隨機(jī)變量的方差

隨機(jī)變量的方差第一頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四

上一節(jié)介紹的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要數(shù)字特征.但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的，我們還想知道隨機(jī)變量取值偏離平均值的程度。為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其均值附近的離散程度.一、方差的定義

第二頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例：檢驗(yàn)兩批燈泡的質(zhì)量,從中分別隨機(jī)抽樣5只,測(cè)得使用壽命如下:A:2000150010005001000;B:15001500100010001000;(單位:小時(shí)),試比較這兩批燈泡質(zhì)量的好壞.計(jì)算得:平均壽命分別為:A:1200,B:1200,觀察得:A中使用壽命與平均壽命偏離較大,B中使用壽命與平均壽命偏離較小,所以,B產(chǎn)品質(zhì)量較好.數(shù)學(xué)期望方差這個(gè)反映“偏離程度”的指標(biāo)是隨機(jī)變量的另一個(gè)特征，我們稱之為方差，它刻劃了隨機(jī)變量的取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.第三頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四方差的定義

或

第四頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四注1由方差定義，若隨機(jī)變量X的方差D(X)存在，則

注2若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在，而X的方差不一定存在；若X的方差存在，則X的數(shù)學(xué)期望必存在.第五頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四離散型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差方差的計(jì)算

(1)利用定義計(jì)算

第六頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四證明(2)利用公式計(jì)算第七頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四證明二、方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,a,b是常數(shù),則有

D(aX+b)=a2D(X)

證明

第八頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)和方差D(X)都存在，且D(X)>0,令稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，求解

第九頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求D(X).解于是第十頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=2.4,方差

DX=1.44,則X2的數(shù)學(xué)期望EX2=()7.2例4已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差均為2，求隨機(jī)變量Z=3X-2的期望和方差EZ,DZ.解：EZ=3EX-2=4DZ=9DX=18第十一頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四其中k是正整數(shù).三、矩第十二頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四四、切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)存在，則對(duì)任意的，有或第十三頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四得證明取連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來(lái)證明.第十四頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1設(shè)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=μ，方差

Dξ=σ2則由切比雪夫不等式有解：根據(jù)切比雪夫不等式第十五頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2.設(shè)X~用切比雪夫不等式證明證明:EX==n+1EX2