初中數(shù)學(xué)的幾何最值問題

/1.如圖.∠MON=90°.矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM.ON上.當B在邊ON上運動時.A隨之在邊OM上運動.矩形ABCD的形狀保持不變.其中AB=2.BC=1.運動過程中.點D到點O的最大距離為[]A．B．C．5D．2.在銳角三角形ABC中.BC=.∠ABC=45°.BD平分∠ABC.M、N分別是BD、BC上的動點.則CM+MN的最小值是。3.如圖.圓柱底面半徑為.高為.點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點.且A、B在同一母線上.用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B.求棉線最短為。4.在△ABC中.AB＝5.AC＝3.AD是BC邊上的中線.則AD的取值范圍是．5.如圖.長方體的底面邊長分別為2和4.高為5.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點.則螞蟻爬行的最短路徑長為[]A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm6.如圖所示.在邊長為2的正三角形ABC中.E、F、G分別為AB、AC、BC的中點.點P為線段EF上一個動點.連接BP、GP.則△BPG的周長的最小值是．7.如圖.菱形ABCD中.AB=2.∠A=120°.點P.Q.K分別為線段BC.CD.BD上的任意一點.則PK+QK的最小值為A．1B．C．2D．＋18.如圖.點A的坐標為〔-1.0.點B在直線上運動.當線段AB最短時.點B的坐標為[]A.〔0.0B.〔.C.〔.D.〔.9.如圖.△ABC中.∠BAC=60°.∠ABC=45°.AB=2.D是線段BC上的一個動點.以AD為直徑畫⊙O分別交AB.AC于E.F.連接EF.則線段EF長度的最小值為．10.已知梯形ABCD.AD∥BC.AB⊥BC.AD＝1.AB＝2.BC＝3.問題1：如圖1.P為AB邊上的一點.以PD.PC為邊作平行四邊形PCQD.請問對角線PQ.DC的長能否相等.為什么？問題2：如圖2.若P為AB邊上一點.以PD.PC為邊作平行四邊形PCQD.請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在.請求出最小值.如果不存在.請說明理由．問題3：若P為AB邊上任意一點.延長PD到E.使DE＝PD.再以PE.PC為邊作平行四邊形PCQE.請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在.請求出最小值.如果不存在.請說明理由．問題4：如圖3.若P為DC邊上任意一點.延長PA到E.使AE＝nPA<n為常數(shù)>.以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE.請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在.請求出最小值.如果不存在.請說明理由．11.如圖所示.在菱形ABCD中.AB=4.∠BAD=120°.△AEF為正三角形.點E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動.且E、F不與B．C．D重合．〔1證明不論E、F在BC．CD上如何滑動.總有BE=CF；〔2當點E、F在BC．CD上滑動時.分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變.求出這個定值；如果變化.求出最大〔或最小值．12.如圖.在△ABC中.點D、E分別在邊BC、AC上.連接AD、DE.且∠1=∠B=∠C．〔1由題設(shè)條件.請寫出三個正確結(jié)論：〔要求不再添加其他字母和輔助線.找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中.不必證明答：結(jié)論一：；結(jié)論二：；結(jié)論三：．〔2若∠B=45°.BC=2.當點D在BC上運動時〔點D不與B、C重合.①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形.求此時BD的長．〔注意：在第〔2的求解過程中.若有運用〔1中得出的結(jié)論.須加以證明13.如圖.等腰梯形ABCD中.AD∥BC.AD=AB=CD=2.∠C=60°.M是BC的中點．〔1求證：△MDC是等邊三角形；〔2將△MDC繞點M旋轉(zhuǎn).當MD〔即MD′與AB交于一點E.MC〔即MC′同時與AD交于一點F時.點E.F和點A構(gòu)成△AEF．試探究△AEF的周長是否存在最小值．如果不存在.請說明理由；如果存在.請計算出△AEF周長的最小值．14.如圖.⊙O的半徑為2.點O到直線l的距離為3.點P是直線l上的一個動點.PQ切⊙O于點Q.則PQ的最小值為[]15.如圖.在Rt△ABC中.∠C=90°.AB=10cm.AC：BC=4：3.點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動.速度為1cm/s.同時點Q從點B出發(fā)沿B→C→A方向向點A運動.速度為2cm/s.當一個運動點到達終點時.另一個運動點也隨之停止運動．〔1求AC、BC的長；〔2設(shè)點P的運動時間為x〔秒.△PBQ的面積為y〔cm2.當△PBQ存在時.求y與x的函數(shù)關(guān)系式.并寫出自變量x的取值范圍；〔3當點Q在CA上運動.使PQ⊥AB時.以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC是否相似.請說明理由；〔4當x=5秒時.在直線PQ上是否存在一點M.使△BCM得周長最小.若存在.求出最小周長.若不存在.請說明理由．16.如圖.圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm.在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜.此時一只螞蟻正好在杯外壁.離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處.則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為cm．17.如圖.四邊形ABCD中.∠BAD＝120°.∠B＝∠D＝90°.在BC、CD上分別找一點M、N.使△AMN周長最小時.則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為[]A．130°B．120°C．110°D．100°18.點A、Ｂ均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點上.建立平面直角坐標系如圖所示．若P是x軸上使得的值最大的點.Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點.則＝．19.閱讀材料：例：說明代數(shù)式的幾何意義.并求它的最小值．解：.如圖.建立平面直角坐標系.點P〔x.0是x軸上一點.則可以看成點P與點A〔0.1的距離.可以看成點P與點B〔3.2的距離.所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和.它的最小值就是PA＋PB的最小值．設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A′.則PA=PA′.因此.求PA＋PB的最小值.只需求PA′＋PB的最小值.而點A′、B間的直線段距離最短.所以PA′＋PB的最小值為線段A′B的長度．為此.構(gòu)造直角三角形A′CB.因為A′C=3.CB=3.所以A′B=3.即原式的最小值為3。根據(jù)以上閱讀材料.解答下列問題：〔1代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標系中點P〔x.0與點A〔1.1、點B的距離之和．〔填寫點B的坐標〔2代數(shù)式的最小值為．20.如圖.線段AB的長為2.C為AB上一個動點.分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE.那么DE長的最小值是▲．21.如圖.在平行四邊形ABCD中.AB=5.BC=10.F為AD的中點.CE⊥AB于E.設(shè)∠ABC=α〔60°≤α＜90°．〔1當α=60°時.求CE的長；〔2當60°＜α＜90°時.①是否存在正整數(shù)k.使得∠EFD=k∠AEF？若存在.求出k的值；若不存在.請說明理由．②連接CF.當CE2﹣CF2取最大值時.求tan∠DCF的值．22.等邊△ABC的邊長為2.P是BC邊上的任一點〔與B、C不重合.連接AP.以AP為邊向兩側(cè)作等邊△APD和等邊△APE.分別與邊AB、AC交于點M、N〔如圖1。〔1求證：AM=AN；〔2設(shè)BP=x。=1\*GB3①若.BM=.求x的值；=2\*GB3②記四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積為S.求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值；=3\*GB3③連接DE.分別與邊AB、AC交于點G、H〔如圖2.當x取何值時.∠BAD=150？并判斷此時以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形.請說明理由。23.如圖.已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A.點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點.過點P作直線l的垂線.垂足為C.PC與⊙O交于點D.連接PA、PB.設(shè)PC的長為QUOTEx2<x<4.⑴當QUOTEx=52時.求弦PA、PB的長度；⑵當x為何值時.QUOTEPD?CD的值最大？最大值是多少？24.如圖.正三角形ABC的邊長為．〔1如圖①.正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上.頂點N在邊AC上．在正三角形ABC及其內(nèi)部.以A為位似中心.作正方形EFPN的位似正方形.且使正方形的面積最大〔不要求寫作法；〔2求〔1中作出的正方形的邊長；〔3如圖②.在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH.使得D、EF在邊AB上.點P、N分別在邊CB、CA上.求這兩個正方形面積和的最大值及最小值.并說明理由．25.如圖.在△ABC中.已知AB=AC=5.BC=6.且△ABC≌△DEF.將△DEF與△ABC重合在一起.△ABC不動.△ABC不動.△DEF運動.并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動.且DE、始終經(jīng)過點A.EF與AC交于M點．〔1求證：△ABE∽△ECM；〔2探究：在△DEF運動過程中.重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能.求出BE的長；若不能.請說明理由；〔3當線段AM最短時.求重疊部分的面積．26.如圖.在△ABC中.AB=AC.∠B=30°.BC=8.D在邊BC上.E在線段DC上.DE=4.△DEF是等邊三角形.邊DF交邊AB于點M.邊EF交邊AC于點N．〔1求證：△BMD∽△CNE；〔2當BD為何值時.以M為圓心.以MF為半徑的圓與BC相切？〔3設(shè)BD=x.五邊形ANEDM的面積為y.求y與x之間的函數(shù)解析式〔要求寫出自變量x的取值范圍；當x為何值時.y有最大值？并求y的最大值．27.如圖1和2.在△ABC中.AB=13.BC=14.cos∠ABC=．探究：如圖1.AH⊥BC于點H.則AH=.AC=.△ABC的面積S△ABC=；拓展：如圖2.點D在AC上〔可與點A.C重合.分別過點A、C作直線BD的垂線.垂足為E.F.設(shè)BD=x.AE=m.CF=n〔當點D與點A重合時.我們認為S△ABD=0〔1用含x.m.n的代數(shù)式表示S△ABD及S△CBD；〔2求〔m+n與x的函數(shù)關(guān)系式.并求〔m+n的最大值和最小值；〔3對給定的一個x值.有時只能確定唯一的點D.指出這樣的x的取值范圍．發(fā)現(xiàn)：請你確定一條直線.使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最小〔不必寫出過程.并寫出這個最小值．28.如圖1至圖4中.兩平行線AB、CD間的距離均為6.點M為AB上一定點．思考如圖1.圓心為0的半圓形紙片在AB.CD之間〔包括AB.CD.其直徑MN在AB上.MN=8.點P為半圓上一點.設(shè)∠MOP=α．當α=▲度時.點P到CD的距離最小.最小值為▲．探究一在圖1的基礎(chǔ)上.以點M為旋轉(zhuǎn)中心.在AB.CD之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片.直到不能再轉(zhuǎn)動為止.如圖2.得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=▲度.此時點N到CD的距離是▲．探究二將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對α的要求剪掉.使扇形紙片MOP繞點M在AB.CD之間順時針旋轉(zhuǎn)．〔1如圖3.當α=60°時.求在旋轉(zhuǎn)過程中.點P到CD的最小距離.并請指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值；〔2如圖4.在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過程中.要保證點P能落在直線CD上.請確定α的取值范圍．〔參考數(shù)椐：sin49°=QUOTE34.cos41°=QUOTE34.tan37°=QUOTE34．29.如圖①.在矩形ABCD中.將矩形折疊.使B落在邊AD〔含端點上.落點記為E.這時折痕與邊BC或者邊CD〔含端點交于F.然后展開鋪平.則以B、E、F為頂點的三角形△BEF稱為矩形ABCD的"折痕三角形"〔1由"折痕三角形"的定義可知.矩形ABCD的任意一個"折痕△BEF"是一個三角形〔2如圖②、在矩形ABCD中.AB=2.BC=4..當它的"折痕△BEF"的頂點E位于AD的中點時.畫出這個"折痕△BEF".并求出點F的坐標；〔3如圖③.在矩形ABCD中.AB=2.BC=4.該矩形是否存在面積最大的"折痕△BEF"？若存在.說明理由.并求出此時點E的坐標？若不存在.為什么？圖①圖②圖③圖④30.在一次機器人測試中.要求機器人從A出發(fā)到達B處．如圖1.已知點A在O的正西方600cm處.B在O的正北方300cm處.且機器人在射線AO及其右側(cè)<AO下方>區(qū)域的速度為20cm/秒.在射線AO的左側(cè)<AO上方>區(qū)域的速度為10cm/秒．<1>分別求機器人沿A→O→B路線和沿A→B路線到達B處所用的時間<精確到秒>；<3分><2>若∠OCB=45°.求機器人沿A→C→B路線到達B處所用的時間<精確到秒>；<3分><3>如圖2,作∠OAD=30°.再作BE⊥AD于E,交OA于P．試說明：從A出發(fā)到達B處.機器人沿A→P→B路線行進所用時間最短．<3分><參考數(shù)據(jù)：≈1.414.≈1.732.≈2.236.≈2.449>31.在△ABC中.∠ACB＝90°.∠ABC＝30°.將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)角為<0°＜＜180°>.得到△A1B1C．<1>如圖1.當AB∥CB1時.設(shè)A1B1與BC相交于點D．證明：△A1CD是等邊三角形；<2>如圖2.連接AA1、BB1.設(shè)△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2．求證：S1∶S2＝1∶3；如圖3.設(shè)AC的中點為E.A1B1的中點為P.AC＝a.連接EP．當＝°時.EP的長度最大.最大值為．32．如圖.已知直線a//b.且a與b之間的距離為4.點A到直線a的距離為2.點B到直線b的距離為3.AB=.試在直線a上找一點M.在直線b上找一點N.滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短.則此時AM+NB=〔A．6B．8C．10D．12〔2007?XX在平面內(nèi).先將一個多邊形以點O為位似中心放大或縮小.使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k.并且原多邊形上的任一點P.它的對應(yīng)點P′在線段OP或其延長線上；接著將所得多邊形以點O為旋轉(zhuǎn)中心.逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ.這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換.記為O〔k.θ.其中點O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心.k叫做相似比.θ叫做旋轉(zhuǎn)角．〔1填空：①如圖1.將△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)相似中心.放大為原來的2倍.再逆時針旋轉(zhuǎn)60°.得到△ADE.這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為A<_____.____°；②如圖2.△ABC是邊長為1cm的等邊三角形.將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A〔.90°.得到△ADE.則線段BD的長為________cm；〔2如圖3.分別以銳角三角形ABC的三邊AB.BC.CA為邊向外作正方形ADEB.BFGC.CHIA.點O1.O2.O3分別是這三個正方形的對角線交點.試分別利用△AO1O3與△ABI.△CIB與△CAO2之間的關(guān)系.運用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識說明線段O1O3與AO2之間的關(guān)系33.如圖是一個幾何體的三視圖．〔1寫出這個幾何體的名稱；〔2根據(jù)所示數(shù)據(jù)計算這個幾何體的表面積；〔3如果一只螞蟻要從這個幾何體中的點B出發(fā).沿表面爬到AC的中點D.請你求出這個線路的最短路程．34.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=1.BC=.點O為Rt△ABC內(nèi)一點.連接A0、BO、CO,且∠AOC=∠COB=BOA=120°.按下列要求畫圖〔保留畫圖痕跡：以點B為旋轉(zhuǎn)中心.將△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°.得到△A′O′B〔得到A、O的對應(yīng)點分別為點A′、O′.并回答下列問題：∠ABC=________,∠A′BC=_______,OA+OB+OC=_________.35.如圖.AB是⊙O的一條弦.點C是⊙O上一動點.且∠ACB=30°.點E、F分別是AC、BC的中點.直線EF與⊙O交于G、H兩點.若⊙O的半徑為7.則GE+FH的最大值為.36．〔3分〔2013?XX如圖.在平面直角坐標系中.Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上．頂點B的坐標為〔3..點C的坐標為〔.0.點P為斜邊OB上的一個動點.則PA+PC的最小值為〔A．B．C．D．237．如圖.點P是反比例函數(shù)；圖象上的點.PA垂直軸于點.點C的坐標為.PC交軸于點B.連結(jié)AB.已知〔1的值是_________；〔2若是該反比例函數(shù)圖象上的點.且滿足.則的取值范圍是________38．〔10分〔1觀察發(fā)現(xiàn)如圖〔1：若點A、B在直線m同側(cè).在直線m上找一點P.使AP+BP的值最小.做法如下：作點B關(guān)于直線m的對稱點B′.連接AB′.與直線m的交點就是所求的點P.線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．如圖〔2：在等邊三角形ABC中.AB=2.點E是AB的中點.AD是高.在AD上找一點P.使BP+PE的值最小.做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點.恰好與點C重合.連接CE交AD于一點.則這點就是所求的點P.故BP+PE的最小值為．〔2實踐運用如圖〔3：已知⊙O的直徑CD為2.的度數(shù)為60°.點B是的中點.在直徑CD上作出點P.使BP+AP的值最小.則BP+AP的值最小.則BP+AP的最小值為．〔3拓展延伸如圖〔4：點P是四邊形ABCD內(nèi)一點.分別在邊AB、BC上作出點M.點