2024屆新高考一輪復(fù)習湘教版 7-2 空間點、直線、平面的位置關(guān)系 學(xué)案

第二節(jié)空間點、直線、平面的位置關(guān)系【課標標準】1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能用定理解決問題．必備知識·夯實雙基知識梳理1.平面的基本事實基本事實1：過________________的三個點，有且只有一個平面．基本事實2：如果一條直線上的________在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們________________過該點的公共直線．基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線________．2．三個推論推論1：經(jīng)過一條直線與______________有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條____直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條____直線有且只有一個平面．3．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類共面直線(2)異面直線所成的角：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．范圍為：________．4．直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有：________________，______________，______________三種情況．5．平面與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系：________，________兩種情況．6．等角定理如果空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角________________．[常用結(jié)論]1．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．2．過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．3．過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．4．過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．夯實雙基1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線．()(2)兩兩平行的三條直線可以確定三個平面．()(3)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．()(4)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．()2．(教材改編)下列命題中正確的是()A．過三點確定一個平面B．四邊形是平面圖形C．三條直線兩兩相交則確定一個平面D．兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域3．(教材改編)三個平面最多把空間分成________部分，最少能把空間分成________部分．4．(易錯)已知兩條相交直線a，b，a∥平面α，b與α的位置關(guān)系是()A．b∥α B．b與α相交C．b?α D．b∥α或b與α相交5．(易錯)如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，∠AOB＝π3，則∠A1O1B1＝________關(guān)鍵能力·題型突破題型一平面基本事實的應(yīng)用例1[2023·遼寧撫順一中模擬]如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，E，F(xiàn)，G，H分別為BB1，CC1，A1B1，A1C1的中點．(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)證明：EG，F(xiàn)H，AA1三線共點．[聽課記錄]題后師說共面、共線、共點問題的證明方法鞏固訓(xùn)練1(1)[2023·安徽淮南一中模擬]在長方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點為M，O為線段B1D1的中點，則下列結(jié)論錯誤的是()A．A，M，O三點共線B．M，O，A1，A四點共面C．B，B1，O，M四點共面D．A，O，C，M四點共面(2)在空間四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點，如果EF與GH能相交于點P，那么()A．點P不在直線AC上B．點P必在直線BD上C．點P必在平面ABC內(nèi)D．點P必在平面ABC外題型二空間兩直線的位置關(guān)系例2(1)[2023·河北英才國際學(xué)校模擬](多選)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，下列說法正確的有()A.直線AM與CC1是相交直線B．直線AM與BN是平行直線C．直線BN與MB1是異面直線D．直線AM與DD1是異面直線

(2)[2023·遼寧沈陽二中模擬]如圖，G、H、M、N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有________.[聽課記錄]題后師說空間兩直線位置關(guān)系的判定方法鞏固訓(xùn)練2(1)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定(2)α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是()A．垂直 B．相交C．異面 D．平行題型三異面直線所成的角例3[2023·河南焦作期末]在四面體ABCD中，AB＝CD，且異面直線AB與CD所成的角為50°，M，N分別是邊BC，AD的中點，則異面直線MN和AB所成的角為()A．25°或50° B．25°或65°C．50° D．65°[聽課記錄]題后師說求異面直線所成角的步驟鞏固訓(xùn)練3[2021·全國乙卷]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為()A．π2 B．C．π4 D．第二節(jié)空間點、直線、平面的位置關(guān)系必備知識·夯實雙基知識梳理1．不在一條直線兩個點有且只有一條平行2．這條直線外一點相交平行3．相交直線平行直線任何04．直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行5．平行相交6．相等或互補夯實雙基1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：對于A，過不在同一條直線上的三點有且只有一個平面，故A錯誤；對于B，四邊形也可能是空間四邊形，不一定是平面圖形，故B錯誤；對于C，三條直線兩兩相交，可以確定一個平面或三個平面，故C錯誤；對于D，平面是無限延展的，兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域，故D正確．答案：D3．解析：三個平面可將空間分成4，6，7，8部分，所以三個平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分．答案：844．解析：因為a，b是兩條相交直線，所以a，b確定一個平面β，若β∥α，則b∥α，若β與α相交，則b與α相交．故選D.答案：D5．解析：∵OA∥O1A1，OB∥O1B1，∴當直線OA，OA1，OB，OB1中方向都相同或都相反時，∠A1O1B1＝π3當直線OA，OA1，OB，OB1中方向有一條不同，一條相反時，∠A1O1B1＝2π3答案：π3或關(guān)鍵能力·題型突破例1證明：(1)如圖，連接EF，GH.∵GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.∵B1E∥C1F，且B1E＝C1F，∴四邊形B1EFC1是平行四邊形，∴EF∥B1C1，∴EF∥GH，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)如圖，延長EG，F(xiàn)H相交于點P.∵P∈EG，EG?平面ABB1A1，∴P∈平面ABB1A1.∵P∈FH，F(xiàn)H?平面ACC1A1，∴P∈平面ACC1A1.∵平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，∴P∈AA1，∴EG，F(xiàn)H，AA1三線共點．鞏固訓(xùn)練1解析：(1)因為AA1∥CC1，則A，A1，C1，C四點共面．因為M∈A1C，則M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，則點M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理，O、A也在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A、M、O三點共線，從而M，O，A1，A四點共面，A，O，C，M四點共面．由長方體性質(zhì)知：OM，BB1是異面直線，即B，B1，O，M四點不共面．故選C.(2)在空間四邊形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，有E∈平面ABC，F(xiàn)∈平面ABC，則直線EF?平面ABC，同理，直線GH?平面ADC，因EF、GH能相交于點P，即P∈EF，P∈GH，因此P∈平面ABC，P∈平面ADC，而平面ABC∩平面ADC＝AC，于是有P∈AC，A不正確，C正確，D不正確；又直線AC與BD沒有公共點，即點P不在直線BD上，B不正確．故選C.答案：(1)C(2)C例2解析：(1)因為點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點M，所以AM與CC1是異面直線，故A錯；如圖，取DD1的中點E，連接AE，則BN∥AE，但AE與AM相交，故B錯；因為B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，故C正確；同理D正確．故選CD.(2)根據(jù)題意，在①中，MG∥HN且MG＝NH，則四邊形MGHN是平行四邊形，有HG∥MN，不是異面直線；圖②中，G、H、N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；在③中，G、M分別是所在棱的中點，所以GM∥HN且GM≠HN，故HG，NM必相交，不是異面直線；圖④中，G、M、N共面，但H?平面GMN，∴GH與MN異面．所以圖②④中GH與MN異面．答案：(1)CD(2)②④鞏固訓(xùn)練2解析：(1)∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l(xiāng)1與l3的位置關(guān)系不確定，又l4⊥l3，∴l(xiāng)1與l4的位置關(guān)系不確定．故A、B、C錯誤．故選D.(2)∵α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，m?α，n?α，∴n在平面α上，m與平面α相交，∵A∈m，A∈α，∴A是m和平面α相交的點，∵m和n異面或相交，一定不平行．故選D.答案：(1)D(2)D例3解析：取AC中點G，連接GM，GN，∵M、N分別為邊BC和AD的中點，∴GM∥AB，GN∥CD，且GM＝12AB，GN＝12∴異面直線AB與CD所成的角是∠MGN或其補角，由GM綊12AB，GN綊12CD，AB＝CD，得GM＝GN，異面直線MN和AB所成的角是∠GMN異面直線AB與CD所成的角為50°，則∠EGF＝50°或130°，若∠MGN＝50°，則∠GMN＝65°，異面直線MN和AB所成的角是65°，若∠MGN＝130°，則∠GMN＝25°，異面直線MN和AB所成的角是25°.故選B.答案：B鞏固訓(xùn)練3解析：方法一如圖，連接C1P，因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以有C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角．設(shè)正方體ABCD－A1B1C