二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)第一課時(shí)

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)第一課時(shí)第一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六復(fù)習(xí)1、什么叫二項(xiàng)式定理？通項(xiàng)公式？2、什么叫二項(xiàng)式系數(shù)？項(xiàng)的系數(shù)？它們之間有什么不同？第二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六《詳解九章算法》中記載的表?xiàng)钶x第三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六楊輝三角《詳解九章算法》中記載的表

這樣的二項(xiàng)式系數(shù)表，早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，在這本書里，記載著類似右面的表：第四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六第五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六這個(gè)表稱為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書里，還說明了表里“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖》算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過它。這表明我國發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（BlaisePascal,1623年—1662年）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的。楊輝三角第六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和事實(shí)上，設(shè)表中任一不為1的數(shù)為Cn+1r，那么它肩上的兩個(gè)數(shù)分別為Cnr-1及Cnr，由組合數(shù)的性質(zhì)2知道Cn+1r=Cnr-1+Cnr二項(xiàng)式系數(shù)表的規(guī)律第七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六楊輝三角點(diǎn)擊圖片可以演示“楊輝三角”課件第八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六（二）、規(guī)律1、每行兩端都是1Cn0=Cnn=12、從第二行起，每行除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和

Cn+1m=Cnm+Cnm-1第九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。第十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六11121133114641151010511615201561與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等性質(zhì)1：對(duì)稱性性質(zhì)2：增減性與最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；先增后減當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)和相等，且同時(shí)取得最大值。第十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時(shí)由于，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式．

第十二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六2、在(a＋b)10展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是().1、在(a＋b)20展開式中，與第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是().A課堂練習(xí):A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)

C.第6項(xiàng)和第7項(xiàng)D.第5項(xiàng)和第7項(xiàng)CA.第15項(xiàng)B.第16項(xiàng)C.第17項(xiàng)D.第18項(xiàng)此種類型的題目應(yīng)該先找準(zhǔn)r的值，然后再確定第幾項(xiàng)。注：第十三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六例1證明：在(a＋b)n展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.已知(2x+1)10=a0x10+a1x9+a2x8+……+a9x+a10,(1)求a0+a1+a2+……+a9+a10的值(2)求a0+a2+a4+……+a10的值例題選講變式練習(xí)：第十四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的7倍，求展開式中x的一次項(xiàng)．例2

已知的展開式中，第第十五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六解：依題意,n為偶數(shù)，且例３已知展開式中只有第10項(xiàng)系數(shù)最大，求第五項(xiàng)。

例題選講若將“只有第10項(xiàng)”改為“第10項(xiàng)”呢？引申：第十六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六練習(xí)一、選擇填空：1.(1﹣x)13

的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是（）(A)第六項(xiàng)(B)第七項(xiàng)（C）第八項(xiàng)(D)第九項(xiàng)2.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個(gè)燈泡，只要有一個(gè)燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為（）(A)20(B)219

（C）220(D)220

－1CD4或5-2-10941093第十七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六解：（1）

中間項(xiàng)有兩項(xiàng)：（2）T3，T7

，T12

，T13

的系數(shù)分別為：例三、已知二項(xiàng)式(a+b)15（1）求二項(xiàng)展開式中的中間項(xiàng)；（2）比較T3，T7

，T12

，T13各項(xiàng)系數(shù)的大小，并說明理由。第十八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六例5：求(1-2x)5(1+3x)4展開式中按x的升冪排列的前3項(xiàng)。例6：在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2的展開式中，求含x2的項(xiàng)的系數(shù)。例4：求(1+x+x2)

(1-x)10展開式中x4的系數(shù)。例7：已知(1+x2)n展開式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求n。部分復(fù)習(xí)參考題:第十九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六例四、已知a,b∈N，m,n∈Z

，且2m+n=0，如果二項(xiàng)式(axm+bxn)12

的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)恰好是常數(shù)項(xiàng)，求a:b

的取值范圍。

解：令m(12–r)+nr=0，將n=﹣2m

代入，解得r=4故T5為常數(shù)項(xiàng)，且系數(shù)最大。第二十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六

二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù),都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時(shí)要注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項(xiàng)式系數(shù)最大的才是中間項(xiàng)，而系數(shù)最大的不一定是中間項(xiàng)，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解決有關(guān)二項(xiàng)展開式系數(shù)的問題的重要手段。內(nèi)容小結(jié)第二十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六作業(yè)：見教材小結(jié)（1）二項(xiàng)式系數(shù)的三