趨勢(shì)面分析方法

趨勢(shì)面分析方法第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三一、趨勢(shì)面分析的一般原理

趨勢(shì)面分析，是利用數(shù)學(xué)曲面模擬地理系統(tǒng)要素在空間上的分布及變化趨勢(shì)的一種數(shù)學(xué)方法。它實(shí)質(zhì)上是通過(guò)回歸分析原理，運(yùn)用最小二乘法擬合一個(gè)二維非線性函數(shù)，模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢(shì)。

第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三趨勢(shì)面分析方法常常被用來(lái)模擬資源、環(huán)境、人口及經(jīng)濟(jì)要素在空間上的分布規(guī)律，它在空間分析方面具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

趨勢(shì)面是一種抽象的數(shù)學(xué)曲面，它抽象并過(guò)濾掉了一些局域隨機(jī)因素的影響，使地理要素的空間分布規(guī)律明顯化。

第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三通常把實(shí)際的地理曲面分解為趨勢(shì)面和剩余面兩部分，前者反映地理要素的宏觀分布規(guī)律，屬于確定性因素作用的結(jié)果；而后者則對(duì)應(yīng)于微觀局域，是隨機(jī)因素影響的結(jié)果。趨勢(shì)面分析的一個(gè)基本要求，就是所選擇的趨勢(shì)面模型應(yīng)該是剩余值最小，而趨勢(shì)值最大，這樣擬合度精度才能達(dá)到足夠的準(zhǔn)確性?？臻g趨勢(shì)面分析，正是從地理要素分布的實(shí)際數(shù)據(jù)中分解出趨勢(shì)值和剩余值，從而揭示地理要素空間分布的趨勢(shì)與規(guī)律。

第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三（一）建立趨勢(shì)面模型設(shè)某地理要素的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)為，趨勢(shì)面擬合值為，則有

式中：εi即為剩余值（殘差值）。顯然，當(dāng)（xi，yi）在空間上變動(dòng)時(shí)，（3.6.1）式就刻畫了地理要素的實(shí)際分布曲面、趨勢(shì)面和剩余面之間的互動(dòng)關(guān)系。

（3.6.1）

第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三趨勢(shì)面分析的核心從實(shí)際觀測(cè)值出發(fā)推算趨勢(shì)面，一般采用回歸分析方法，使得殘差平方和趨于最小，即這就是在最小二乘法意義下的趨勢(shì)面擬合。

第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三用來(lái)計(jì)算趨勢(shì)面的數(shù)學(xué)方程式有多項(xiàng)式函數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)，其中最為常用的是多項(xiàng)式函數(shù)形式。因?yàn)槿魏我粋€(gè)函數(shù)都可以在一個(gè)適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)用多項(xiàng)式來(lái)逼近，而且調(diào)整多項(xiàng)式的次數(shù)，可使所求的回歸方程適合實(shí)際問(wèn)題的需要。

第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三多項(xiàng)式趨勢(shì)面的形式①一次趨勢(shì)面模型②二次趨勢(shì)面模型③三次趨勢(shì)面模型（3.6.2）

（3.6.3）

（3.6.4）

第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三（二）估計(jì)趨勢(shì)面模型的參數(shù)實(shí)質(zhì)根據(jù)觀測(cè)值z(mì)i，xi，yi（i=1,2,…,n）確定多項(xiàng)式的系數(shù)a0，a1，…，ap，使殘差平方和最小。過(guò)程

①將多項(xiàng)式回歸（非線性模型）模型轉(zhuǎn)化為多元線性回歸模型。第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三令

則②其殘差平方和為

（3.6.5）

第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三③求Q對(duì)a0，a1，…，ap的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得正規(guī)方程組(式中為p+1個(gè)未知量）（3.6.6）

第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三④用矩陣形式表示則（3.6.6）式變?yōu)椋?.6.7）

第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三⑤

對(duì)于二元二次多項(xiàng)式有

其正規(guī)方程組為

第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三由式（3.6.7）求解，可得（3.6.8）

第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、趨勢(shì)面模型的適度檢驗(yàn)

趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn)趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)趨勢(shì)面分析擬合程度與回歸模型的效果直接相關(guān)，因此，對(duì)趨勢(shì)面分析進(jìn)行適度性檢驗(yàn)是一個(gè)關(guān)系到趨勢(shì)面能否在實(shí)際研究中加以應(yīng)用的關(guān)鍵問(wèn)題，也是趨勢(shì)面分析中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。這可以通過(guò)以下檢驗(yàn)來(lái)完成：第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三（一）趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn)趨勢(shì)面與實(shí)際面的擬合度系數(shù)R2是測(cè)定回歸模型擬合優(yōu)度的重要指標(biāo)。一般用變量z的總離差平方和中回歸平方和所占的比重表示回歸模型的擬合優(yōu)度?？傠x差平方和等于回歸平方和與剩余平方和之和。即第十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

越大（或越小）就表示因變量與自變量的關(guān)系越密切，回歸的規(guī)律性越強(qiáng)、效果越好。記

越大，趨勢(shì)面的擬合度就越高。

為剩余平方和，它表示隨機(jī)因素對(duì)離差的影響，為回歸平方和，它表示自變量對(duì)因變量的離差的總影響。

（3.6.9）

第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三（二）趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)趨勢(shì)面適度的F檢驗(yàn)，是對(duì)趨勢(shì)面回歸模型整體的顯著性檢驗(yàn)。

方法：是利用變量z的總離差平方和中剩余平方和與回歸平方和的比值，確定變量z與自變量x、y之間的回歸關(guān)系是否顯著。即結(jié)果分析：在顯著性水平α下，查F分布表得Fα，若計(jì)算的F值大于臨界值Fα，則認(rèn)為趨勢(shì)面方程顯著；反之則不顯著。

（3.6.10）

第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三（三）趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)

方法(1)求出較高次多項(xiàng)式方程的回歸平方和與較低次多項(xiàng)式方程的回歸平方和之差;(2)將此差除以回歸平方和的自由度之差，得出由于多項(xiàng)式次數(shù)增高所產(chǎn)生的回歸均方差;(3)將此均方差除以較高次多項(xiàng)式的剩余均方差，得出相繼兩個(gè)階次趨勢(shì)面模型的適度性比較檢驗(yàn)值F。若所得的F值是顯著的，則較高次多項(xiàng)式對(duì)回歸作出了新貢獻(xiàn)，若F值不顯著，則較高次多項(xiàng)式對(duì)于回歸并無(wú)新貢獻(xiàn)。相應(yīng)的方差分析表見表3.6.1。

第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

表3.6.1多項(xiàng)式趨勢(shì)面由K次增高至（K+1）次的回歸顯著性檢驗(yàn)離差來(lái)源平方和自由度均方差F檢驗(yàn)（K+1）次回歸

p

（K+1）次剩余

n–p–1K次回歸

qK次剩余

n–q–1由K次增高至（K+1）次的回歸p–q總離差SST第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三需要注意的是，在實(shí)際應(yīng)用中，往往用次數(shù)低的趨勢(shì)面逼近變化比較小的地理要素?cái)?shù)據(jù)，用次數(shù)高的趨勢(shì)面逼近起伏變化比較復(fù)雜的地理要素?cái)?shù)據(jù)。次數(shù)低的趨勢(shì)面使用起來(lái)比較方便，但具體到某點(diǎn)擬合較差；次數(shù)較高的趨勢(shì)面只在觀測(cè)點(diǎn)附近效果較好，而在外推和內(nèi)插時(shí)則效果較差。

第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、趨勢(shì)面分析應(yīng)用實(shí)例

某流域1月份降水量與各觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)位置數(shù)據(jù)如表3.6.2所示。下面，我們以降水量為因變量z，地理位置的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為自變量x、y，進(jìn)行趨勢(shì)面分析，并對(duì)趨勢(shì)面方程進(jìn)行適度F檢驗(yàn)。

第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三表3.6.2流域降水量及觀測(cè)點(diǎn)的地理位置數(shù)據(jù)序號(hào)降水量Z/mm橫坐標(biāo)x/104m縱坐標(biāo)y/104m12345678910111227.638.42424.73255.540.437.53131.75344.901.11.82.953.41.80.70.20.851.652.653.6510.6000.21.71.323.353.153.12.55第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三建立趨勢(shì)面模型

(1)

首先采用二次多項(xiàng)式進(jìn)行趨勢(shì)面擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

解題步驟第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖3.6.1某流域降水量的二次多項(xiàng)式趨勢(shì)面

第二十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三(2)再采用三次趨勢(shì)面進(jìn)行擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

第二十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖3.6.2某流域降水量的三次多項(xiàng)式趨勢(shì)面

第二十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三(1)趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn):根據(jù)R2檢驗(yàn)方法計(jì)算，結(jié)果表明，二次趨勢(shì)面的判定系數(shù)為R22=0.839，三次趨勢(shì)面的判定系數(shù)為R32=0.965，可見二次趨勢(shì)面回歸模型和三次趨勢(shì)面回歸模型的顯著性都較高，而且三次趨勢(shì)面較二次趨勢(shì)面具有更高的擬合程度。

模型檢驗(yàn)第二十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三(2)

趨勢(shì)面適度的顯著性F檢驗(yàn):根據(jù)F檢驗(yàn)方法計(jì)算，結(jié)果表明，二次趨勢(shì)面和三次趨勢(shì)面的F值分別為F2=6.236和F3=6.054。在置信水平α=0.05下，查F分布表得F3α=。顯然，，故二次趨勢(shì)面的回歸方程顯著而三次趨勢(shì)面不顯著。因此，F(xiàn)檢驗(yàn)的結(jié)果表明，用二次趨勢(shì)面進(jìn)行擬合比較合理。。第三十頁(yè)，共三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三趨勢(shì)面比較：在二次和三次趨勢(shì)面檢驗(yàn)中，對(duì)兩個(gè)階次趨勢(shì)面模型的適度進(jìn)行比較，相應(yīng)的方差分析計(jì)算結(jié)果見表3.6.3。(3)趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)：

離差來(lái)源平方和自由度均方差F檢驗(yàn)三次回歸三次剩余二次回歸二次剩余由二次增高至三次的回歸

1129.78941.474982.244189.018147.545912-9-1512-5-14125.53220.737196.44931.50336.8866.0546.2361.779表3.6.3二次和三