隱藏在勢(shì)能函數(shù)里的信息

隱藏在勢(shì)能函數(shù)里的信息第一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四引子——線性恢復(fù)力作用下的運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)指向平衡位置的力稱恢復(fù)力?；謴?fù)力的大小與偏離/形變/位移成正比時(shí)，稱為線性恢復(fù)力。受線性恢復(fù)力作用的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：（1）或（2）解為或A稱振幅，ω稱角頻率/圓頻率，φ/δ稱初相。運(yùn)動(dòng)方式(3)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其特點(diǎn)是，頻率與振幅無(wú)關(guān)。（3）第二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四xU2.設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)受保守力作用沿x軸運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)為.勢(shì)能曲線如下。曲線與x軸的交點(diǎn)a,b,稱為U曲線的零點(diǎn)，它們滿足方程:abx1x0x2在x=x0,x1,x2處，勢(shì)能曲線上的點(diǎn)d,c,e有水平切線。它們稱為曲線的極值點(diǎn)，又稱平衡點(diǎn)。極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程：(5)cde(4)o第三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四xUx1x0x2極值點(diǎn)可分為以下3類：1.極大如e,滿足條件cde3.拐點(diǎn)如c,滿足條件2.極小如d，滿足條件Exffg質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)范圍不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。穩(wěn)定平衡點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒：o第四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四在保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，滿足機(jī)械能守恒條件。設(shè)能量值為E,在圖中用紅色水平線表示。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于x處時(shí)，其勢(shì)能值為蘭色箭頭所示，向下為負(fù)；動(dòng)能為藍(lán)色箭頭所示，向上為正。兩者之和為E.因動(dòng)能不可能為負(fù)，質(zhì)點(diǎn)被限制在f,g之間作往復(fù)周期性運(yùn)動(dòng),滿足條件E≥U(x)。xUx1x0x2cdeExffg質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)范圍因動(dòng)能是非負(fù)的，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)范圍便是：o第五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)能曲線極小點(diǎn)附近的行為設(shè)能量值E只比勢(shì)能極小值U(x0)大一個(gè)小量ΔΕ<<1:xUx0Exffg運(yùn)動(dòng)范圍●U(x0)E-U(x0)=ΔΕ<<1(6)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍也會(huì)很小：E≥U(x)x1x2-x1<<1x2因而任何時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)到x0的距離都滿足條件：(7)o第六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四xUx0Exffg運(yùn)動(dòng)范圍●U(x0)x1x2(9)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程：將函數(shù)U′(x)在x0的鄰域內(nèi)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，取到一階小量：引入新變量(8)(10)它就是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于穩(wěn)定平衡點(diǎn)x0的偏離。于是方程(8)成為(11)由于，（11）是ε的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，圓頻率為(12)o第七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四以上分析表明：任何系統(tǒng)，在其穩(wěn)定平衡狀態(tài)（如果存在的話）附近受到微小擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)將作微幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其頻率與振幅無(wú)關(guān)，為(13)這是一個(gè)用途極其廣泛的結(jié)果：小到晶體中的晶格振動(dòng)，大到建筑結(jié)構(gòu)的小振動(dòng)，都服從這個(gè)規(guī)律。這種振動(dòng)不會(huì)破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。任何人為設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)，都應(yīng)使其工作狀態(tài)處于勢(shì)能極小附近。無(wú)所不在的微擾能量會(huì)被這種非破壞性的振動(dòng)吸收。第八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四4.我們現(xiàn)在來(lái)將上述結(jié)果推廣到中心力作用下的二維運(yùn)動(dòng)。用平面極坐標(biāo)系討論中心力問(wèn)題很方便。取力心（在慣性空間靜止）為原點(diǎn)。中心力都是保守力，設(shè)勢(shì)能函數(shù)為。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能為●●rmθ極軸力心o機(jī)械能守恒表示式為(14)中心力問(wèn)題角動(dòng)量守恒：為常矢，垂直圖面向外。第九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四將角動(dòng)量守恒式寫(xiě)成投影形式：（15）（15）代入（14）消去,得到機(jī)械能守恒與角動(dòng)量守恒相結(jié)合的關(guān)系式：（16）注意（16）只含一個(gè)坐標(biāo)變量r,橫向運(yùn)動(dòng)看不見(jiàn)了！定義徑向坐標(biāo)函數(shù)（17）（16）就成為（18）這不就是一個(gè)只作徑向運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒式嗎？(17)定義的稱為中心力問(wèn)題的等效勢(shì)函數(shù)。

第十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)想觀察者坐在隨質(zhì)點(diǎn)一起繞力心旋轉(zhuǎn)的軸上，他只能看見(jiàn)質(zhì)點(diǎn)作徑向運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能就是●●力心極軸勢(shì)能就是機(jī)械能守恒就是（18）這就是觀察者看見(jiàn)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。將（18）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：約去，得（19）第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四我們可以用等效勢(shì)函數(shù)討論徑向運(yùn)動(dòng)的種種特性。以點(diǎn)狀彈簧問(wèn)題為例：設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力●●rmθ極軸彈性力心o彈性勢(shì)函數(shù)等效勢(shì)函數(shù)以下用數(shù)學(xué)分析方法討論等效勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)：①令解出等效勢(shì)極值點(diǎn)坐標(biāo)：(20)第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四rE0r0右圖所示為二維胡克力場(chǎng)的等效勢(shì)曲線。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能與角動(dòng)量均守恒，可設(shè)其值分別為E與L.當(dāng)E=E0=時(shí)，能量線與等效勢(shì)曲線相切，r只能取唯一可能值r0.此時(shí)質(zhì)點(diǎn)無(wú)徑向運(yùn)動(dòng)。在慣性空間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)。反平方雙曲線拋物線由此可見(jiàn)，若等效勢(shì)曲線有極小，且機(jī)械能E=等效勢(shì)極小值,則質(zhì)點(diǎn)繞質(zhì)心作半徑為r0的圓運(yùn)動(dòng)。o第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四這與(20)一致。即，圓周運(yùn)動(dòng)半徑是方程的根，也就是等效勢(shì)曲線的極小點(diǎn)的橫坐標(biāo)。按牛頓定律，向心力公式為化成rE0r0②由圖知，能量E不可能小于E0.最小能量E0與角動(dòng)量為L(zhǎng),半徑為r0的圓運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)。o第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四rEr0③若能量值為E,能量線與曲線相交于兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為r1與r2.r1r2r質(zhì)點(diǎn)的徑向運(yùn)動(dòng)范圍便是：在隨質(zhì)點(diǎn)一起繞力心旋轉(zhuǎn)的徑向坐標(biāo)系內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)受力為（21）（22）上式右方第二項(xiàng)是胡克力，第一項(xiàng)就是慣性離心力。在r>r0處，f(r)<0,在r<r0處，f(r)>0,力f永遠(yuǎn)指向平衡點(diǎn)r0.這表明：質(zhì)點(diǎn)在橫向與徑向同時(shí)在作往復(fù)周期運(yùn)動(dòng)。o第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四④質(zhì)點(diǎn)在繞力心旋轉(zhuǎn)的同時(shí)還要做徑向振動(dòng)，這是一種什么樣的復(fù)合運(yùn)動(dòng)呢？可能有兩種情況：rE0r0橫向運(yùn)動(dòng)周期/頻率與徑向運(yùn)動(dòng)周期/頻率成簡(jiǎn)單整數(shù)比，則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是封閉曲線（李薩茹圖形）；橫向運(yùn)動(dòng)周期/頻率與徑向運(yùn)動(dòng)周期/頻率的比值是無(wú)理數(shù)，則質(zhì)點(diǎn)軌跡不封閉?？梢試?yán)格證明，在中心力是胡克力的情況下，徑向頻率：橫向頻率=2:1。軌跡是橢圓，力心在橢圓長(zhǎng)短軸的交點(diǎn)。o第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四⑤現(xiàn)僅就能量E=E0+ΔE稍大于圓運(yùn)動(dòng)能量E0的情況作一討論。因rE0r0因而質(zhì)點(diǎn)的徑向運(yùn)動(dòng)范圍滿足條件r1r2將徑向運(yùn)動(dòng)方程在平衡點(diǎn)r0的鄰域內(nèi)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，展開(kāi)到一級(jí)小量：可見(jiàn)，徑向運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其圓頻率為o第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)徑向小振動(dòng)圓頻率質(zhì)點(diǎn)的橫向運(yùn)動(dòng)頻率可以如下求出：橫向運(yùn)動(dòng)偏離勻速圓周運(yùn)動(dòng)很小。按圓周運(yùn)動(dòng)計(jì)算，橫向角速度ω滿足條件：向心力公式第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四即，在徑向運(yùn)動(dòng)完成兩個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，橫向運(yùn)動(dòng)完成一個(gè)周期。質(zhì)點(diǎn)徑向振動(dòng)圓頻率質(zhì)點(diǎn)的橫向運(yùn)動(dòng)頻率●力心●第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四5.再看另一種常見(jiàn)的中心力——反平方引力的情形反平方引力勢(shì)能函數(shù)等效勢(shì)能函數(shù)①求圓運(yùn)動(dòng)半徑令求得可能的圓運(yùn)動(dòng)半徑可用向心力公式驗(yàn)證（1）第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在慣性系中作半徑為r0的圓運(yùn)動(dòng)，能量為E0。由于等效勢(shì)函數(shù)在r0處有極小。半徑為r0的圓運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。r0rE0E+ΔEr1r2②求徑向振動(dòng)頻率（2）o第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四為求橫向頻率，寫(xiě)出向心力公式：（3）（2），（3）比較，知Ω=ω?！瘛窳π目勺C，軌道是以力心為焦點(diǎn)之一的橢圓。第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四r0rE0r1r2E●●力心r2r1o可證，只要軌跡都是以力心為焦點(diǎn)之一的橢圓。能量的最小可能值是,此時(shí)軌跡為圓。等效勢(shì)分析法還可以用以分析陀螺運(yùn)動(dòng)。機(jī)械能守恒式加上兩個(gè)角動(dòng)量分量守恒式，就可以將陀螺運(yùn)動(dòng)用一個(gè)角坐標(biāo)及其相應(yīng)的角速度表出，迅速得出章動(dòng)周期。第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.自然界的秩序和方向性第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、宏觀事物的不可逆性《漢書(shū)》上記敘了一個(gè)故事，說(shuō)的是漢代有一個(gè)名叫朱買(mǎi)臣的人，因家境貧寒，他的妻子不愿與他患難相守，離他而去。待到幾年后，朱買(mǎi)臣功成名就，衣錦還鄉(xiāng)時(shí)，這個(gè)已經(jīng)嫁給了別人的女人又想破鏡重圓。朱買(mǎi)臣則在馬前潑水以明心志。這就是成語(yǔ)《覆水難收》的來(lái)歷。在自然界，我們每天都能見(jiàn)到不可能自動(dòng)返回原狀的過(guò)程：玻璃杯落地摔成一堆玻璃碴；寵物狗與流浪狗玩了一會(huì)兒，前者染上了滿身跳蚤；克服摩擦力做的功全部變成熱，等等。我們?cè)诖髮W(xué)物理教材用幾個(gè)編號(hào)的分子在容器左右兩邊的分布的可能性來(lái)說(shuō)明某種宏觀分布狀態(tài)出現(xiàn)的幾率。現(xiàn)在我們來(lái)看稍微復(fù)雜的情形。第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四在教科書(shū)中，我們討論過(guò)大量分子在容器左右兩半中分布的可能情況，從而導(dǎo)出了熵的波爾茲曼表示式。實(shí)際上，分子的分布不僅有位置分布，還有能量分布。我們來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。密閉容器中的定量氣體，不僅有確定的總分子數(shù)N和體積V,而且有確定的內(nèi)能E。以i標(biāo)記一種可能的微觀狀態(tài)，在其中，單個(gè)分子的能量為εi，處于這個(gè)能量狀態(tài)的分子數(shù)為Ni,于是有打個(gè)比方：3個(gè)人分3個(gè)蘋(píng)果。此處3個(gè)人表示總分子數(shù)N=3;3個(gè)蘋(píng)果表示總能量E=3.就單個(gè)分子而言，可能的能量有四種：第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期四總體能量分布情況有以下諸種：N=ΣNiE=ΣNiεiNi微觀能量狀態(tài)1每人1個(gè)蘋(píng)果a,b,cN1=0;N2=3；N3=0；N4=01微觀能量狀態(tài)21人獨(dú)占3個(gè)蘋(píng)果,2人無(wú)蘋(píng)果a,bcN1=2;N2=0;N3=0;N4=13a,cbb,ca微觀能量狀態(tài)31人2個(gè)蘋(píng)果1人1個(gè)蘋(píng)果1人無(wú)蘋(píng)果abc