精選有限單元法平面問題例題講義

（優(yōu)選）有限單元法平面問題例題當(dāng)前第1頁\共有37頁\編于星期三\10點右圖為取1/4模型，離散后，單元、結(jié)點、荷載和約束的簡圖。1簡化力學(xué)模型、選取單元類型

結(jié)構(gòu)及荷載沿雙軸對稱，選取1/4結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)。

圖所示為平面應(yīng)力問題，平面應(yīng)力單元類型中，3結(jié)點三角形單元

當(dāng)前第2頁\共有37頁\編于星期三\10點2結(jié)構(gòu)離散，單元編號、結(jié)點編號當(dāng)前第3頁\共有37頁\編于星期三\10點將對象劃分成4個單元，共有6個結(jié)點，單元和結(jié)點上均編上號碼，其中結(jié)點的整體編碼1至6，以及個單元的結(jié)點局部編碼i,j,m,均示于上圖中。單元號ⅠⅡⅢⅣ局部編碼整體編碼i3526j1253m2435當(dāng)前第4頁\共有37頁\編于星期三\10點3.1結(jié)點位移列陣、荷載列陣3單元分析（對逐個單元進行分析。以單元1為例）當(dāng)前第5頁\共有37頁\編于星期三\10點3.2位移函數(shù)3單元分析當(dāng)前第6頁\共有37頁\編于星期三\10點3.3討論位移函數(shù)的收斂性

（1）完備性

（2）協(xié)調(diào)性3單元分析當(dāng)前第7頁\共有37頁\編于星期三\10點3.4推導(dǎo)形函數(shù)（只需分析1個單元，其余可直接用公式計算）

代入結(jié)點坐標(biāo)和位移3單元分析當(dāng)前第8頁\共有37頁\編于星期三\10點常數(shù)3單元分析當(dāng)前第9頁\共有37頁\編于星期三\10點設(shè)3單元分析當(dāng)前第10頁\共有37頁\編于星期三\10點得到3單元分析當(dāng)前第11頁\共有37頁\編于星期三\10點3單元分析當(dāng)前第12頁\共有37頁\編于星期三\10點3單元分析得到內(nèi)部任意一點位移和結(jié)點位移的關(guān)系式當(dāng)前第13頁\共有37頁\編于星期三\10點3單元分析得到內(nèi)部任意一點位移和結(jié)點位移的關(guān)系式當(dāng)前第14頁\共有37頁\編于星期三\10點3單元分析得到形函數(shù)矩陣當(dāng)前第15頁\共有37頁\編于星期三\10點3單元分析3.5推導(dǎo)內(nèi)部任意一點應(yīng)變和結(jié)點位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系當(dāng)前第16頁\共有37頁\編于星期三\10點3單元分析當(dāng)前第17頁\共有37頁\編于星期三\10點3單元分析當(dāng)前第18頁\共有37頁\編于星期三\10點3單元分析當(dāng)前第19頁\共有37頁\編于星期三\10點3單元分析3.6推導(dǎo)內(nèi)部任意一點應(yīng)力和結(jié)點位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系平面應(yīng)力的彈性矩陣為當(dāng)前第20頁\共有37頁\編于星期三\10點3單元分析把D、B矩陣代入公式即可應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S當(dāng)前第21頁\共有37頁\編于星期三\10點3單元分析3.7得到單元剛度矩陣

把B和D矩陣代入對3結(jié)點三角形，可以簡化為當(dāng)前第22頁\共有37頁\編于星期三\10點3單元分析3.8單元等效荷載計算

當(dāng)前第23頁\共有37頁\編于星期三\10點4組成整體剛度矩陣暫時不考慮位移邊界條件，把所分析結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點平衡方程組列出：整體剛度矩陣寫成6×6的矩陣，它的每個子塊是2×2的矩陣，實際它是一個12×12的矩陣。如K23，它的四個元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的結(jié)點3沿x或y方向有單位位移時，在結(jié)點2的x方向或y方向引起的結(jié)點力。當(dāng)前第24頁\共有37頁\編于星期三\10點4組成整體剛度矩陣整體剛度矩陣寫成6×6的矩陣，它的每個子塊是2×2的矩陣，實際它是一個12×12的矩陣。如K23，它的四個元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的結(jié)點3沿x或y方向有單位位移時，在結(jié)點2的x方向或y方向引起的結(jié)點力。當(dāng)前第25頁\共有37頁\編于星期三\10點4整體剛度矩陣?yán)m(xù)由于于結(jié)點3和結(jié)點2在結(jié)構(gòu)中是通過Ⅰ和Ⅲ這兩個單元相聯(lián)系，因而K23應(yīng)是單元Ⅰ的k23和單元Ⅲ的k23之和。同理，可以找到各單元剛度矩陣中所有子矩陣在整體剛度矩陣K中的位置，得到整體勁度矩陣。式中k的上標(biāo)1,2,3,4表示是哪一個單元的剛度矩陣中的子矩陣，空白處是2×2的零矩陣。當(dāng)前第26頁\共有37頁\編于星期三\10點4整體剛度矩陣?yán)m(xù)對于單元Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，將上式中各子塊的具體數(shù)值代入整體剛度矩陣K表達(dá)式中，得出整體剛度矩陣。對于單元Ⅲ，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，把μ＝0，t＝1m，代入單元的剛度矩陣，得兩種單元的剛度矩陣k都是：(37’)當(dāng)前第27頁\共有37頁\編于星期三\10點4整體剛度矩陣整體剛度矩陣K(38’)當(dāng)前第28頁\共有37頁\編于星期三\10點5引入位移邊界條件位移邊界條件為：因此，整體結(jié)點的位移列陣就簡化為：當(dāng)前第29頁\共有37頁\編于星期三\10點5引入位移邊界條件與這6個零位移分量相應(yīng)的6個平衡方程不必建立，因此，將整體剛度矩陣中，第1、3、7、8、10、12各行以及同序號的各行劃去，因而整體勁度矩陣K簡化為：當(dāng)前第30頁\共有37頁\編于星期三\10點6整體結(jié)點載荷列陣確定了每個單元的結(jié)點載荷列陣：根據(jù)各單元的結(jié)點局部編碼與整體編碼的關(guān)系，確定三個子塊FLi,FLj,FLm在FL中的位置。當(dāng)前第31頁\共有37頁\編于星期三\10點6整體結(jié)點載荷列陣由于該結(jié)構(gòu)只是在結(jié)點1受有向下1N/m的載荷，因而，非零元素子塊，只有在考慮了邊界條件后，整體載荷列陣為：當(dāng)前第32頁\共有37頁\編于星期三\10點平面有限元解法——求解整體結(jié)點載荷列陣求解化簡后的整體剛度矩陣：(39)求解以后，得結(jié)點位移：當(dāng)前第33頁\共有37頁\編于星期三\10點平面有限元解法——求解應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)用單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S，求出各單元中的應(yīng)力：根據(jù)μ＝0，以及已求出的A、b和c的值，再由式(21)和(22)得出應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣如下，對于單元Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ

：對于單元Ⅲ當(dāng)前第34頁\共有37頁\編于星期三\10點平面有限元解法——求解各單元中的應(yīng)力（續(xù)）應(yīng)用單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S，求出各單元中的應(yīng)力：Pa單元Ⅰ單元ⅡPa當(dāng)前第35頁\共有3