2023高考數(shù)學-立體幾何空間距離與截面100題

第#頁共148頁。的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號）當0<CQ<?時，S為四邊形；當!時，S為等腰梯形；當CQ-|時，S與G0的交點R滿足C,/?=J；4 3當;〈CQ<1時,S為六邊形4【答案】【分析】分情況\和CQ=：兩種情況作出截面s,并判斷②③，再通過平移交點，即可判斷①④.【詳解】如圖1,當依=!時，PO=g,這時過A,P,。三點的截面"0交于點Dvp=d、q=岑,XI.PQHAD\,截面S為等腰梯形；當0<印<；時，過刀，p,。三點的截面與應的交點在稜M上，截面S為四邊形，故①②正確.如圖2,當號時，設截面.S交回的延長線于點N,連接昭交B于點R,連接如交"于點M連接林，取1。的中點G,作GH//PQ交于點H,則GH//AN,J1GH=?4N,即H為DN的中點，???ZW=2xj=3叫=|-1=!，器嗤=!，可得C居,故③正確.易知當時，只需。上移即可，此時S仍如圖2所示的五邊形次叫’故④錯誤.故答案為：&2）@3.4.解答題36.如圖，在正方體ABCD—侶牌中,E,尸分別為4。和CG的中點.（I）畫出由刀，E,戶確定的平面貝截正方體所得的截面，（保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）；（2）求異面直線EF和AC所成角的大小.【答案】（1）作圖見解析；（2）?.【分析】（1） 取8C的四等分點G（靠近C的點）,DiCi的四等分點H（靠近G點），則五邊形AGFHE即為由A,E,尸確定的平面少截正方體所得的截面；（2） 取如）的中點N,連接切V,再取仞V的中點以，連接MC、NC、4",則EF//MC,故NA/G4（或其補角）即為異面直線EF和AC所成角，解三角形可求得答案.【詳解】解：（1）如圖，取BC的四等分點G（靠近C的點），的四等分點反（靠近。點），則五邊形AGFHE即為由E,尸確定的平面月截正方體所得的截面，

（2）取如）的中點N,連接EN,再取E7V的中點以，連接MC、NC、AM,則EF//MC,故￡WC4（或其補角）即為異面直線EF和AC所成角，設正方體的棱長為2,可得AM=W+V=也,JC=>/2 畫經(jīng)過ABC三點的截面 過棱 畫經(jīng)過ABC三點的截面 過棱BC作和底面成60。二面角的截面，求此截面面積.【答案】（1）見解析EF=^DN2+DC2+MN2=Vl2+22+12=V6?在履A/C中，有AC2=AM2-^-MC2,所以履敗是直角三角形,所以cos/MCA=+=^=斗,所以異面直線欣和M所成角的大小為?.(2)略【分析】連接如與時交于點P,連接NC與4G交于點0再連接P。即可;取BC的中點E,連接"，EF,得到七"是截面與底面所成的角，由“Uan60=：＞“，得到截面不與棱相交，與平面48C相交于RS,得到截面為梯形RSBC求解.(1)如圖所示；連接刀3與片序交于點P,連接，。與交于點。,然后連接P。與B'C,交于點與CC交于點、N,所以經(jīng)過ABC三點的截面是ABMN；(2)如圖所示：F取BC的中點&連接/E,EF,貝ijAEIBC.FElBC,所以ZJEF是截面與底面所成的角，即ZJEF=60',因為力E=有,所以燈'=/1Ean60=：＞",所以截面不與棱"相交，與平面他G相交于&S,因為平面4%//平面ABC,所以RSHBC,所以截面為梯形&SBC,又，E'"=矗2,所以S*bc=?BCEF=斗,因為冬亳因為冬亳FBCRS~Hc所以Sgs=客火.=卜乎=壽，所以截面的面積為S=S。政-S孫皓=馬-g= ?SC的中點.求38.如圖，在正方體4BCD一侶Cq中，S是陽）|的中點，E,F,G分別是BC,SC的中點.求(1)(2)平面EFG〃平面BDD歸(3)若正方體棱長為1，過A,E,G三點作正方體的截面，畫出截面與正方體的交線，并求出截(3)面的面積.【答案】⑴證明見解析；⑵證明見解析；⑶畫圖見解析，截面的面積為季【分析】（1）連接SB,由三角形的中位線定理、線面平行的判定定理，可得證明;（2）由線面平行和面面平行的判定定理，即可得證;（3）取向G的中點M連接為N,NE,取4功的中點連接MG,AM,由平行四邊形的判定和性質(zhì)，推得截面為菱形，由對角線互相垂直，可得所求面積.【詳解】（1）證明：連接S8,由EG為△CS8的中位線，可得EG〃訪,由EGQ平面BDDiBi,S8u平面BDDB,可得EG〃平面BDD\B^（2）EtlEF//DB,占網(wǎng)平面BDDiBi,DBc//平面BDDB,可得歐〃〃平面BDDiBk，又由（1）可得EG〃平面BDDB,EFC\EG=E,可得平面EFG〃平面BDDB；（3）取&G的中點M連接4N,NE,可得AE〃A\N,AE=A}N,取4。的中點M,連接MG，AM,可得MG=A\N,MC\//A\N,可得截面AEGM為平行四邊形，旦NE=ECi=/M=MCi= ,所以截面的面積為？xA\C5ME=?x&4i=￡~.2 2 2

39.(1)如圖，棱長為2的正方體K8CD-44G4中，M,N是棱W4，40的中點，在圖中畫出過底面4BCD中的心。且與平面』平行的平面在正方體中的截面，并求岀截面多邊形的周長為：(2)作出平面尸。匠與四棱錐如卽舊的截面，截面多邊形的邊數(shù)為 【答案】(1)作圖見解析，周長為3扳+2后；(2)作圖見解析，邊數(shù)為五.【分析】(1)利用面面平行的判定定理作出截面，求得各邊長度則可得周長；(2)利用延長找公共點的方法作出截面，可得形狀.【詳解】⑴分別取E，尸為棱Bg,G"的中點，則由中位線性質(zhì)得到：EFWB^WMNWBD,所以四邊形龐為平面四邊形，又EN\\A^\\AB,EN=A、B\=AB,所以四邊形ENAB為平行四邊形，所以曲IMN,由EF日MN,歐仁平面AMN,MNu平面,所以歐〃平面AMN,同理平面AMN,EFcEB=E,由面面平行的判定定理可得平面凡師〃平面EFD8,所以四邊形階即為所求截面，卩為梯形，

由截面作法可知，DB=2eEF=*DB=&EB=FD=正+2,=底所以截面四邊形爵財?shù)闹荛L為3>/2+2>/5.（2）延KPQcEB的延長線于G,連接GR,GRcBC=M,GRcED的延長線于H,連接PH,PHcAD于N,連接QM,RN,則五邊形PQMRN即為所求.所以截面多邊形的邊數(shù)為五.40.如圖①，正方體4BCD-*Di的棱長為2,P為線段盹的中點，。為線段K上的動點，過點A、P、。的平面截該正方體所得的截面記為S.（1）若1<CQ<2,請在圖①中作出截面S（保留尺規(guī)作圖痕跡）；（2）若CQ=l（如圖②），試求截面s將正方體分割所成的上半部分的體積*與下半部分的體積匕之比.【答案】（1）答案見解析；（2）*：*=17：7.【分析】（1） 根據(jù)平面的基本性質(zhì)作出截面即可；（2） 由平面基本性質(zhì)得岀截面s,再由錐體的體積公式得出右，最后求出H與4之比.【詳解】（1）延長QC交妒延長線于點八此時DC=CE,延長交"G于點卩延長用G交延長線于點G,連