（2）＞0，g（1）＜0，g（3）＜0，所以有：解得：2ln3﹣5＜a＜2ln2﹣4，所以a的取值范圍是（2ln3﹣5，2ln2﹣4）．21.已知圓C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及點(diǎn)Q（﹣2，3）．（1）若M為圓C上任一點(diǎn)，求|MQ|的最大值和最小值；（2）若實(shí)數(shù)m，n滿足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）求出|QC|，即可求|MQ|的最大值和最小值；（2）由題意，（m，n）是圓C上一點(diǎn)，k表示圓上任意一點(diǎn)與（﹣2，3）連線的斜率，設(shè)直線方程為y﹣3=k（x+2），直線與圓C相切時(shí)，k取得最值．【解答】解：（1）圓C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化為（x﹣2）2+（y﹣7）2=8，圓心坐標(biāo)為C（2，7），半徑r=2，|QC|==4，|MQ|max=4+2=6，|MQ|min=4=2；（2）由題意，（m，n）是圓C上一點(diǎn)，k表示圓上任意一點(diǎn)與（﹣2，3）連線的斜率，設(shè)直線方程為y﹣3=k（x+2），直線與圓C相切時(shí)，k取得最值，即=2，∴k=2，∴k的最大值為2+，最小值為2﹣．22.設(shè).（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，求△ABC面積的最大值.參考答案：（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是（2）【分析】利用二倍角公式、兩角和差余弦公式和輔助角公式可化簡函數(shù)為；（1）令，解